2018年06月05日

本日配信のメルマガ。2018年センター英語第3問(2)

本日配信のメルマガでは、2018年大学入試センター試験数学1A第3問の(2)までを解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


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■ 問題

2018年センター試験数1Aより

第4問

(1) 144を素因数分解すると

   144=2^[ア]×[イ]^[ウ]

であり、144の正の約数の個数は[エオ]個である。

(2) 不定方程式

   144x−7y=1

の整数解x,yの中で、xの絶対値が最小になるのは

   x=[カ],y=[キク]

であり、すべての整数解は、kを整数として

   x=[ケ]k+[カ],y=[コサシ]k+[キク]

と表される。

(3) 144の倍数で、7で割ったら余りが1となる自然数のうち、正の約数の
個数が18個で最小のものは144×[ス]であり、正の約数の個数が30個で
ある最小のものは144×[セソ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
 ◆2 素因数分解は素数で割っていく
 ◆3 約数は割れる数
 ◆4 整数解の一つなら代入して計算でOK!
 ◆5 一般解は「倍数=倍数」の式を作る

(以下略)

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■ 解説

◆1〜3は省略します。


 ◆4 整数解の一つなら代入して計算でOK!

(2)では不定方程式の整数解を求めます。
模範的な解き方としては、ユークリッドの互除法を使いますが、さほど大きくない
係数の方程式の「整数解の一つ」を求めるだけなら、適当な整数を代入して合う
場合を探しても大丈夫な場合も多いです。

今回の問題の式は、「144x−7y=1」なので、係数が大きい方のxに、
1,2,3,…と数を代入していき、等式が成り立つyの値を求めてみます。

x=1のとき、
144−7y=1
   −7y=−143
     y=143/7
これは割り切れないので、不適。

x=2のとき
288−7y=1
   −7y=−287
     y=41
yも整数になったので、x=2,y=41はこの不定方程式の解である。

よって、[カ]=2,[キク]=41

整数解のうちの一つを求めるだけなら、コレでできちゃいますよ!
簡単でしょ?

なお、このような「ある特定の解」のことを「特殊解」と言うことがあります。


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 ◆5 一般解は「倍数=倍数」の式を作る

続いて「すべての整数解」を聞いています。
「一般解」とも呼ばれるものですね。

今◆4で求めたx=2,y=41はもちろんこの不定方程式の解(特殊解)ですが、
他にも適するx,yの組合せは無数に存在します。
それらを整数kを用いて、式で表そう。という問題です。

ここで144と7が「互いに素である」ことを利用します。
「互いに素である」というのは、つまり・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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          発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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ラベル:数学
posted by えま at 10:41| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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