【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題
2013年センター試験数1Aより
第1問
[2] 三角形に関する条件p,q,rを次のように定める。
p:三つの内角が全て異なる
q:直角三角形でない
r:45°の内角は一つもない
_ _ _
条件pの否定をpで表し、同様にq,rはそれぞれ条件q,rの否定を
表すものとする。
_
(1) 命題「r→(pまたはq)」の対偶は「[ク]→r」である。
[ク]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
_ _ _ _ _
{0} (pかつq) {1} (pかつq) {2} (pまたはq) {3} (pまたはq)
(2) 次の{0}〜{4}のうち、命題「(pまたはq)→r」に対する反例となって
いる三角形は[ケ]と[コ]である。
[ケ]と[コ]に当てはまるものを、{0}〜{4}のうちから一つずつ選べ。
ただし、[ケ]と[コ]の解答の順序は問わない。
{0} 直角二等辺三角形
{1} 内角が30°,45°,105°の三角形
{2} 正三角形
{3} 三辺の長さが3,4,5の三角形
{4} 頂角が45°の二等辺三角形
(3) rは(pまたはq)であるための[サ]。
[サ]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
{0} 必要十分条件である
{1} 必要条件であるが、十分条件ではない
{2} 十分条件であるが、必要条件ではない
{3} 必要条件でも十分条件でもない
※マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 逆・裏・対偶
◆2 必要条件・十分条件
◆3 「または」と「かつ」が入れ替わる
(以下略)
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■ 解説
◆1,2は省略します。
◆3 「または」と「かつ」が入れ替わる
では、今回のセンター試験の問題を検討してみましょう。
まず最初は、命題「r→(pまたはq)」の対偶を尋ねる設問です。
今◆1で確認したように、「対偶は逆かつ裏」ですね。
まず、逆は入れ替えただけなので、「(pまたはq)→r」となります。
_ _ _
そして、裏は否定なので、「r→(pまたはq)」・・・でなく、
_ _ _
「r→(pかつq)」となります。
なお、裏になると「または」と「かつ」は相互に入れ替わることに
注意してください。
「対偶は逆かつ裏」なので・・・
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ラベル:数学