2019年03月31日

高校数学「2次関数」平方完成のやり方

高校数学「2次関数」平方完成のやり方

2次関数の問題では、平方完成が必要になることが多いです。
自分の授業では、以下のようにやり方を指導しています。


y=x^2−4x+1という2次関数を平方完成してみましょう!

y=x^2−4x+1      ・・・a
 =(x^2−4x+4)−4+1 ・・・b
 =(x−2)^2−3      ・・・c

教科書などによくこんな式が書いてあると思います。
bの式のところでは、普通は単に「ココは半分にして2乗するんだよ。」
みたいに言われていると思います。
・・・が、どうしてそうするのか腑に落ちない人もたくさんいると思います。

そんな人はこんなふうにしてみると良いかも!?





aを書いたら、bの式のスペースを空けて、まず3行目のcの(x−2)^2の部分を
書いてみます。

y=x^2−4x+1
 =
 =(x−2)^2        ←「真ん中の項」の半分をカッコの中に

ここでcの式を展開したものをbの位置に書いてみます。

y=x^2−4x+1
 =x^2−4x+4      ← 下の式を展開
 =(x−2)^2

aの式には「4」という項は存在していなかったので、値を合わせるために
同じく4を引きます。
また、「+1」という項はaからbへそのまま持ってきます。

y=x^2−4x+1
 =(x^2−4x+4)−4+1 ← bの式完成!
 =(x−2)^2

そして、bの式のカッコの外の部分を計算してみます。

y=x^2−4x+1
 =x^2−4x+4−4+1
 =(x−2)^2−3      ← 括弧の外を計算

ということで、平方完成が完成しました!
このようにするとわかりやすく、ミスも少なくなる気がしませんか?


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ラベル:数学
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高校英語「関係代名詞」whoの語形変化

高校英語「関係代名詞」whoの語形変化

whoの語形変化は、

主格はwho

所有格はwhose

目的格はwhom

です。
ただし、目的格のwhomは、現代英語ではあまり使いません。

関係代名詞としてのwhoの形を考える場合、関係代名詞に置き換えるもとの代名詞(名詞)の「格」によって、whoの形も決まります。


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ラベル:英語
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2019年03月30日

本日配信のメルマガ。2019年センター英語第4問B本文和訳

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第4問Bの本文和訳を掲載します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

第4問

B 次のページの、ある地域の城に関する案内を読み、次の問い(問1〜4)の
[ 37 ]〜[ 40 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから
一つずつ選べ。

問1 What is a common characteristic of all four castles? [ 37 ]
{1} Amount of damage
{2} Displays of pictures and weapons
{3} Histories of more than 500 years
{4} Purposes of construction

問2 Three guitar club members from Grandleforlk University want to give
a concert one afternoon in April. Which castle are they most likely to
choose? [ 38 ]
{1} Crestvale Castle
{2} Holmsted Castle
{3} King's Castle
{4} Rosebush Castle

問3 Teachers at one school want to take their students to Grandlefolk
one Saturday in May. The purpose is to expand the students' knowledge of
the area's history by visiting castles and listening to explanations from
the castle staff. Which two castles are the teachers most likely to select?
[ 39 ]
{1} Crestvale Castle and Holmsted Castle
{2} Crestvale Castle and King's Castle
{3} Rosebush Castle and Holmsted Castle
{4} Rosebush Castle and King's Castle

問4 A mother, father, and their two children ages 4 and 8, will visit
one of the castles in Grandlefolk for one day in September and want to see
fine arts. How much will it cost? [ 40 ]
{1} 14 euros  {2} 17 euros  {3} 20 euros  {4} 25 euros


[Castles in Grandlefolk]

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, built to defend the northern border of
Grandlefolk, is currently being studied by researchers. During the open
season, except on Sundays, guides explain what the research is revealing
about local history.

[Holmsted Castle]
Holmsted Castle, built in the 12th century to protect the southern border
area, fell into ruin in the 16th century. At the entrance, signboards
explain its history. This castle's open spaces are suitable for
performances.

[King's Castle]
Dating back to the 11th century, King's Castle is one of the grandest in
the country. Its large collection of paintings and furniture provide a look
at the area's past. Guides are available every day.

[Rosebush Castle]
Though called a castle, this perfectly preserved 15th-century building was
constructed purely as a family home. From Mondays to Fridays, guides tell
the story of the family's history and explain their collection of modern
sculptures. Some of its rooms are available for public events.


―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|        |   Opening Times    |  Daily Admission  |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|        |  Months   |  Hours  |Adults|  Children  |
|        |        |      |   |(5-16 years old)|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Crestvale Castle| April-October |10:00-16:00| 3 EUR|   1 EUR   |
|Holmsted Castle |April-September|10:00-17:00| 5 EUR|   2 EUR   |
| King's Castle |April-November |10:00-18:00| 7 EUR|   3 EUR   |
|Rosebush Castle | April-July  | 9:00-12:00|10 EUR|   5 EUR   |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
*Children under 5 years old are admitted free of charge.


※マーク部分の□は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

2019年第4問Bは、「ある地域の城」の案内に関する問題でした。
実在の城をモチーフに、「それっぽい説明」が作られたものだと思います。
実在の城を使ってしまうと、そのことを知っているかどうかで大きく有利不利が
変わってしまうので、架空の建物等を設定して問題にしているのかも知れません。


まずは問いの意味を確認してみましょう!

問1 What is / a common characteristic / of all four castles? [ 37 ]
何ですか? / 共通の性格は / 4つすべての城に

{1} Amount of damage 損傷の量
{2} Displays of pictures and weapons 絵や武器の展示
{3} Histories of more than 500 years 500年以上の歴史
{4} Purposes of construction 建設の目的

4つの城に共通の事項がなんなのかを聞いていますね。
それを意識しながら、資料の英文の記述を確認してみましょう!

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, / built / to defend / the northern border
/ of Grandlefolk, / is currently / being studied / by researchers.
この朽ちた13世紀の城は / 建てられた / 守るために / 北側の国境を
/ Grandlefolkの / 現在〜だ / 調査されている / 調査者によって

During / the open season, / except on Sundays, / guides explain / what
/ the research is revealing / about local history.


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

[Grandlefolkの城]

[Crestvale Castle]
この荒廃した13世紀の城は、Grandlefolkの北側の国境を守るために建てられ、
現在調査員によって調査されています。開いているシーズンの間は、日曜を除いて

(続きはメルマガかブログで!)

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■ 今回の高校レベルの単語・熟語など

(今回は省略します)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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ラベル:英語
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中学数学「1次関数」2点を通る直線の式

中学数学「1次関数」2点を通る直線の式

座標平面上の2点が与えられ、その2点を通る直線の式は、

その2点の座標をy=ax+bに代入してできた式を連立方程式にして解けば求めることができます。


通る点の座標は、そのグラフの式に代入できる

直線の式はy=ax+b


だから、その2点の座標をそれぞれy=ax+bのx,yに代入して連立方程式!ですね!


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ラベル:数学
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2019年03月29日

中学英語「間接疑問文」2文を1文につなげる

中学英語「間接疑問文」2文を1文につなげる

この記事は、やり直しの中学英語を完成させる本P298の問題を題材に解説します。


What does she think? You need to know it.

この2文を間接疑問文にして1文につなげよう。という問題です。

間接疑問文とは、疑問詞を使った疑問文を他の文につなげた形の文です。
だからそのままくっつけて・・・では、もちろん不完全な文ができあがってしまいます。

まずはもとの文の意味を考えて、つなげたらどんな意味になるか考えます。

What does she think?「彼女は何を考えますか?」
You need to know it.「あなたはそれを知る必要があります」

これらをつなげると、「あなたは、彼女が何を考えているか知る必要があります」のような意味になりますね。

つなげた文の主語述語は、「あなた」「必要があります」なので、まずは

You need to know

ここまで言ってしまいます。
知る必要がある内容が「彼女が何を考えているか」なので、このあとに疑問詞を使った文を続けます。

You need to know what she thinks.

これで「あなたは、彼女が何を考えているか知る必要があります」という意味になりました。


最後に一つ注意点に触れておきます。
疑問文の「What does she think?」をあとから付け足したら「what she thinks」になっています。
これは「文法の決まりでそうなってるから」とも言えますが、「そうしないと意味がおかしいから」です。

もし、「You need to know what does she think.」などとしてしまった場合、その意味は「あなたは、彼女が何を考えますかを知る必要があります」のような意味になってしまいます。
それじゃおかしいですよね?




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ラベル:英語
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本日配信のメルマガ。2019年センター数学2B第2問[ネ]まで

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学2B第2問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数2Bより

第2問

 p,qを実数とし、関数f(x)=x^3+px^2+qxはx=−1で極値2を
とるとする。また、座標平面上の曲線y=f(x)をC,放物線y=−kx^2をD,
放物線D上の点(a,−ka^2)をAとする。ただし、k>0,a>0である。

(1) 関数f(x)がx=−1で極値をとるので、f'(−1)=[ア]である。これと
f(−1)=2より、p=[イ],q=[ウエ]である。よって、f(x)はx=[オ]で
極小値[カキ]をとる。

(2) 点Aにおける放物線Dの接線をlとする。Dとlおよびx軸で囲まれた図形の
面積Sをaとkを用いて表そう。

 lの方程式は

  y=[クケ]kax+ka^[コ] ……{1}

と表せる。lとx軸の交点のx座標は[サ]/[シ]であり、Dとx軸および直線
x=aで囲まれた図形の面積は(k/[ス])a^[セ]である。よって、
S=(k/[ソタ])a^[セ]である。

(3) さらに、点Aが曲線C上にあり、かつ(2)の接線lがCにも接するとする。
このときの(2)のSの値を求めよう。

 AがC上にあるので、k=[チ]/[ツ]−[テ]である。

 lとCの接点のx座標をbとすると、lの方程式はbを用いて

  y=[ト](b^2−[ナ])x−[ニ]b^2 ……{2}

と表される。{2}の右辺をg(x)とおくと

  f(x)−g(x)=(x−[ヌ])^2・(x+[ネ]b)

と因数分解されるので、a=−[ネ]bとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、a^2=[ノハ]/[ヒ]である。

 したがって、求めるSの値は[フ]/[ヘホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
 ◆3 積分は微分の逆
 ◆4 極値なのでf'(x)=0
 ◆5 極値はy座標

(以下略)

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2016〜2018年のセンター試験本試験は全問の解説の掲載が完了しました!
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■ 解説

◆1〜3は省略します。


 ◆4 極値なのでf'(x)=0

前置きはこの辺にして、今回の問題です。

2019年は、3次関数f(x)=x^3+px^2+qxについての問題でした。

この関数は、「x=−1で極値2をとる」と言っています。

ここからいくつか式ができますね?

まずは、◆2でも触れたように「極値は接線の傾きがゼロになるところ」なので、
f(x)を微分し、x=−1を代入した式の値はゼロになります。

つまり、f'(−1)=0です。

よって、[ア]=0

少し計算しておきましょう!

f'(x)=3x^2+2px+q
f'(−1)=3(−1)^2+2p×(−1)+q
     =3−2p+q=0

このような式が得られます。


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 ◆5 極値はy座標

さらに、「x=−1で極値2をとる」ので、f(−1)=2です。
極値は式の値なので、つまりはxy平面にグラフを描いた場合のy座標ですね。

これもその通りの式を作ってみましょう!

f(x)=x^3+px^2+qx
f(−1)=(−1)^3+p(−1)^2+q(−1)
    =−1+p−q=2

文字が2つあるので、◆4の式と連立すれば・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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高校数学「等式の証明」x+y+z=0のとき

高校数学「等式の証明」x+y+z=0のとき

x+y+z=0のとき、x^3+y ^3+z^3=3xyzであることを証明せよ。

この問題の証明をすることを考えてみます。

等式の証明は、前回の記事でも述べたように、A−B=0を証明するなどの方法ですることができます。

今回の問題のように、「x+y+z=0」という条件がある場合は、これを活用しなければ、普通はできないようになっています。

x+y+z=0を移項して、x+y=−zとしてみましょう。
これはつまり、「x+yがあれば、−zに置き換えられる」ということを意味します。



与式を変形して、x+yの形を作ることをめざしましょう!

(左辺)=x^3+y^3+z^3
   =(x+y)(x^2−xy+y^2)+z^3
   =(x+y){(x+y)^2−3xy}+z^3

因数分解の公式を利用して、このように変形してみると、x+yが出てきました。−zに置き換えてみましょう!

   =(−z){(−z)^2−3xy}+z^3
   =(−z)(z^2−3xy)+z^3
   =−z^3+3xy+z^3
   =3xy
   =(右辺)

ということで、左辺と右辺が等しいことが証明できました。


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2019年03月28日

高校数学「等式の証明」

高校数学「等式の証明」

A=Bという等式の証明をしたい場合は、

・A−Bを計算してゼロになることを示す

・Aを計算したらBになることを示す

・AとBをそれぞれ計算して、同じ形の式が作れることを示す

のような方法をとるのが一般的です。

一見すると等しくなさそうな式でも、「証明しなさい」という問題ならば、必ず等しいはずなので、計算すれば必ず成り立つと考えて、焦らず落ち着いてできる計算をしてみることが大切です。


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高校物理「波動」「ヤングの実験」スリットS2からスクリーンまでの距離

高校物理「波動」「ヤングの実験」スリットS2からスクリーンまでの距離

高校物理の波動の単元の重要ポイントの一つに「ヤングの実験」があります。
スリットを通った光が干渉し合って縞模様を作る実験です。

前回の記事→S1Pの距離

次に、スリットS2からスクリーンまでの距離を式で表します。

光が到達するスクリーン上の点をP,スリットとスクリーンまでの距離をl,スリットS1とS2の間の距離を2d,スリットS1とS2の中間点からスクリーンに引いた垂線とスクリーンとの交点からPまでの距離をxとすると、

横がl,縦がx+d,斜辺がS2Pの直角三角形になります。
直角三角形だから三平方の定理が成り立つので、

(S2P)^2=l^2+(x+d)^2
  S2P=√{l^2+(x+d)^2}


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中学理科「中和反応」

中学理科「中和反応」

中和反応は、酸性の水溶液とアルカリ性の水溶液が反応して起こります。

具体的には、水素イオンと水酸化物イオンが反応して水ができる反応が中和反応です。

H++OH-→H2O

ですね。

中和反応が起こってできる水以外の物質を「塩(えん)」と言います。


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2019年03月27日

本日配信のメルマガ。2019年センター英語第4問B解説完成

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第4問Bを解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

第4問

B 次のページの、ある地域の城に関する案内を読み、次の問い(問1〜4)の
[ 37 ]〜[ 40 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから
一つずつ選べ。

問1 What is a common characteristic of all four castles? [ 37 ]
{1} Amount of damage
{2} Displays of pictures and weapons
{3} Histories of more than 500 years
{4} Purposes of construction

問2 Three guitar club members from Grandleforlk University want to give
a concert one afternoon in April. Which castle are they most likely to
choose? [ 38 ]
{1} Crestvale Castle
{2} Holmsted Castle
{3} King's Castle
{4} Rosebush Castle

問3 Teachers at one school want to take their students to Grandlefolk
one Saturday in May. The purpose is to expand the students' knowledge of
the area's history by visiting castles and listening to explanations from
the castle staff. Which two castles are the teachers most likely to select?
[ 39 ]
{1} Crestvale Castle and Holmsted Castle
{2} Crestvale Castle and King's Castle
{3} Rosebush Castle and Holmsted Castle
{4} Rosebush Castle and King's Castle

問4 A mother, father, and their two children ages 4 and 8, will visit
one of the castles in Grandlefolk for one day in September and want to see
fine arts. How much will it cost? [ 40 ]
{1} 14 euros  {2} 17 euros  {3} 20 euros  {4} 25 euros


英語



[Castles in Grandlefolk]

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, built to defend the northern border of
Grandlefolk, is currently being studied by researchers. During the open
season, except on Sundays, guides explain what the research is revealing
about local history.

[Holmsted Castle]
Holmsted Castle, built in the 12th century to protect the southern border
area, fell into ruin in the 16th century. At the entrance, signboards
explain its history. This castle's open spaces are suitable for
performances.

[King's Castle]
Dating back to the 11th century, King's Castle is one of the grandest in
the country. Its large collection of paintings and furniture provide a look
at the area's past. Guides are available every day.

[Rosebush Castle]
Though called a castle, this perfectly preserved 15th-century building was
constructed purely as a family home. From Mondays to Fridays, guides tell
the story of the family's history and explain their collection of modern
sculptures. Some of its rooms are available for public events.


―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|        |   Opening Times    |  Daily Admission  |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|        |  Months   |  Hours  |Adults|  Children  |
|        |        |      |   |(5-16 years old)|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Crestvale Castle| April-October |10:00-16:00| 3 EUR|   1 EUR   |
|Holmsted Castle |April-September|10:00-17:00| 5 EUR|   2 EUR   |
| King's Castle |April-November |10:00-18:00| 7 EUR|   3 EUR   |
|Rosebush Castle | April-July  | 9:00-12:00|10 EUR|   5 EUR   |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
*Children under 5 years old are admitted free of charge.


※マーク部分の□は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

2019年第4問Bは、「ある地域の城」の案内に関する問題でした。
実在の城をモチーフに、「それっぽい説明」が作られたものだと思います。
実在の城を使ってしまうと、そのことを知っているかどうかで大きく有利不利が
変わってしまうので、架空の建物等を設定して問題にしているのかも知れません。


まずは問いの意味を確認してみましょう!

問1 What is / a common characteristic / of all four castles? [ 37 ]
何ですか? / 共通の性格は / 4つすべての城に

{1} Amount of damage 損傷の量
{2} Displays of pictures and weapons 絵や武器の展示
{3} Histories of more than 500 years 500年以上の歴史
{4} Purposes of construction 建設の目的

4つの城に共通の事項がなんなのかを聞いていますね。
それを意識しながら、資料の英文の記述を確認してみましょう!

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, / built / to defend / the northern border
/ of Grandlefolk, / is currently / being studied / by researchers.
この朽ちた13世紀の城は / 建てられた / 守るために / 北側の国境を
/ Grandlefolkの / 現在〜だ / 調査されている / 調査者によって

During / the open season, / except on Sundays, / guides explain / what
/ the research is revealing / about local history.


(以下略)


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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

 芸術は人々が生きた方法を反映するかも知れません。調査者はどのように芸術が
衣類や社会的な場を描くのかを議論してきました。この考えが家庭の食事を題材と
した絵画にも広げられ得るかどうかを決めるために、ある調査が実施・・・

(続きはメルマガかブログで!)

英語


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■ 今回の高校レベルの単語・熟語など

≪第1段落≫
reflect:守備陣がボールを跳ね返すのはリフレクション。「反射する」
discuss:他動詞なので前置詞は不要。「〜を議論する」
portray:ポートレートの動詞形。「〜を描く、描写する」

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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ラベル:英語
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高校英語「現在分詞」「動名詞」be busy doing

高校英語「現在分詞」「動名詞」be busy doing

「be busy doing」は「〜するのに忙しい」という熟語である。
のように書かれていることが多いと思います。

単に「はいそうですか」と覚えるのではなく、「どうしてそうなるか」を考えた方がよいです。

be busy in doingの前置詞inを省略したもの。と考えれば、doingは動名詞だから〜ingになっている。と理解できます。

または

doingは現在分詞で、be busyを修飾している。busyな状態の状況説明がdoingである。と考えることもできます。




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ラベル:英語
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中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

ヒストグラムとは要するに「棒グラフ」です。

データを一定の幅に区切って、その度数分布をグラフに表したのが「ヒストグラム」です。

中学数学の範囲では、ヒストグラムと度数分布表の関係がわかればOKです。

高校数学の範囲では、ヒストグラムと箱ひげ図の関係をわかるようにします。




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ラベル:数学
posted by えま at 11:40| Comment(0) | 中学数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「等差数列」等差数列の一般項

高校数学「等差数列」等差数列の一般項

等差数列は次の項にいく度に一定の数を足す数列です。
例えば自然数は、数列と見なせば次の項に行く度に1ずつ足していくので等差数列です。
この数列のn番目を式で表したものが「一般項」で、普通はanで表されます。

an=a+(n−1)d

公式としてはこのように表されます。
anはn項目を表し、aは初項、dは公差、nは項数です。

これらの値のうちわかっているものを代入すれば、一般項がわかる。というわけです。


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ラベル:数学
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2019年03月26日

中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

例えば、「−8+5」という計算をやるとします。
答えはもちろん「−3」ですが、正負の数を習いたての中学1年生や、中学の内容を先取りする小学生はその意味がわからず、「−13」「13」「3」などと間違えることがあります。

そんなときは、身近な例で考えるとよいです。

例えば、

「気温が−8℃から5℃上がったら何度?」
「階段を8段下がって5段上がったらどの位置にいる?」

などの具体例で尋ねると、「あ、そっか!」とわかる場合もあるはずです。


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ラベル:数学
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高校数学「三角関数」サインとコサインが混じった関数の最大値・最小値

高校数学「三角関数」サインとコサインが混じった関数の最大値・最小値

先日の授業でこんな問題がありました。

「0≦x<2πとするとき、f(x)=2sinx−cos2x−3の最大値・最小値を求めよ。」

これを解くときは、まずサインとコサインが混じっていることに注目します。
両方あるとやりにくいので、どちらか片方に統一します。

cos2xの方は、三角関数の二倍角の公式で、サインだけの式に直すことができますね。
cos2x=(cosx)^2−(sinx)^2=1−2(sinx)^2
なので、

f(x)=2sinx−{1−2(sinx)^2}−3

こうなれば、sinxについての2次式なので、普通に2次関数と同様に最大最小のときにやるべきことをやります。
つまり、「平方完成」「頂点」ですね。

f(x)=2sinx−1+2(sinx)^2−3
   =2(sinx)^2+2sinx−4
   =2{(sinx)^2+sinx)−4
   =2{(sinx+1/2)^2−1/4}−4
   =2(sinx+1/2)^2−1/2−4
   =2(sinx+1/2)^2−9/2
よって、頂点(−1/2,−9/2)を求めることができました。

下に凸のグラフなので、これが最小値!・・・でだいたい良いのですが、定義域も考えなければいけません。



sinxは90°=π/2のとき最大で1,270°=(3/2)πのとき最小で−1ですね。
つまり、定義域は−1≦sinx≦1です。

頂点はこの範囲に入っているので、やはり最小値は頂点でOKです。

最大値は定義域の両端のうち頂点から遠い方なので、sinx=1ですね。
f(x)=2(sinx)^2+2sinx−4にsinx=1を代入すると、f(x)=0で、これが最大値です。

sinx=1のとき最大値0,sinx=−1/2のとき最小値−9/2

となります。

さらに、通常は、これらの値を取る場合のxの値もあわせて答えます。

sinx=1のときx=π/2、sinx=−1/2のときx=(7/6)π,(11/6)πですね。ということで、

「sinx=1すなわちx=π/2のとき最大値0,sinx=−1/2すなわちx=(7/6)π,(11/6)πのとき最小値−9/2」

これで完成です!


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ラベル:数学
posted by えま at 19:09| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

本日配信のメルマガ。2019年センター数学1A第2問[2][タ]まで

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学1A第2問[2]を解説します。


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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第2問
[2] 全国各地の気象台が観測した「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花日」や、
「モンシロチョウの初見日(初めて観測した日)」、「ツバメの初見日」などの日付
を気象庁が発表している。気象庁発表の日付は普通の月日形式であるが、この問題
では該当する年の1月1日を「1」とし、12月31日を「365」(うるう年の
場合は「366」)とする「年間通し日」に変更している。例えば、2月3日は、
1月31日の「31」に2月3日の3を加えた「34」となる。

(1) 図1は全国48地点で観測しているソメイヨシノの2012年から2017年までの
6年間の開花日を、年ごとに箱ひげ図にして並べたものである。

 図2はソメイヨシノの開花日の年ごとのヒストグラムである。ただし、順番は
年の順に並んでいるとは限らない。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の
数値を含み、右側の数値を含まない。

 次の[ソ]、[タ]に当てはまるものを、図2の{0}〜{5}のうちから一つずつ選べ。

 ・2013年のヒストグラムは[ソ]である。
 ・2017年のヒストグラムは[タ]である。

(図はここでは省略します)

(2) 図3と図4は、モンシロチョウとツバメの両方を観測している41地点に
おける、2017年の初見日の箱ひげ図と散布図である。散布図の点には重なった点が
2点ある。なお、散布図には原点を通り傾き1の直線(実線)、切片が−15および
15で傾きが1の2本の直線(破線)を付加している。

 次の[チ],[ツ]に当てはまるものを、下の{0}〜{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。

 図3,図4から読み取れることとして[正しくないもの]は、[チ],[ツ]である。

{0} モンシロチョウの初見日の最小値はツバメの初見日の最小値と同じである。
{1} モンシロチョウの初見日の最大値はツバメの初見日の最大値より大きい。
{2} モンシロチョウの初見日の中央値はツバメの初見日の中央値より大きい。
{3} モンシロチョウの初見日の四分位範囲はツバメの初見日の四分位範囲の3倍
より小さい。
{4} モンシロチョウの初見日の四分位範囲は15日以下である。
{5} ツバメの初見日の四分位範囲は15日以下である。
{6} モンシロチョウとツバメの初見日が同じ所が少なくとも4地点ある。
{7} 同一地点でのモンシロチョウの初見日とツバメの初見日の差は15日以下
である。

(図はここでは省略します)
                                _
(3) 一般にn個の数値x1,x2,…,xnからなるデータXの平均値をx,分散を
s^2,標準偏差をsとする。各xiに対して、
      _
x'i=(xi−x)/s (i=1,2,…,n)

と変換したx'1,x'2,…,x'nをデータX'とする。ただし、n≧2,s>0と
する。

 次の[テ],[ト],[ナ]に当てはまるものを、下の{0}〜{8}のうちから一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
         _    _      _
 ・Xの偏差x1−x,x2−x,…,xn−xの平均値は[テ]である。
 ・X'の平均値は[ト]である。
 ・X'の標準偏差は[ナ]である。

{0} 0  {1} 1  {2} −1  {3} xの平均  {4} s
{5} 1/s  {6} s^2  {7} 1/s^2  {8} xの平均/s

 図4で示されたモンシロチョウの初見日のデータMとツバメの初見日のデータT
について上の変換を行ったデータをそれぞれM',T'とるする。

 次の[ニ]に当てはまるものを、図5の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。

 変換後のモンシロチョウの初見日のデータM'と変換後のツバメの初見日のデータ
T'の散布図は、M'とT'の標準偏差の値を考慮すると[ニ]である。

(図はここでは省略します)


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 2019年も第2問は「三角比」「データの分析」
 ◆2 前置きの内容もよく読み取って
 ◆3 箱ひげ図の「箱」は四分位数、「ひげ」は最大最小

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 前置きの内容もよく読み取って

データの分析の単元は、実際の統計資料等に基づいた問題にすると、仕方がない
のですが、やはり問題が長いです。読解力や長文を読む精神的なタフさも必要かも
知れません。

まず今回の問題の概要ですが、ソメイヨシノの開花日、ツバメ、モンシロチョウの
初見日についての問題となっています。これらのデータにどんな特徴があるのかを
データから読み取り、答えたり計算したりします。

このデータに関する日付の読み方も、説明があるので、しっかり読み取らないと
いけません。

日付は「年間通し日」で表してあります。
「例えば、2月3日は、1月31日の「31」に2月3日の3を加えた「34」となる。」
と書かれていますが、理解できましたか?

中学受験ではよく問われる内容ですが、中学受験未経験者はなじみがない事柄
だったかも知れません。要するに、「その年の何日目か」を表した数を、この資料
では日付として使います。ということです。

ここまでは「前置き」ですが、ここまでの内容を理解していないと、問題の理解に
も支障があります。「時間がないから読んでられない」という人もいますが、よく
理解せずに問題に取りかかると、結局余計に悩んで余計に時間がかかります。
しっかり丁寧に読んで理解した方が速いと心得て、一つ一つクリアにしていくよう
心がけてください。


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 ◆3 箱ひげ図の「箱」は四分位数、「ひげ」は最大最小

では、(1)の問題です。

(1) 図1は全国48地点で観測しているソメイヨシノの2012年から2017年までの
6年間の開花日を、年ごとに箱ひげ図にして並べたものである。

 図2はソメイヨシノの開花日の年ごとのヒストグラムである。ただし、順番は
年の順に並んでいるとは限らない。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の
数値を含み、右側の数値を含まない。


ということで、まずはソメイヨシノの開花日のヒストグラムと箱ひげ図の相関を
見る問題です。

ヒストグラムは中学でも習っている通りに、一定の間隔で区切られたデータの数を
棒グラフの形で表したものです。

箱ひげ図は、「箱」の部分が第1四分位数〜第3四分位数で、「ひげ」の部分が…


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
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★【高校化学】読むだけでわかる!理論・無機・有機化学の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm603.html

【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
 http://pmana.jp/pc/pm729.html

【中学5科】高校入試の重要ポイント
 http://pmana.jp/pc/pm707.html
ラベル:数学
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高校物理「波動」「ヤングの実験」スリットS1からスクリーンまでの距離

高校物理「波動」「ヤングの実験」スリットS1からスクリーンまでの距離

高校物理の波動の単元の重要ポイントの一つに「ヤングの実験」があります。
スリットを通った光が干渉し合って縞模様を作る実験です。

この実験について理解する際に、まず、スリットS1からスクリーンまでの距離を式で表します。

光が到達するスクリーン上の点をP,スリットとスクリーンまでの距離をl,スリットS1とS2の間の距離を2d,スリットS1とS2の中間点からスクリーンに引いた垂線とスクリーンとの交点からPまでの距離をxとすると、

横がl,縦がx−d,斜辺がS1Pの直角三角形になります。
直角三角形だから三平方の定理が成り立つので、

(S1P)^2=l^2+(x−d)^2
  S1P=√{l^2+(x−d)^2}


つづく→S2Pの距離


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2019年03月25日

本日配信のメルマガ。2019年センター英語第4問B 問3

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第4問Bの問3を解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

第4問

B 次のページの、ある地域の城に関する案内を読み、次の問い(問1〜4)の
[ 37 ]〜[ 40 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから
一つずつ選べ。

問1 What is a common characteristic of all four castles? [ 37 ]
{1} Amount of damage
{2} Displays of pictures and weapons
{3} Histories of more than 500 years
{4} Purposes of construction

問2 Three guitar club members from Grandleforlk University want to give
a concert one afternoon in April. Which castle are they most likely to
choose? [ 38 ]
{1} Crestvale Castle
{2} Holmsted Castle
{3} King's Castle
{4} Rosebush Castle

問3 Teachers at one school want to take their students to Grandlefolk
one Saturday in May. The purpose is to expand the students' knowledge of
the area's history by visiting castles and listening to explanations from
the castle staff. Which two castles are the teachers most likely to select?
[ 39 ]
{1} Crestvale Castle and Holmsted Castle
{2} Crestvale Castle and King's Castle
{3} Rosebush Castle and Holmsted Castle
{4} Rosebush Castle and King's Castle

問4 A mother, father, and their two children ages 4 and 8, will visit
one of the castles in Grandlefolk for one day in September and want to see
fine arts. How much will it cost? [ 40 ]
{1} 14 euros  {2} 17 euros  {3} 20 euros  {4} 25 euros


[Castles in Grandlefolk]

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, built to defend the northern border of
Grandlefolk, is currently being studied by researchers. During the open
season, except on Sundays, guides explain what the research is revealing
about local history.

[Holmsted Castle]
Holmsted Castle, built in the 12th century to protect the southern border
area, fell into ruin in the 16th century. At the entrance, signboards
explain its history. This castle's open spaces are suitable for
performances.

[King's Castle]
Dating back to the 11th century, King's Castle is one of the grandest in
the country. Its large collection of paintings and furniture provide a look
at the area's past. Guides are available every day.

[Rosebush Castle]
Though called a castle, this perfectly preserved 15th-century building was
constructed purely as a family home. From Mondays to Fridays, guides tell
the story of the family's history and explain their collection of modern
sculptures. Some of its rooms are available for public events.


―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|        |   Opening Times    |  Daily Admission  |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|        |  Months   |  Hours  |Adults|  Children  |
|        |        |      |   |(5-16 years old)|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Crestvale Castle| April-October |10:00-16:00| 3 EUR|   1 EUR   |
|Holmsted Castle |April-September|10:00-17:00| 5 EUR|   2 EUR   |
| King's Castle |April-November |10:00-18:00| 7 EUR|   3 EUR   |
|Rosebush Castle | April-July  | 9:00-12:00|10 EUR|   5 EUR   |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
*Children under 5 years old are admitted free of charge.


※マーク部分の□は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

2019年第4問Bは、「ある地域の城」の案内に関する問題でした。
実在の城をモチーフに、「それっぽい説明」が作られたものだと思います。
実在の城を使ってしまうと、そのことを知っているかどうかで大きく有利不利が
変わってしまうので、架空の建物等を設定して問題にしているのかも知れません。


まずは問いの意味を確認してみましょう!

問1 What is / a common characteristic / of all four castles? [ 37 ]
何ですか? / 共通の性格は / 4つすべての城に

{1} Amount of damage 損傷の量
{2} Displays of pictures and weapons 絵や武器の展示
{3} Histories of more than 500 years 500年以上の歴史
{4} Purposes of construction 建設の目的

4つの城に共通の事項がなんなのかを聞いていますね。
それを意識しながら、資料の英文の記述を確認してみましょう!

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, / built / to defend / the northern border
/ of Grandlefolk, / is currently / being studied / by researchers.
この朽ちた13世紀の城は / 建てられた / 守るために / 北側の国境を
/ Grandlefolkの / 現在〜だ / 調査されている / 調査者によって

During / the open season, / except on Sundays, / guides explain / what
/ the research is revealing / about local history.


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html


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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

 芸術は人々が生きた方法を反映するかも知れません。調査者はどのように芸術が
衣類や社会的な場を描くのかを議論してきました。この考えが家庭の食事を題材と
した絵画にも広げられ得るかどうかを決めるために、ある調査が実施・・・

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■ 今回の高校レベルの単語・熟語など

≪第1段落≫
reflect:守備陣がボールを跳ね返すのはリフレクション。「反射する」
discuss:他動詞なので前置詞は不要。「〜を議論する」
portray:ポートレートの動詞形。「〜を描く、描写する」

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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ラベル:英語
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中学数学「1次方程式」方程式の基本的な解き方

中学数学「1次方程式」方程式の基本的な解き方

方程式を解くというのは、「x=●●」の形にして、xの値を求めることです。

方程式は両辺が等しいので、両辺に同じことをして変形することができます。

左辺から2を引いたら、右辺からも2を引く。
左辺に5を足したら、右辺にも5を足す。
左辺を4で割ったら、右辺も4で割る。
左辺に−3を掛けたら、右辺にも−3を掛ける。

などなど。
とにかく、「x=●●の形にする」「両辺に同じことをする」です。


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