【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題
2018年センター試験数2Bより
第2問
[ 1 ] p>0とする。座標平面上の放物線y=px^2+qx+rをCとし、
直線y=2x−1をlとする。Cは点A(1,1)においてlと接しているとする。
(1) qとrを、pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線lの傾きは
[ア]であることから、q=[イウ]p+[エ]がわかる。さらに、Cは点Aを通る
ことから、r=p−[オ]となる。
(2) v>1とする。放物線Cと直線lおよび直線x=vで囲まれた図形の面積Sは
S=(p/[カ])(v^3−[キ]v^2+[ク]v−[ケ])である。
また、x軸とlおよび2直線x=1,x=vで囲まれた図形の面積Tは、
T=v^[コ]−vである。
U=S−Tはv=2で極値をとるとする。このとき、p=[サ]であり、v>1の
範囲でU=0となるvの値をv0とすると、v0=([シ]+√[ス])/[セ]である。
1<v<v0の範囲でUは[ソ]。
[ソ]に当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから一つ選べ。
{0} つねに増加する {1} つねに減少する {2} 正の値のみをとる
{3} 負の値のみをとる {4} 正と負のどちらの値もとる
p=[サ]のとき、v>1におけるUの最小値は[タチ]である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆1 導関数は傾きを表す
◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
◆3 積分は微分の逆
◆4 数学でも文章の言い換えをしてみる
◆5 y=ax+bのaが傾き
(以下略)
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■ 解説
◆1〜3は省略します。
◆4 数学でも文章の言い換えをしてみる
前置きはこの辺にして、今回の問題です。
[1] p>0とする。座標平面上の放物線y=px^2+qx+rをCとし、
直線y=2x−1をlとする。Cは点A(1,1)においてlと接しているとする。
このようにあります。
p>0の放物線y=px^2+qx+rがあり、これをCとしているようです。
そして直線y=2x−1があり、これをlとしています。
lはA(1,1)におけるCの接線らしいです。
まずは問題文に書いてあることを確認してみました。
ただ単に書いてあることをなぞるだけでなく、今ここでやってみたように、
自分なりに言い換えたりすると、内容がよくわかると思います。
皆さんもぜひ試してみてくださいね!
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◆5 y=ax+bのaが傾き
内容がよくわかったところで、(1)にいってみましょう!
(1) qとrを、pを用いて表そう。放物線C上の点Aにおける接線lの傾きは
[ア]であることから、q=[イウ]p+[エ]がわかる。さらに、Cは点Aを通る
ことから、r=p−[オ]となる。
このように書いてあります。
「放物線C上の点Aにおける接線lの傾き」と言っています。
接線lはy=2x−1です。
中学の数学でやったように、直線はy=ax+bの形で表すことができて・・・
(以下略)
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ラベル:数学