2018年10月05日

本日配信のメルマガ。2014年センター数学2B第2問 微分積分

本日配信のメルマガでは、2014年大学入試センター試験数学2B第2問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題

第2問

 pを実数とし、f(x)=x^3−pxとする。

(1) 関数f(x)が極値をもつためのpの条件を求めよう。f(x)の導関数は
f'(x)=[ア]x^[イ]−pである。したがって、f(x)がx=aで極値をとる
ならば、[ア]a^[イ]−p=[ウ]が成り立つ。さらに、x=aの前後でのf'(x)の
符号の変化を考えることにより、pが条件[エ]を満たす場合は、f(x)は必ず
極値をもつことがわかる。[エ]に当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから
一つ選べ。

{0} p=0  {1} p>0  {2} p≧0  {3} p<0  {4} p≦0

(2) 関数f(x)がx=p/3で極値をとるとする。また、曲線y=f(x)をC
とし、C上の点(p/3,f(p/3))をAとする。

 f(x)がx=p/3で極値をとることから、p=[オ]であり、f(x)は
x=[カキ]で極大値をとり、x=[ク]で極小値をとる。

 曲線Cの接線で、点Aを通り傾きが0でないものをlとする。lの方程式を
求めよう。lとCの接点のx座標をbとすると、lは点(b,f(b))における
Cの接線であるから、lの方程式はbを用いて

  y=([ケ]b^2−[コ])(x−b)+f(b)

と表すことができる。また、lは点Aを通るから、方程式

  [サ]b^3−[シ]b^2+1=0

を得る。この方程式を解くと、b=[ス],[セソ]/[タ]であるが、lの傾きが
0でないことから、lの方程式は

  y=([チツ]/[テ])x+[ト]/[ナ]

である。

 点Aを頂点とし、原点を通る放物線をDとする。lとDで囲まれた図形のうち、
不等式x≧0の表す領域に含まれる部分の面積Sを求めよう。Dの方程式は

  y=[ニ]x^2−[ヌ]x

であるから、定積分を計算することにより、S=[ネノ]/24となる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値が0
 ◆3 積分は微分の逆で、面積
 ◆4 導関数なので微分
 ◆5 極値をもつ→f'(x)=0のときがある

(以下略)

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■ 解説

◆1〜2は省略します。


さてそれではこの辺で、今回の問題にいってみましょう!

まず「pを実数とし、f(x)=x^3−pxとする」とあります。

比較的シンプルな3次関数ですね。
そして、まず最初に聞いていることは、

「f(x)の導関数はf'(x)=[ア]x^[イ]−pである」

です。
早速出てきました。導関数。
導関数は微分した関数なので、f(x)を微分してみます。
それぞれの項について「次数を1下げて、もとの次数を係数に掛ける」ので、

f'(x)=3x^2−p

となります。
最初の設問はこれだけで完成!

よって、[ア]=3,[イ]=2


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 ◆5 極値をもつ→f'(x)=0のときがある

そして、「f(x)がx=aで極値をとる」は、f'(a)=0を意味します。
◆2で説明したように、極値のときは導関数の値が0だからですね。つまり、

f'(a)=3a^2−p=0

となります。
よって、[ウ]=0

「さらに、x=aの前後でのf'(x)の符号の変化を考え」、f(x)が必ず極値を
もつようなpの値の範囲を聞いています。

「必ず極値を持つ」ということは・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
posted by えま at 09:47| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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