高校数学「２次関数」平方完成のやり方

高校数学「２次関数」平方完成のやり方

２次関数の問題では、平方完成が必要になることが多いです。
自分の授業では、以下のようにやり方を指導しています。


ｙ＝ｘ^2−４ｘ＋１という２次関数を平方完成してみましょう！

ｙ＝ｘ^2−４ｘ＋１　　　　　　・・・ａ
　＝(ｘ^2−４ｘ＋４)−４＋１　・・・ｂ
　＝(ｘ−２)^2−３　　　　　　・・・ｃ

教科書などによくこんな式が書いてあると思います。
ｂの式のところでは、普通は単に「ココは半分にして２乗するんだよ。」
みたいに言われていると思います。
・・・が、どうしてそうするのか腑に落ちない人もたくさんいると思います。

そんな人はこんなふうにしてみると良いかも！？





ａを書いたら、ｂの式のスペースを空けて、まず３行目のｃの(ｘ−２)^2の部分を
書いてみます。

ｙ＝ｘ^2−４ｘ＋１
　＝
　＝(ｘ−２)^2　　　　　　　　←「真ん中の項」の半分をカッコの中に

ここでｃの式を展開したものをｂの位置に書いてみます。

ｙ＝ｘ^2−４ｘ＋１
　＝ｘ^2−４ｘ＋４　　　　　　←　下の式を展開
　＝(ｘ−２)^2

ａの式には「４」という項は存在していなかったので、値を合わせるために
同じく４を引きます。
また、「＋１」という項はａからｂへそのまま持ってきます。

ｙ＝ｘ^2−４ｘ＋１
　＝(ｘ^2−４ｘ＋４)−４＋１　←　ｂの式完成！
　＝(ｘ−２)^2

そして、ｂの式のカッコの外の部分を計算してみます。

ｙ＝ｘ^2−４ｘ＋１
　＝ｘ^2−４ｘ＋４−４＋１
　＝(ｘ−２)^2−３　　　　　　←　括弧の外を計算

ということで、平方完成が完成しました！
このようにするとわかりやすく、ミスも少なくなる気がしませんか？


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高校英語「関係代名詞」whoの語形変化

高校英語「関係代名詞」whoの語形変化

whoの語形変化は、

主格はwho

所有格はwhose

目的格はwhom

です。
ただし、目的格のwhomは、現代英語ではあまり使いません。

関係代名詞としてのwhoの形を考える場合、関係代名詞に置き換えるもとの代名詞(名詞)の「格」によって、whoの形も決まります。


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本日配信のメルマガ。2019年センター英語第４問Ｂ本文和訳

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第４問Ｂの本文和訳を掲載します。


【高校英語】過去問攻略！センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

第４問

Ｂ　次のページの、ある地域の城に関する案内を読み、次の問い(問１〜４)の
[ 37 ]〜[ 40 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから
一つずつ選べ。

問１　What is a common characteristic of all four castles? [ 37 ]
{1} Amount of damage
{2} Displays of pictures and weapons
{3} Histories of more than 500 years
{4} Purposes of construction

問２　Three guitar club members from Grandleforlk University want to give
a concert one afternoon in April. Which castle are they most likely to
choose? [ 38 ]
{1} Crestvale Castle
{2} Holmsted Castle
{3} King's Castle
{4} Rosebush Castle

問３　Teachers at one school want to take their students to Grandlefolk
one Saturday in May. The purpose is to expand the students' knowledge of
the area's history by visiting castles and listening to explanations from
the castle staff. Which two castles are the teachers most likely to select?
[ 39 ]
{1} Crestvale Castle and Holmsted Castle
{2} Crestvale Castle and King's Castle
{3} Rosebush Castle and Holmsted Castle
{4} Rosebush Castle and King's Castle

問４　A mother, father, and their two children ages 4 and 8, will visit
one of the castles in Grandlefolk for one day in September and want to see
fine arts. How much will it cost? [ 40 ]
{1} 14 euros　　{2} 17 euros　　{3} 20 euros　　{4} 25 euros


[Castles in Grandlefolk]

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, built to defend the northern border of
Grandlefolk, is currently being studied by researchers. During the open
season, except on Sundays, guides explain what the research is revealing
about local history.

[Holmsted Castle]
Holmsted Castle, built in the 12th century to protect the southern border
area, fell into ruin in the 16th century. At the entrance, signboards
explain its history. This castle's open spaces are suitable for
performances.

[King's Castle]
Dating back to the 11th century, King's Castle is one of the grandest in
the country. Its large collection of paintings and furniture provide a look
at the area's past. Guides are available every day.

[Rosebush Castle]
Though called a castle, this perfectly preserved 15th-century building was
constructed purely as a family home. From Mondays to Fridays, guides tell
the story of the family's history and explain their collection of modern
sculptures. Some of its rooms are available for public events.


―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　　Opening Times　　　　|　　Daily Admission　　|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　Months　　 |　 Hours　 |Adults|　　Children　　|
|　　　　　　　　|　　　　　　　 |　　　　　 |　　　|(5-16 years old)|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Crestvale Castle| April-October |10:00-16:00| 3 EUR|　　　1 EUR　　 |
|Holmsted Castle |April-September|10:00-17:00| 5 EUR|　　　2 EUR　　 |
| King's Castle　|April-November |10:00-18:00| 7 EUR|　　　3 EUR　　 |
|Rosebush Castle |　April-July　 | 9:00-12:00|10 EUR|　　　5 EUR　　 |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
*Children under 5 years old are admitted free of charge.


※マーク部分の□は[ ]で、マル１は{1}で表記しています。

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■　解答・解説

2019年第４問Ｂは、「ある地域の城」の案内に関する問題でした。
実在の城をモチーフに、「それっぽい説明」が作られたものだと思います。
実在の城を使ってしまうと、そのことを知っているかどうかで大きく有利不利が
変わってしまうので、架空の建物等を設定して問題にしているのかも知れません。


まずは問いの意味を確認してみましょう！

問１　What is / a common characteristic / of all four castles? [ 37 ]
何ですか？ / 共通の性格は / ４つすべての城に

{1} Amount of damage　損傷の量
{2} Displays of pictures and weapons　絵や武器の展示
{3} Histories of more than 500 years　500年以上の歴史
{4} Purposes of construction　建設の目的

４つの城に共通の事項がなんなのかを聞いていますね。
それを意識しながら、資料の英文の記述を確認してみましょう！

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, / built / to defend / the northern border
/ of Grandlefolk, / is currently / being studied / by researchers.
この朽ちた13世紀の城は / 建てられた / 守るために / 北側の国境を
/ Grandlefolkの / 現在〜だ / 調査されている / 調査者によって

During / the open season, / except on Sundays, / guides explain / what
/ the research is revealing / about local history.


(以下略)


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■　全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

[Grandlefolkの城]

[Crestvale Castle]
この荒廃した13世紀の城は、Grandlefolkの北側の国境を守るために建てられ、
現在調査員によって調査されています。開いているシーズンの間は、日曜を除いて

(続きはメルマガかブログで！)

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■　今回の高校レベルの単語・熟語など

(今回は省略します)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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中学数学「１次関数」２点を通る直線の式

中学数学「１次関数」２点を通る直線の式

座標平面上の２点が与えられ、その２点を通る直線の式は、

その２点の座標を１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して、できた式を連立方程式にして解けば求めることができます。


・通る点の座標は、そのグラフの式に代入できる

・直線の式はｙ＝ａｘ＋ｂ


だから、その２点の座標をそれぞれｙ＝ａｘ＋ｂのｘ，ｙに代入して連立方程式！ですね！


１次関数の式の求め方(動画)
１次関数まとめ


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中学英語「間接疑問文」２文を１文につなげる

中学英語「間接疑問文」２文を１文につなげる

この記事は、やり直しの中学英語を完成させる本P298の問題を題材に解説します。


What does she think? You need to know it.

この２文を間接疑問文にして１文につなげよう。という問題です。

間接疑問文とは、疑問詞を使った疑問文を他の文につなげた形の文です。
だからそのままくっつけて・・・では、もちろん不完全な文ができあがってしまいます。

まずはもとの文の意味を考えて、つなげたらどんな意味になるか考えます。

What does she think?「彼女は何を考えますか？」
You need to know it.「あなたはそれを知る必要があります」

これらをつなげると、「あなたは、彼女が何を考えているか知る必要があります」のような意味になりますね。

つなげた文の主語述語は、「あなた」「必要があります」なので、まずは

You need to know

ここまで言ってしまいます。
知る必要がある内容が「彼女が何を考えているか」なので、このあとに疑問詞を使った文を続けます。

You need to know what she thinks.

これで「あなたは、彼女が何を考えているか知る必要があります」という意味になりました。


最後に一つ注意点に触れておきます。
疑問文の「What does she think?」をあとから付け足したら「what she thinks」になっています。
これは「文法の決まりでそうなってるから」とも言えますが、「そうしないと意味がおかしいから」です。

もし、「You need to know what does she think.」などとしてしまった場合、その意味は「あなたは、彼女が何を考えますかを知る必要があります」のような意味になってしまいます。
それじゃおかしいですよね？




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本日配信のメルマガ。2019年センター数学２Ｂ第２問[ネ]まで

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第２問を解説します。


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■　問題

2019年センター試験数２Ｂより

第２問

　ｐ，ｑを実数とし、関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘはｘ＝−１で極値２を
とるとする。また、座標平面上の曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をＣ，放物線ｙ＝−ｋｘ^2をＤ，
放物線Ｄ上の点(ａ，−ｋａ^2)をＡとする。ただし、ｋ＞０，ａ＞０である。

(1) 関数ｆ(ｘ)がｘ＝−１で極値をとるので、ｆ'(−１)＝[ア]である。これと
ｆ(−１)＝２より、ｐ＝[イ]，ｑ＝[ウエ]である。よって、ｆ(ｘ)はｘ＝[オ]で
極小値[カキ]をとる。

(2) 点Ａにおける放物線Ｄの接線をｌとする。Ｄとｌおよびｘ軸で囲まれた図形の
面積Ｓをａとｋを用いて表そう。

　ｌの方程式は

　　ｙ＝[クケ]ｋａｘ＋ｋａ^[コ]　……{1}

と表せる。ｌとｘ軸の交点のｘ座標は[サ]／[シ]であり、Ｄとｘ軸および直線
ｘ＝ａで囲まれた図形の面積は(ｋ／[ス])ａ^[セ]である。よって、
Ｓ＝(ｋ／[ソタ])ａ^[セ]である。

(3) さらに、点Ａが曲線Ｃ上にあり、かつ(2)の接線ｌがＣにも接するとする。
このときの(2)のＳの値を求めよう。

　ＡがＣ上にあるので、ｋ＝[チ]／[ツ]−[テ]である。

　ｌとＣの接点のｘ座標をｂとすると、ｌの方程式はｂを用いて

　　ｙ＝[ト](ｂ^2−[ナ])ｘ−[ニ]ｂ^2　……{2}

と表される。{2}の右辺をｇ(ｘ)とおくと

　　ｆ(ｘ)−ｇ(ｘ)＝(ｘ−[ヌ])^2・(ｘ＋[ネ]ｂ)

と因数分解されるので、ａ＝−[ネ]ｂとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、ａ^2＝[ノハ]／[ヒ]である。

　したがって、求めるＳの値は[フ]／[ヘホ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■　解説目次

　◆１　導関数は傾きを表す
　◆２　極値では導関数の値(＝微分係数)が０
　◆３　積分は微分の逆
　◆４　極値なのでｆ'(ｘ)＝０
　◆５　極値はｙ座標

(以下略)

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■　解説

◆１〜３は省略します。


　◆４　極値なのでｆ'(ｘ)＝０

前置きはこの辺にして、今回の問題です。

2019年は、３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘについての問題でした。

この関数は、「ｘ＝−１で極値２をとる」と言っています。

ここからいくつか式ができますね？

まずは、◆２でも触れたように「極値は接線の傾きがゼロになるところ」なので、
ｆ(ｘ)を微分し、ｘ＝−１を代入した式の値はゼロになります。

つまり、ｆ'(−１)＝０です。

よって、[ア]＝０

少し計算しておきましょう！

ｆ'(ｘ)＝３ｘ^2＋２ｐｘ＋ｑ
ｆ'(−１)＝３(−１)^2＋２ｐ×(−１)＋ｑ
　　　　 ＝３−２ｐ＋ｑ＝０

このような式が得られます。


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　◆５　極値はｙ座標

さらに、「ｘ＝−１で極値２をとる」ので、ｆ(−１)＝２です。
極値は式の値なので、つまりはｘｙ平面にグラフを描いた場合のｙ座標ですね。

これもその通りの式を作ってみましょう！

ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘ
ｆ(−１)＝(−１)^3＋ｐ(−１)^2＋ｑ(−１)
　　　　＝−１＋ｐ−ｑ＝２

文字が２つあるので、◆４の式と連立すれば・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校数学「等式の証明」ｘ＋ｙ＋ｚ＝０のとき

高校数学「等式の証明」ｘ＋ｙ＋ｚ＝０のとき

ｘ＋ｙ＋ｚ＝０のとき、ｘ^3＋ｙ ^3＋ｚ^3＝３ｘｙｚであることを証明せよ。

この問題の証明をすることを考えてみます。

等式の証明は、前回の記事でも述べたように、Ａ−Ｂ＝０を証明するなどの方法ですることができます。

今回の問題のように、「ｘ＋ｙ＋ｚ＝０」という条件がある場合は、これを活用しなければ、普通はできないようになっています。

ｘ＋ｙ＋ｚ＝０を移項して、ｘ＋ｙ＝−ｚとしてみましょう。
これはつまり、「ｘ＋ｙがあれば、−ｚに置き換えられる」ということを意味します。



与式を変形して、ｘ＋ｙの形を作ることをめざしましょう！

(左辺)＝ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3
　　　＝(ｘ＋ｙ)(ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2)＋ｚ^3
　　　＝(ｘ＋ｙ){(ｘ＋ｙ)^2−３ｘｙ}＋ｚ^3

因数分解の公式を利用して、このように変形してみると、ｘ＋ｙが出てきました。−ｚに置き換えてみましょう！

　　　＝(−ｚ){(−ｚ)^2−３ｘｙ}＋ｚ^3
　　　＝(−ｚ)(ｚ^2−３ｘｙ)＋ｚ^3
　　　＝−ｚ^3＋３ｘｙ＋ｚ^3
　　　＝３ｘｙ
　　　＝(右辺)

ということで、左辺と右辺が等しいことが証明できました。


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高校数学「等式の証明」

高校数学「等式の証明」

Ａ＝Ｂという等式の証明をしたい場合は、

・Ａ−Ｂを計算してゼロになることを示す

・Ａを計算したらＢになることを示す

・ＡとＢをそれぞれ計算して、同じ形の式が作れることを示す

のような方法をとるのが一般的です。

一見すると等しくなさそうな式でも、「証明しなさい」という問題ならば、必ず等しいはずなので、計算すれば必ず成り立つと考えて、焦らず落ち着いてできる計算をしてみることが大切です。


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高校物理「波動」「ヤングの実験」スリットＳ2からスクリーンまでの距離

高校物理「波動」「ヤングの実験」スリットＳ2からスクリーンまでの距離

高校物理の波動の単元の重要ポイントの一つに「ヤングの実験」があります。
スリットを通った光が干渉し合って縞模様を作る実験です。

前回の記事→Ｓ1Ｐの距離

次に、スリットＳ2からスクリーンまでの距離を式で表します。

光が到達するスクリーン上の点をＰ，スリットとスクリーンまでの距離をｌ，スリットＳ1とＳ2の間の距離を２ｄ，スリットＳ1とＳ2の中間点からスクリーンに引いた垂線とスクリーンとの交点からＰまでの距離をｘとすると、

横がｌ，縦がｘ＋ｄ，斜辺がＳ2Ｐの直角三角形になります。
直角三角形だから三平方の定理が成り立つので、

(Ｓ2Ｐ)^2＝ｌ^2＋(ｘ＋ｄ)^2
　　Ｓ2Ｐ＝√{ｌ^2＋(ｘ＋ｄ)^2}


波動まとめ


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中学理科「中和反応」

中学理科「中和反応」

中和反応は、酸性の水溶液とアルカリ性の水溶液が反応して起こります。

具体的には、水素イオンと水酸化物イオンが反応して水ができる反応が中和反応です。

Ｈ+＋ＯＨ-→Ｈ2Ｏ

ですね。

中和反応が起こってできる水以外の物質を「塩(えん)」と言います。


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■　問題

第４問

Ｂ　次のページの、ある地域の城に関する案内を読み、次の問い(問１〜４)の
[ 37 ]〜[ 40 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから
一つずつ選べ。

問１　What is a common characteristic of all four castles? [ 37 ]
{1} Amount of damage
{2} Displays of pictures and weapons
{3} Histories of more than 500 years
{4} Purposes of construction

問２　Three guitar club members from Grandleforlk University want to give
a concert one afternoon in April. Which castle are they most likely to
choose? [ 38 ]
{1} Crestvale Castle
{2} Holmsted Castle
{3} King's Castle
{4} Rosebush Castle

問３　Teachers at one school want to take their students to Grandlefolk
one Saturday in May. The purpose is to expand the students' knowledge of
the area's history by visiting castles and listening to explanations from
the castle staff. Which two castles are the teachers most likely to select?
[ 39 ]
{1} Crestvale Castle and Holmsted Castle
{2} Crestvale Castle and King's Castle
{3} Rosebush Castle and Holmsted Castle
{4} Rosebush Castle and King's Castle

問４　A mother, father, and their two children ages 4 and 8, will visit
one of the castles in Grandlefolk for one day in September and want to see
fine arts. How much will it cost? [ 40 ]
{1} 14 euros　　{2} 17 euros　　{3} 20 euros　　{4} 25 euros


英語



[Castles in Grandlefolk]

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, built to defend the northern border of
Grandlefolk, is currently being studied by researchers. During the open
season, except on Sundays, guides explain what the research is revealing
about local history.

[Holmsted Castle]
Holmsted Castle, built in the 12th century to protect the southern border
area, fell into ruin in the 16th century. At the entrance, signboards
explain its history. This castle's open spaces are suitable for
performances.

[King's Castle]
Dating back to the 11th century, King's Castle is one of the grandest in
the country. Its large collection of paintings and furniture provide a look
at the area's past. Guides are available every day.

[Rosebush Castle]
Though called a castle, this perfectly preserved 15th-century building was
constructed purely as a family home. From Mondays to Fridays, guides tell
the story of the family's history and explain their collection of modern
sculptures. Some of its rooms are available for public events.


―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　　Opening Times　　　　|　　Daily Admission　　|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　Months　　 |　 Hours　 |Adults|　　Children　　|
|　　　　　　　　|　　　　　　　 |　　　　　 |　　　|(5-16 years old)|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Crestvale Castle| April-October |10:00-16:00| 3 EUR|　　　1 EUR　　 |
|Holmsted Castle |April-September|10:00-17:00| 5 EUR|　　　2 EUR　　 |
| King's Castle　|April-November |10:00-18:00| 7 EUR|　　　3 EUR　　 |
|Rosebush Castle |　April-July　 | 9:00-12:00|10 EUR|　　　5 EUR　　 |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
*Children under 5 years old are admitted free of charge.


※マーク部分の□は[ ]で、マル１は{1}で表記しています。

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■　解答・解説

2019年第４問Ｂは、「ある地域の城」の案内に関する問題でした。
実在の城をモチーフに、「それっぽい説明」が作られたものだと思います。
実在の城を使ってしまうと、そのことを知っているかどうかで大きく有利不利が
変わってしまうので、架空の建物等を設定して問題にしているのかも知れません。


まずは問いの意味を確認してみましょう！

問１　What is / a common characteristic / of all four castles? [ 37 ]
何ですか？ / 共通の性格は / ４つすべての城に

{1} Amount of damage　損傷の量
{2} Displays of pictures and weapons　絵や武器の展示
{3} Histories of more than 500 years　500年以上の歴史
{4} Purposes of construction　建設の目的

４つの城に共通の事項がなんなのかを聞いていますね。
それを意識しながら、資料の英文の記述を確認してみましょう！

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, / built / to defend / the northern border
/ of Grandlefolk, / is currently / being studied / by researchers.
この朽ちた13世紀の城は / 建てられた / 守るために / 北側の国境を
/ Grandlefolkの / 現在〜だ / 調査されている / 調査者によって

During / the open season, / except on Sundays, / guides explain / what
/ the research is revealing / about local history.


(以下略)


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　芸術は人々が生きた方法を反映するかも知れません。調査者はどのように芸術が
衣類や社会的な場を描くのかを議論してきました。この考えが家庭の食事を題材と
した絵画にも広げられ得るかどうかを決めるために、ある調査が実施・・・

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英語


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■　今回の高校レベルの単語・熟語など

≪第１段落≫
reflect：守備陣がボールを跳ね返すのはリフレクション。「反射する」
discuss：他動詞なので前置詞は不要。「〜を議論する」
portray：ポートレートの動詞形。「〜を描く、描写する」

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高校英語「現在分詞」「動名詞」be busy doing

高校英語「現在分詞」「動名詞」be busy doing

「be busy doing」は「〜するのに忙しい」という熟語である。
のように書かれていることが多いと思います。

単に「はいそうですか」と覚えるのではなく、「どうしてそうなるか」を考えた方がよいです。

be busy in doingの前置詞inを省略したもの。と考えれば、doingは動名詞だから〜ingになっている。と理解できます。

または

doingは現在分詞で、be busyを修飾している。busyな状態の状況説明がdoingである。と考えることもできます。




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中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

ヒストグラムとは要するに「棒グラフ」です。

データを一定の幅に区切って、その度数分布をグラフに表したのが「ヒストグラム」です。

中学数学の範囲では、ヒストグラムと度数分布表の関係がわかればＯＫです。

高校数学の範囲では、ヒストグラムと箱ひげ図の関係をわかるようにします。




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高校数学「等差数列」等差数列の一般項

高校数学「等差数列」等差数列の一般項

等差数列は次の項にいく度に一定の数を足す数列です。
例えば自然数は、数列と見なせば次の項に行く度に１ずつ足していくので等差数列です。
この数列のｎ番目を式で表したものが「一般項」で、普通はａnで表されます。

ａn＝ａ＋(ｎ−１)ｄ

公式としてはこのように表されます。
ａnはｎ項目を表し、ａは初項、ｄは公差、ｎは項数です。

これらの値のうちわかっているものを代入すれば、一般項がわかる。というわけです。


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中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

例えば、「−８＋５」という計算をやるとします。
答えはもちろん「−３」ですが、正負の数を習いたての中学１年生や、中学の内容を先取りする小学生はその意味がわからず、「−１３」「１３」「３」などと間違えることがあります。

そんなときは、身近な例で考えるとよいです。

例えば、

「気温が−８℃から５℃上がったら何度？」
「階段を８段下がって５段上がったらどの位置にいる？」

などの具体例で尋ねると、「あ、そっか！」とわかる場合もあるはずです。


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高校数学「三角関数」サインとコサインが混じった関数の最大値・最小値

高校数学「三角関数」サインとコサインが混じった関数の最大値・最小値

先日の授業でこんな問題がありました。

「０≦ｘ＜２πとするとき、ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ−ｃｏｓ２ｘ−３の最大値・最小値を求めよ。」

これを解くときは、まずサインとコサインが混じっていることに注目します。
両方あるとやりにくいので、どちらか片方に統一します。

ｃｏｓ２ｘの方は、三角関数の二倍角の公式で、サインだけの式に直すことができますね。
ｃｏｓ２ｘ＝(ｃｏｓｘ)^2−(ｓｉｎｘ)^2＝１−２(ｓｉｎｘ)^2
なので、

ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ−{１−２(ｓｉｎｘ)^2}−３

こうなれば、ｓｉｎｘについての２次式なので、普通に２次関数と同様に最大最小のときにやるべきことをやります。
つまり、「平方完成」「頂点」ですね。

ｆ(ｘ)＝２ｓｉｎｘ−１＋２(ｓｉｎｘ)^2−３
　　　＝２(ｓｉｎｘ)^2＋２ｓｉｎｘ−４
　　　＝２{(ｓｉｎｘ)^2＋ｓｉｎｘ)−４
　　　＝２{(ｓｉｎｘ＋１／２)^2−１／４}−４
　　　＝２(ｓｉｎｘ＋１／２)^2−１／２−４
　　　＝２(ｓｉｎｘ＋１／２)^2−９／２
よって、頂点(−１／２，−９／２)を求めることができました。

下に凸のグラフなので、これが最小値！・・・でだいたい良いのですが、定義域も考えなければいけません。



ｓｉｎｘは９０°＝π／２のとき最大で１，２７０°＝(３／２)πのとき最小で−１ですね。
つまり、定義域は−１≦ｓｉｎｘ≦１です。

頂点はこの範囲に入っているので、やはり最小値は頂点でＯＫです。

最大値は定義域の両端のうち頂点から遠い方なので、ｓｉｎｘ＝１ですね。
ｆ(ｘ)＝２(ｓｉｎｘ)^2＋２ｓｉｎｘ−４にｓｉｎｘ＝１を代入すると、ｆ(ｘ)＝０で、これが最大値です。

ｓｉｎｘ＝１のとき最大値０，ｓｉｎｘ＝−１／２のとき最小値−９／２

となります。

さらに、通常は、これらの値を取る場合のｘの値もあわせて答えます。

ｓｉｎｘ＝１のときｘ＝π／２、ｓｉｎｘ＝−１／２のときｘ＝(７／６)π，(１１／６)πですね。ということで、

「ｓｉｎｘ＝１すなわちｘ＝π／２のとき最大値０，ｓｉｎｘ＝−１／２すなわちｘ＝(７／６)π，(１１／６)πのとき最小値−９／２」

これで完成です！


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学１Ａ第２問[2][タ]まで

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学１Ａ第２問[2]を解説します。


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■　問題

2019年センター試験数１Ａより

第２問
[2] 全国各地の気象台が観測した「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花日」や、
「モンシロチョウの初見日(初めて観測した日)」、「ツバメの初見日」などの日付
を気象庁が発表している。気象庁発表の日付は普通の月日形式であるが、この問題
では該当する年の１月１日を「１」とし、１２月３１日を「３６５」(うるう年の
場合は「３６６」)とする「年間通し日」に変更している。例えば、２月３日は、
１月３１日の「３１」に２月３日の３を加えた「３４」となる。

(1) 図１は全国４８地点で観測しているソメイヨシノの2012年から2017年までの
６年間の開花日を、年ごとに箱ひげ図にして並べたものである。

　図２はソメイヨシノの開花日の年ごとのヒストグラムである。ただし、順番は
年の順に並んでいるとは限らない。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の
数値を含み、右側の数値を含まない。

　次の[ソ]、[タ]に当てはまるものを、図２の{0}〜{5}のうちから一つずつ選べ。

　・2013年のヒストグラムは[ソ]である。
　・2017年のヒストグラムは[タ]である。

(図はここでは省略します)

(2) 図３と図４は、モンシロチョウとツバメの両方を観測している４１地点に
おける、2017年の初見日の箱ひげ図と散布図である。散布図の点には重なった点が
２点ある。なお、散布図には原点を通り傾き１の直線(実線)、切片が−１５および
１５で傾きが１の２本の直線(破線)を付加している。

　次の[チ]，[ツ]に当てはまるものを、下の{0}〜{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。

　図３，図４から読み取れることとして[正しくないもの]は、[チ]，[ツ]である。

{0} モンシロチョウの初見日の最小値はツバメの初見日の最小値と同じである。
{1} モンシロチョウの初見日の最大値はツバメの初見日の最大値より大きい。
{2} モンシロチョウの初見日の中央値はツバメの初見日の中央値より大きい。
{3} モンシロチョウの初見日の四分位範囲はツバメの初見日の四分位範囲の３倍
より小さい。
{4} モンシロチョウの初見日の四分位範囲は１５日以下である。
{5} ツバメの初見日の四分位範囲は１５日以下である。
{6} モンシロチョウとツバメの初見日が同じ所が少なくとも４地点ある。
{7} 同一地点でのモンシロチョウの初見日とツバメの初見日の差は１５日以下
である。

(図はここでは省略します)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＿
(3) 一般にｎ個の数値ｘ1，ｘ2，…，ｘnからなるデータＸの平均値をｘ，分散を
ｓ^2，標準偏差をｓとする。各ｘiに対して、
　　　　　　＿
ｘ'i＝(ｘi−ｘ)／ｓ　(ｉ＝１，２，…，ｎ)

と変換したｘ'1，ｘ'2，…，ｘ'nをデータＸ'とする。ただし、ｎ≧２，ｓ＞０と
する。

　次の[テ]，[ト]，[ナ]に当てはまるものを、下の{0}〜{8}のうちから一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
　　　　　　　　 ＿　　　 ＿　　　　　 ＿
　・Ｘの偏差ｘ1−ｘ，ｘ2−ｘ，…，ｘn−ｘの平均値は[テ]である。
　・Ｘ'の平均値は[ト]である。
　・Ｘ'の標準偏差は[ナ]である。

{0} ０　　{1} １　　{2} −１　　{3} ｘの平均　　{4} ｓ
{5} １／ｓ　　{6} ｓ^2　　{7} １／ｓ^2　　{8} ｘの平均／ｓ

　図４で示されたモンシロチョウの初見日のデータＭとツバメの初見日のデータＴ
について上の変換を行ったデータをそれぞれＭ'，Ｔ'とるする。

　次の[ニ]に当てはまるものを、図５の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。

　変換後のモンシロチョウの初見日のデータＭ'と変換後のツバメの初見日のデータ
Ｔ'の散布図は、Ｍ'とＴ'の標準偏差の値を考慮すると[ニ]である。

(図はここでは省略します)


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　2019年も第２問は「三角比」「データの分析」
　◆２　前置きの内容もよく読み取って
　◆３　箱ひげ図の「箱」は四分位数、「ひげ」は最大最小

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　前置きの内容もよく読み取って

データの分析の単元は、実際の統計資料等に基づいた問題にすると、仕方がない
のですが、やはり問題が長いです。読解力や長文を読む精神的なタフさも必要かも
知れません。

まず今回の問題の概要ですが、ソメイヨシノの開花日、ツバメ、モンシロチョウの
初見日についての問題となっています。これらのデータにどんな特徴があるのかを
データから読み取り、答えたり計算したりします。

このデータに関する日付の読み方も、説明があるので、しっかり読み取らないと
いけません。

日付は「年間通し日」で表してあります。
「例えば、２月３日は、１月３１日の「３１」に２月３日の３を加えた「３４」となる。」
と書かれていますが、理解できましたか？

中学受験ではよく問われる内容ですが、中学受験未経験者はなじみがない事柄
だったかも知れません。要するに、「その年の何日目か」を表した数を、この資料
では日付として使います。ということです。

ここまでは「前置き」ですが、ここまでの内容を理解していないと、問題の理解に
も支障があります。「時間がないから読んでられない」という人もいますが、よく
理解せずに問題に取りかかると、結局余計に悩んで余計に時間がかかります。
しっかり丁寧に読んで理解した方が速いと心得て、一つ一つクリアにしていくよう
心がけてください。


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　◆３　箱ひげ図の「箱」は四分位数、「ひげ」は最大最小

では、(1)の問題です。

(1) 図１は全国４８地点で観測しているソメイヨシノの2012年から2017年までの
６年間の開花日を、年ごとに箱ひげ図にして並べたものである。

　図２はソメイヨシノの開花日の年ごとのヒストグラムである。ただし、順番は
年の順に並んでいるとは限らない。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の
数値を含み、右側の数値を含まない。


ということで、まずはソメイヨシノの開花日のヒストグラムと箱ひげ図の相関を
見る問題です。

ヒストグラムは中学でも習っている通りに、一定の間隔で区切られたデータの数を
棒グラフの形で表したものです。

箱ひげ図は、「箱」の部分が第１四分位数〜第３四分位数で、「ひげ」の部分が…


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高校物理「波動」「ヤングの実験」スリットＳ1からスクリーンまでの距離

高校物理「波動」「ヤングの実験」スリットＳ1からスクリーンまでの距離

高校物理の波動の単元の重要ポイントの一つに「ヤングの実験」があります。
スリットを通った光が干渉し合って縞模様を作る実験です。

この実験について理解する際に、まず、スリットＳ1からスクリーンまでの距離を式で表します。

光が到達するスクリーン上の点をＰ，スリットとスクリーンまでの距離をｌ，スリットＳ1とＳ2の間の距離を２ｄ，スリットＳ1とＳ2の中間点からスクリーンに引いた垂線とスクリーンとの交点からＰまでの距離をｘとすると、

横がｌ，縦がｘ−ｄ，斜辺がＳ1Ｐの直角三角形になります。
直角三角形だから三平方の定理が成り立つので、

(Ｓ1Ｐ)^2＝ｌ^2＋(ｘ−ｄ)^2
　　Ｓ1Ｐ＝√{ｌ^2＋(ｘ−ｄ)^2}


つづく→Ｓ2Ｐの距離


波動まとめ


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本日配信のメルマガ。2019年センター英語第４問Ｂ 問３

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第４問Ｂの問３を解説します。


【高校英語】過去問攻略！センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

第４問

Ｂ　次のページの、ある地域の城に関する案内を読み、次の問い(問１〜４)の
[ 37 ]〜[ 40 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから
一つずつ選べ。

問１　What is a common characteristic of all four castles? [ 37 ]
{1} Amount of damage
{2} Displays of pictures and weapons
{3} Histories of more than 500 years
{4} Purposes of construction

問２　Three guitar club members from Grandleforlk University want to give
a concert one afternoon in April. Which castle are they most likely to
choose? [ 38 ]
{1} Crestvale Castle
{2} Holmsted Castle
{3} King's Castle
{4} Rosebush Castle

問３　Teachers at one school want to take their students to Grandlefolk
one Saturday in May. The purpose is to expand the students' knowledge of
the area's history by visiting castles and listening to explanations from
the castle staff. Which two castles are the teachers most likely to select?
[ 39 ]
{1} Crestvale Castle and Holmsted Castle
{2} Crestvale Castle and King's Castle
{3} Rosebush Castle and Holmsted Castle
{4} Rosebush Castle and King's Castle

問４　A mother, father, and their two children ages 4 and 8, will visit
one of the castles in Grandlefolk for one day in September and want to see
fine arts. How much will it cost? [ 40 ]
{1} 14 euros　　{2} 17 euros　　{3} 20 euros　　{4} 25 euros


[Castles in Grandlefolk]

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, built to defend the northern border of
Grandlefolk, is currently being studied by researchers. During the open
season, except on Sundays, guides explain what the research is revealing
about local history.

[Holmsted Castle]
Holmsted Castle, built in the 12th century to protect the southern border
area, fell into ruin in the 16th century. At the entrance, signboards
explain its history. This castle's open spaces are suitable for
performances.

[King's Castle]
Dating back to the 11th century, King's Castle is one of the grandest in
the country. Its large collection of paintings and furniture provide a look
at the area's past. Guides are available every day.

[Rosebush Castle]
Though called a castle, this perfectly preserved 15th-century building was
constructed purely as a family home. From Mondays to Fridays, guides tell
the story of the family's history and explain their collection of modern
sculptures. Some of its rooms are available for public events.


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|　　　　　　　　|　　　Opening Times　　　　|　　Daily Admission　　|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　Months　　 |　 Hours　 |Adults|　　Children　　|
|　　　　　　　　|　　　　　　　 |　　　　　 |　　　|(5-16 years old)|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Crestvale Castle| April-October |10:00-16:00| 3 EUR|　　　1 EUR　　 |
|Holmsted Castle |April-September|10:00-17:00| 5 EUR|　　　2 EUR　　 |
| King's Castle　|April-November |10:00-18:00| 7 EUR|　　　3 EUR　　 |
|Rosebush Castle |　April-July　 | 9:00-12:00|10 EUR|　　　5 EUR　　 |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
*Children under 5 years old are admitted free of charge.


※マーク部分の□は[ ]で、マル１は{1}で表記しています。

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■　解答・解説

2019年第４問Ｂは、「ある地域の城」の案内に関する問題でした。
実在の城をモチーフに、「それっぽい説明」が作られたものだと思います。
実在の城を使ってしまうと、そのことを知っているかどうかで大きく有利不利が
変わってしまうので、架空の建物等を設定して問題にしているのかも知れません。


まずは問いの意味を確認してみましょう！

問１　What is / a common characteristic / of all four castles? [ 37 ]
何ですか？ / 共通の性格は / ４つすべての城に

{1} Amount of damage　損傷の量
{2} Displays of pictures and weapons　絵や武器の展示
{3} Histories of more than 500 years　500年以上の歴史
{4} Purposes of construction　建設の目的

４つの城に共通の事項がなんなのかを聞いていますね。
それを意識しながら、資料の英文の記述を確認してみましょう！

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, / built / to defend / the northern border
/ of Grandlefolk, / is currently / being studied / by researchers.
この朽ちた13世紀の城は / 建てられた / 守るために / 北側の国境を
/ Grandlefolkの / 現在〜だ / 調査されている / 調査者によって

During / the open season, / except on Sundays, / guides explain / what
/ the research is revealing / about local history.


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
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■　全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

　芸術は人々が生きた方法を反映するかも知れません。調査者はどのように芸術が
衣類や社会的な場を描くのかを議論してきました。この考えが家庭の食事を題材と
した絵画にも広げられ得るかどうかを決めるために、ある調査が実施・・・

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■　今回の高校レベルの単語・熟語など

≪第１段落≫
reflect：守備陣がボールを跳ね返すのはリフレクション。「反射する」
discuss：他動詞なので前置詞は不要。「〜を議論する」
portray：ポートレートの動詞形。「〜を描く、描写する」

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中学数学「１次方程式」方程式の基本的な解き方

中学数学「１次方程式」方程式の基本的な解き方

方程式を解くというのは、「ｘ＝●●」の形にして、ｘの値を求めることです。

方程式は両辺が等しいので、両辺に同じことをして変形することができます。

左辺から２を引いたら、右辺からも２を引く。
左辺に５を足したら、右辺にも５を足す。
左辺を４で割ったら、右辺も４で割る。
左辺に−３を掛けたら、右辺にも−３を掛ける。

などなど。
とにかく、「ｘ＝●●の形にする」「両辺に同じことをする」です。


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