【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2013年センター試験数１Ａより
第１問
[2] 三角形に関する条件ｐ，ｑ，ｒを次のように定める。
ｐ：三つの内角が全て異なる
ｑ：直角三角形でない
ｒ：４５°の内角は一つもない
＿ ＿ ＿
条件ｐの否定をｐで表し、同様にｑ，ｒはそれぞれ条件ｑ，ｒの否定を
表すものとする。
＿
(1) 命題「ｒ→(ｐまたはｑ)」の対偶は「[ク]→ｒ」である。
[ク]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
＿ ＿ ＿ ＿ ＿
{0} (ｐかつｑ) {1} (ｐかつｑ) {2} (ｐまたはｑ) {3} (ｐまたはｑ)
(2) 次の{0}〜{4}のうち、命題「(ｐまたはｑ)→ｒ」に対する反例となって
いる三角形は[ケ]と[コ]である。
[ケ]と[コ]に当てはまるものを、{0}〜{4}のうちから一つずつ選べ。
ただし、[ケ]と[コ]の解答の順序は問わない。
{0} 直角二等辺三角形
{1} 内角が３０°，４５°，１０５°の三角形
{2} 正三角形
{3} 三辺の長さが３，４，５の三角形
{4} 頂角が４５°の二等辺三角形
(3) ｒは(ｐまたはｑ)であるための[サ]。
[サ]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
{0} 必要十分条件である
{1} 必要条件であるが、十分条件ではない
{2} 十分条件であるが、必要条件ではない
{3} 必要条件でも十分条件でもない
※マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 逆・裏・対偶
◆２ 必要条件・十分条件
◆３ 「または」と「かつ」が入れ替わる
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ 「または」と「かつ」が入れ替わる
では、今回のセンター試験の問題を検討してみましょう。
まず最初は、命題「ｒ→(ｐまたはｑ)」の対偶を尋ねる設問です。
今◆１で確認したように、「対偶は逆かつ裏」ですね。
まず、逆は入れ替えただけなので、「(ｐまたはｑ)→ｒ」となります。
＿ ＿ ＿
そして、裏は否定なので、「ｒ→(ｐまたはｑ)」・・・でなく、
＿ ＿ ＿
「ｒ→(ｐかつｑ)」となります。
なお、裏になると「または」と「かつ」は相互に入れ替わることに
注意してください。
「対偶は逆かつ裏」なので・・・
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