2018年08月17日

本日配信のメルマガ。2017年センター数学2B第2問 微分積分

本日配信のメルマガでは、2017年大学入試センター試験数学2B第2問を解説します。

今年のセンター試験の前に、2017年の問題の最初の方を配信したので、その続きです。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

第2問

 Oを原点とする座標平面上の放物線y=x^2+1をCとし、点(a,2a)を
Pとする。

(1) 点Pを通り、放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。

 C上の点(t,t^2+1)における接線の方程式は

  y=[ア]tx−t^2+[イ]

である。この直線がPを通るとすると、tは方程式

  t^2−[ウ]at+[エ]a−[オ]=0

を満たすから、t=[カ]a−[キ],[ク]である。よって、a≠[ケ]のとき、
Pを通るCの接線は2本あり、それらの方程式は

  y=([コ]a−[サ])x−[シ]a^2+[ス]a ……{1}

  y=[セ]x

である。

(2) (1)の方程式{1}で表される直線をlとする。lとy軸との交点をR(0,r)と
すると、r=−[シ]a^2+[ス]aである。r>0となるのは、[ソ]<a<[タ]の
ときであり、このとき、三角形ORPの面積Sは

  S=[チ](a^[ツ]−a^[テ])

となる。

 [ソ]<a<[タ]のとき、Sの増減を調べると、Sはa=[ト]/[ナ]で
最大値[ニ]/[ヌネ]をとることがわかる。

(3) [ソ]<a<[タ]のとき、放物線Cと(2)の直線lおよび2直線x=0,x=aで
囲まれた図形の面積をTとすると

  T=([ノ]/[ハ])a^3−[ヒ]a^2+[フ]

である。[ト]/[ナ]≦a<[タ]の範囲において、Tは[ヘ]。[へ]に当てはまる
ものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。

{0} 減少する  {1} 極小値をとるが、極大値はとらない
{2} 増加する  {3} 極大値をとるが、極小値はとらない
{4} 一定である  {5} 極小値と極大値の両方をとる


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
 ◆3 積分は微分の逆
 ◆4 接線の傾きは導関数
 ◆5 通る点の座標は代入して

(以下略)

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■ 解説

◆1〜3は省略します。


 ◆4 接線の傾きは導関数

では、今回の問題です。

「放物線y=x^2+1をC」、座標が(a,2a)の点をPとしています。

この2次関数を微分したり積分したり、いろいろやるみたいですね。

そして(1)ではまず、「C上の点(t,t^2+1)における接線の方程式」を聞いて
います。

接線なら微分!ですね!
微分すると、接線の傾きを表す式ができます。やってみましょう!

y'=2x

曲線のグラフは、場所によって接線の傾きが変わります。その傾きの変化を
式で表すと、y'=2xとなるのです。

接点の座標は(t,t^2+1)なので、この点の接線の傾きは、y'=2tです。

これらを直線の式の公式★y−y1=m(x−x1)に代入すると、

y−(t^2+1)=2t(x−t)
      y=2tx−2t^2+t^2+1
      y=2tx−t^2+1

よって、[ア]=2,[イ]=1


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 ◆5 通る点の座標は代入して

そして、「この直線がPを通る」そうです。

通る点の座標は代入して成り立ちます。

y=2tx−t^2+1に、(a,2a)を代入すると、

2a=2ta−t^2+1

これを解答の形式に合わせて変形して・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
posted by えま at 08:17| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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