【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題
第3問
数列{an}の初項は6であり、{an}の階差数列は初項が9,公差が4の等差数列
である。
(1) a2=[アイ],a3=[ウエ]である。数列[an}の一般項を求めよう。{an}の
等差数列の第n項が[オ]n+[カ]であるから、数列{an}の一般項は
an=[キ]n^[ク]+[ケ]n+[コ] ・・・・・・{1}
である。
(2) 数列{bn}は、初項が2/5で、漸化式
bn+1={an/(an+1−1)}bn (n=1,2,3,…) ・・・{2}
を満たすとする。b2=[サ]/[シス]である。数列[bn}の一般項と初項から
第n項までの和Snを求めよう。
{1},{2}により、すべての自然数nに対して
bn+1={([セ]n+[ソ])/([セ]n+[タ])}bn ・・・{3}
ここで
cn=([セ]n+[ソ])bn ・・・{4}
とするとき、{3}をcnとcn+1を用いて変形すると、すべての自然数nに対して
([セ]n+[チ])cn+1=([セ]n+[ツ])cn
が成り立つことがわかる。これにより
dn=([セ]n+[テ])cn ・・・{5}
とおくと、すべての自然数nに対して、dn+1=dnが成り立つことがわかる。
d1=[ト]であるから、すべての自然数nに対して、dn=[ト]である。
したがって、{4}と{5}により、数列{bn}の一般項は
bn=[ト]/{([セ]n+[ソ])([セ]n+[テ])}
である。また
bn=[ナ]/([セ]n+[ソ])−[ニ]/([セ]n+[テ])
が成り立つことを利用すると、数列{bn}の初項から第n項までの和Snは
Sn=[ヌ]n/([ネ]n+[ノ])
であることがわかる。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 等差数列と等比数列の用語と公式
◆2 階差数列は2項間の差
◆3 a1に階差を足してa2,a3を求める
(以下略)
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■ 解説
◆1は省略します。
◆2 階差数列は2項間の差
そして、今回の問題の最初には、「階差数列」という言葉があります。
まず数列とは、一定の法則に従って変化する数を並べたものです。
この法則は、ある項と次の項との差を利用して表すこともできます。
この「ある項と次の項との差」を表す数列が「階差数列」です。
「{an}の階差数列は初項が9,公差が4の等差数列」というのは、ある項と次の
項との差は、初項が9,公差が4の等差数列として表される。ことを意味します。
この階差数列は、9,13,17,21,・・・
となりますね。
等差数列の公式に、a=9,d=4を代入すれば、この数列のn番目の項を
求められます。この際やってみましょう!
a+(n−1)d=9+(n−1)×4
=9+4n−4
=4n+5
これはつまり、{an}の階差数列の第n項です。
よって、[オ]=4,[カ]=5
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◆3 a1に階差を足してa2,a3を求める
ここで、{an}をもう一度検討してみましょう。
問題文にあるように、a1=6です。
a2は、これに階差数列の初項を足します。つまりa2=6+9=15となります。
a3は、さらに階差数列の第2項目を足します。
つまり・・・
(以下略)
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ラベル:数学