中学数学「式の計算」２乗の計算

中学数学「式の計算」２乗の計算

(−２^2)と(−２)^2を間違える人が多いです。

(−２^2)は、２乗してからマイナスをつけます。つまり、(−２^2)＝−２×２＝−４

(−２)^2は、−２を２回掛けます。つまり、(−２)^2＝(−２)×(−２)＝４

です。

なぜそうなるのか、ちゃんと違いを理解した上で計算練習しましょう！


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中学英語「過去形」一般動詞の過去形

中学英語「過去形」一般動詞の過去形

★過去形(past tense)

「yesterday」「last week」「10 years ago」などの話をする場合には、通常、動詞は過去形にします。「〜した」「〜だった」などの意味を表します。

一般動詞の過去形は「〜ed」となるものが多いです。(規則変化)

「〜ed」とならないもの(不規則変化)も、ある程度の法則性はありますが、まずは中学レベルとしては、それぞれ個別に形を覚えるのが良いと思います。

例文：
やり直しの中学英語を完成させる本P.33より
●I played tennis with my friends. (私は友達とテニスをした)

playが過去形になって、playedとなっています。


●We caught many fish yesterday. (私たちは昨日たくさん魚を釣った)

catchの過去形は(過去分詞形も)caughtです。


◆関連項目
be動詞の過去形


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中学英語「関係代名詞」関係代名詞を使って２文を１文につなげる

中学英語「関係代名詞」関係代名詞を使って２文を１文につなげる

関係代名詞は、代名詞と接続詞のはたらきをします。
ということは、関係代名詞は２文を１文につなげるはたらきがある。ということもできます。

２文を１文につなげるときは、基本的に次のような手順です。

�@２文それぞれの意味を考える
�A２文に共通する名詞(先行詞)を見つける
�B１個目の文を先行詞のところまで言う
�C先行詞を言ったら、その直後に関係代名詞を言う
�D２個目の文を、共通する名詞を除いて言う
�E１個目の文でまだ述べてない語句があれば言う
�F完成した英文の意味を考えて、おかしい点がないか点検する

英語は、修飾語は後から付け足す言い方をするので、まずはメインとなる名詞を言って、その名詞の説明を関係代名詞節を使って述べる。というやり方です。


↓↓具体例はこちら↓↓
There are some people. They are always using the Internet.を１文に(主格)
This is an important fact. We should understand it.を１文に(目的格)
The bus didn't go to the station. We took the bus.を１文に(目的格)
A person may be at lower risk of heart disease. His blood type is O.を１文に(所有格)


文法問題の練習におすすめです！



◆関連項目
関係代名詞の文の訳し方


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高校数学「三角関数」三角方程式の解き方

高校数学「三角関数」三角方程式の解き方

(ｓｉｎθ)^2＋ｃｏｓθ＝１

などのサインとコサインが混じった三角方程式の場合は、まず最初に、「サインかコサインに統一する」ことが必要です。

サインとコサインが両方あると解きにくいので、どちらかを消してしまえばいい。というわけです。

もちろん、勝手にゴシゴシと消してしまっていけません(笑)ちゃんと法則に従って消します。

こんなときに何をすれば良いかと言えば・・・

三角比の相互関係★(ｓｉｎθ)^2＋(ｃｏｓθ)^2＝１です。

これはサインとコサインの関係を表す式なので、どちらか片方を移行すれば、残り片方を表すことができます。

(ｓｉｎθ)^2＝１−(ｃｏｓθ)^2とすれば、与式に代入して、コサインだけの式を作り、コサインの２次方程式として解くことができるのですね！


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本日配信のメルマガ。2019年センター英語第４問Ｂ 問２

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第４問Ｂの問２を解説します。


【高校英語】過去問攻略！センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

第４問

Ｂ　次のページの、ある地域の城に関する案内を読み、次の問い(問１〜４)の
[ 37 ]〜[ 40 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから
一つずつ選べ。

問１　What is a common characteristic of all four castles? [ 37 ]
{1} Amount of damage
{2} Displays of pictures and weapons
{3} Histories of more than 500 years
{4} Purposes of construction

問２　Three guitar club members from Grandleforlk University want to give
a concert one afternoon in April. Which castle are they most likely to
choose? [ 38 ]
{1} Crestvale Castle
{2} Holmsted Castle
{3} King's Castle
{4} Rosebush Castle

問３　Teachers at one school want to take their students to Grandlefolk
one Saturday in May. The purpose is to expand the students' knowledge of
the area's history by visiting castles and listening to explanations from
the castle staff. Which two castles are the teachers most likely to select?
[ 39 ]
{1} Crestvale Castle and Holmsted Castle
{2} Crestvale Castle and King's Castle
{3} Rosebush Castle and Holmsted Castle
{4} Rosebush Castle and King's Castle

問４　A mother, father, and their two children ages 4 and 8, will visit
one of the castles in Grandlefolk for one day in September and want to see
fine arts. How much will it cost? [ 40 ]
{1} 14 euros　　{2} 17 euros　　{3} 20 euros　　{4} 25 euros


[Castles in Grandlefolk]

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, built to defend the northern border of
Grandlefolk, is currently being studied by researchers. During the open
season, except on Sundays, guides explain what the research is revealing
about local history.

[Holmsted Castle]
Holmsted Castle, built in the 12th century to protect the southern border
area, fell into ruin in the 16th century. At the entrance, signboards
explain its history. This castle's open spaces are suitable for
performances.

[King's Castle]
Dating back to the 11th century, King's Castle is one of the grandest in
the country. Its large collection of paintings and furniture provide a look
at the area's past. Guides are available every day.

[Rosebush Castle]
Though called a castle, this perfectly preserved 15th-century building was
constructed purely as a family home. From Mondays to Fridays, guides tell
the story of the family's history and explain their collection of modern
sculptures. Some of its rooms are available for public events.


―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　　Opening Times　　　　|　　Daily Admission　　|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　Months　　 |　 Hours　 |Adults|　　Children　　|
|　　　　　　　　|　　　　　　　 |　　　　　 |　　　|(5-16 years old)|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Crestvale Castle| April-October |10:00-16:00| 3 EUR|　　　1 EUR　　 |
|Holmsted Castle |April-September|10:00-17:00| 5 EUR|　　　2 EUR　　 |
| King's Castle　|April-November |10:00-18:00| 7 EUR|　　　3 EUR　　 |
|Rosebush Castle |　April-July　 | 9:00-12:00|10 EUR|　　　5 EUR　　 |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
*Children under 5 years old are admitted free of charge.


※マーク部分の□は[ ]で、マル１は{1}で表記しています。

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■　解答・解説

2019年第４問Ｂは、「ある地域の城」の案内に関する問題でした。
実在の城をモチーフに、「それっぽい説明」が作られたものだと思います。
実在の城を使ってしまうと、そのことを知っているかどうかで大きく有利不利が
変わってしまうので、架空の建物等を設定して問題にしているのかも知れません。


まずは問いの意味を確認してみましょう！

問１　What is / a common characteristic / of all four castles? [ 37 ]
何ですか？ / 共通の性格は / ４つすべての城に

{1} Amount of damage　損傷の量
{2} Displays of pictures and weapons　絵や武器の展示
{3} Histories of more than 500 years　500年以上の歴史
{4} Purposes of construction　建設の目的

４つの城に共通の事項がなんなのかを聞いていますね。
それを意識しながら、資料の英文の記述を確認してみましょう！

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, / built / to defend / the northern border
/ of Grandlefolk, / is currently / being studied / by researchers.
この朽ちた13世紀の城は / 建てられた / 守るために / 北側の国境を
/ Grandlefolkの / 現在〜だ / 調査されている / 調査者によって

During / the open season, / except on Sundays, / guides explain / what
/ the research is revealing / about local history.


(以下略)


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■　全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

　芸術は人々が生きた方法を反映するかも知れません。調査者はどのように芸術が
衣類や社会的な場を描くのかを議論してきました。この考えが家庭の食事を題材と
した絵画にも広げられ得るかどうかを決めるために、ある調査が実施・・・

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■　今回の高校レベルの単語・熟語など

≪第１段落≫
reflect：守備陣がボールを跳ね返すのはリフレクション。「反射する」
discuss：他動詞なので前置詞は不要。「〜を議論する」
portray：ポートレートの動詞形。「〜を描く、描写する」

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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中学英語「関係代名詞」関係代名詞の文の訳し方

中学英語「関係代名詞」関係代名詞の文の訳し方

I have a friend whose mother is a poet.(やり直しの中学英語を完成させる本P.205より)

この英文を訳すことを考えてみます。

「私」「友達がいる」「お母さん」「詩人」などの要素があるので、(英語を無視して)つなげると・・・

「私の友達のお母さんは詩人です」

のように訳してしまいがちです。

意訳としてはもちろんＯＫな場合もありますが、英文の論理構成と日本語の論理構成が食い違っているので、英語の学習としてはこの訳し方はやめた方が良いです。
ちゃんと論理的に訳せるようになっていないと、もっと複雑な英文の場合に、「よくわからないけど」「なんとなく」つなげて、雰囲気だけ合ってるけど、違う意味にとらえてしまって、大いなる誤解をしてしまう場合があります。
そうならないために、普段から簡単な英文で、ちゃんと論理的に明確に訳せるように練習しておきましょう！

さて、実際はどう訳するべきかというと、英文の主語に注目してください。

主語は「I」「私」ですね。
だから、「私は〜」という日本語になることを意識して訳してください。
「お母さんは〜」「友達は〜」ではなく、「私は〜」です。

そうすると、まず「私は友達がいます」という内容であることがよくわかるはずです。

関係代名詞以下は、「その友達がどんな友達か？」を説明しているので、全体をつなげると、

「私は、お母さんが詩人の友達がいます」

という意味です。


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中学英語「三単現」

中学英語「三単現」

いわゆる「三単現」とは、「三人称・単数・現在形」のことです。

三単現のとき、一般動詞にはｓをつける。のでしたね？

「一人称」が「私」、「二人称」が「あなた」、それら以外はすべて「三人称」です。

「単数」は「ひとつ」「一人」ですね。

つまり、「私かあなた以外で、単数の場合、現在形の動詞にはｓをつける」ということができます。


動画による解説はこちら


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高校数学「因数分解」やや複雑な式の因数分解

高校数学「因数分解」やや複雑な式の因数分解

問題「ａ^2−ａｂ＋５ａ−２ｂ^2−ｂ＋６を因数分解せよ」

因数分解は、基本的に、共通因数をくくったり、公式を使ったりという方法でやりますが、この問題の式のような場合は、このままではどちらもやることができません。
ａの２乗もｂの２乗もあり、ａ，ｂもａｂもあり、数字だけの項もある。
一見して収拾がつきません。

そんなときは、まず、どちらか片方の文字について整理するとよいです。
この場合は、ａについて整理してみると、

(与式)＝ａ^2＋５ａ−ａｂ−２ｂ^2−ｂ＋６
　　　＝ａ^2＋(５−ｂ)ａ−２ｂ^2−ｂ＋６

となります。
ｂを定数とみなして、ａの２乗、ａ，定数の順に並べ直した。というわけですね。
こうすると、ａの２次式と見ることができます。

定数部分はｂの２次式になっているので、その部分を因数分解してみると、

　　　＝ａ^2＋(５−ｂ)ａ−(２ｂ^2＋ｂ−６)
　　　＝ａ^2＋(５−ｂ)ａ−(２ｂ−３)(ｂ＋２)

このようになります。
全体をａの２次式とみなすと・・・よく見れば、あとは中学レベルの因数分解と同じですね！
掛けたら−(２ｂ−３)(ｂ＋２)，足したら(５−ｂ)になるような組み合わせを考えればＯＫ！です。

　　　＝(ａ−２ｂ＋３)(ａ＋ｂ＋２)

いろいろ組み合わせを考えてみると、合う場合はこれですね！


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高校数学「微分積分」接線の方程式

高校数学「微分積分」接線の方程式

曲線上ｙ＝ｆ(ｘ)の点(ｘ1，ｙ1)が与えられて、その点における接線の方程式を求めることを考えます。

接線も直線なので、まずは直線の方程式の公式を使います。

★ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)

ですね。

(ｘ1，ｙ1)が接点の座標、ｍは傾きです。

微分してできた導関数は、その点における接線の傾きを表すので、ｍ＝ｆ'(ｘ1)となります。

つまり、接線の方程式は一般的に次のように表すことができます。

ｙ−ｙ1＝ｆ'(ｘ)(ｘ−ｘ1)

意外と簡単・・・と思いませんか？


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■　問題

2019年センター試験数２Ｂより

第２問

　ｐ，ｑを実数とし、関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘはｘ＝−１で極値２を
とるとする。また、座標平面上の曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をＣ，放物線ｙ＝−ｋｘ^2をＤ，
放物線Ｄ上の点(ａ，−ｋａ^2)をＡとする。ただし、ｋ＞０，ａ＞０である。

(1) 関数ｆ(ｘ)がｘ＝−１で極値をとるので、ｆ'(−１)＝[ア]である。これと
ｆ(−１)＝２より、ｐ＝[イ]，ｑ＝[ウエ]である。よって、ｆ(ｘ)はｘ＝[オ]で
極小値[カキ]をとる。

(2) 点Ａにおける放物線Ｄの接線をｌとする。Ｄとｌおよびｘ軸で囲まれた図形の
面積Ｓをａとｋを用いて表そう。

　ｌの方程式は

　　ｙ＝[クケ]ｋａｘ＋ｋａ^[コ]　……{1}

と表せる。ｌとｘ軸の交点のｘ座標は[サ]／[シ]であり、Ｄとｘ軸および直線
ｘ＝ａで囲まれた図形の面積は(ｋ／[ス])ａ^[セ]である。よって、
Ｓ＝(ｋ／[ソタ])ａ^[セ]である。

(3) さらに、点Ａが曲線Ｃ上にあり、かつ(2)の接線ｌがＣにも接するとする。
このときの(2)のＳの値を求めよう。

　ＡがＣ上にあるので、ｋ＝[チ]／[ツ]−[テ]である。

　ｌとＣの接点のｘ座標をｂとすると、ｌの方程式はｂを用いて

　　ｙ＝[ト](ｂ^2−[ナ])ｘ−[ニ]ｂ^2　……{2}

と表される。{2}の右辺をｇ(ｘ)とおくと

　　ｆ(ｘ)−ｇ(ｘ)＝(ｘ−[ヌ])^2・(ｘ＋[ネ]ｂ)

と因数分解されるので、ａ＝−[ネ]ｂとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、ａ^2＝[ノハ]／[ヒ]である。

　したがって、求めるＳの値は[フ]／[ヘホ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■　解説目次

　◆１　導関数は傾きを表す
　◆２　極値では導関数の値(＝微分係数)が０
　◆３　積分は微分の逆
　◆４　極値なのでｆ'(ｘ)＝０
　◆５　極値はｙ座標

(以下略)

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■　解説

◆１〜３は省略します。


　◆４　極値なのでｆ'(ｘ)＝０

前置きはこの辺にして、今回の問題です。

2019年は、３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘについての問題でした。

この関数は、「ｘ＝−１で極値２をとる」と言っています。

ここからいくつか式ができますね？

まずは、◆２でも触れたように「極値は接線の傾きがゼロになるところ」なので、
ｆ(ｘ)を微分し、ｘ＝−１を代入した式の値はゼロになります。

つまり、ｆ'(−１)＝０です。

よって、[ア]＝０

少し計算しておきましょう！

ｆ'(ｘ)＝３ｘ^2＋２ｐｘ＋ｑ
ｆ'(−１)＝３(−１)^2＋２ｐ×(−１)＋ｑ
　　　　 ＝３−２ｐ＋ｑ＝０

このような式が得られます。


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　◆５　極値はｙ座標

さらに、「ｘ＝−１で極値２をとる」ので、ｆ(−１)＝２です。
極値は式の値なので、つまりはｘｙ平面にグラフを描いた場合のｙ座標ですね。

これもその通りの式を作ってみましょう！

ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘ
ｆ(−１)＝(−１)^3＋ｐ(−１)^2＋ｑ(−１)
　　　　＝−１＋ｐ−ｑ＝２

文字が２つあるので、◆４の式と連立すれば・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校英語「仮定法」基本的な仮定法過去完了

高校英語「仮定法」基本的な仮定法過去完了

仮定法は、現実と反することや、話者がありそうにないと考えていることを言うときに使う言い方です。

英語では、実際の言いたい内容よりも一つ前の時制にします。
つまり、現在のことを仮定して言いたいときは、過去形にします。
これを「仮定法過去」と呼びます。

そして、過去のことを仮定して言いたいときは、過去完了形にします。
これを「仮定法過去完了」と呼びます。


If you had left home a few minutes earlier, you could've caught the train.

この文の場合、left homeやcaught the trainが過去のことで現実に反しているので、仮定法にするには過去完了形です。


関連項目
仮定法過去(基本)、仮定法(もし〜がなかったら)


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仮定法の基本を効率よく学びたい人にお勧めです！

高校英語「仮定法」基本的な仮定法過去

高校英語「仮定法」基本的な仮定法過去

仮定法は、現実と反することや、話者がありそうにないと考えていることを言うときに使う言い方です。

英語では、実際の言いたい内容よりも一つ前の時制にします。
つまり、現在のことを仮定して言いたいときは、過去形にします。
これを「仮定法過去」と呼びます。

It's time you went to bed.

この文の場合、もう寝る時間なのにまだ寝てないから、仮定法で表現しています。


If I were you, I wouldn't do such a thing.

このように、be動詞を使った文の場合、通常は主語にかかわらず、仮定法過去ではbe動詞は「were」にします。


関連項目
仮定法過去完了(基本)、仮定法(もし〜がなかったら)


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高校化学「熱化学方程式」一酸化炭素の生成熱

高校化学「熱化学方程式」一酸化炭素の生成熱

「生成熱」の熱化学方程式をつくるときは、その構成元素の単体から目的の物質を１モル生成する場合で係数を合わせて反応式を作ります。

一酸化炭素の生成熱の熱化学方程式ならば、

炭素＋酸素＝一酸化炭素＋熱量

という式を作ります。

まず、それぞれの化学式を書きます。

Ｃ＋Ｏ2＝ＣＯ＋ＱkJ

続いて、目的の物質(この場合はＣＯ)が１になるように係数を合わせます。

Ｃ＋(１／２)Ｏ2＝ＣＯ＋ＱkJ

ちなみに、物質の状態によって、出入りする熱量が違うので、熱化学方程式の場合は、物質の状態も(気)などの形で示すことも多いです。

さらに、熱化学方程式では→ではなくイコールを使って両辺を結んでいるところも注意してください。


熱化学方程式・化学平衡まとめ

高校数学「微分積分」積分の基本

高校数学「微分積分」積分の基本

微分の逆が積分です。

導関数ｆ'(ｘ)を積分すると、もとの関数ｆ(ｘ)になる。という関係です。

微分するときには、「指数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」という方法だったので、積分するときはこれの逆をして、

★「指数を１上げて、新しい指数の逆数を掛ける」

とします。

例えば、ｘ^2を積分すると、(１／３)ｘ^3となります。

また、★積分は、基本的に、積分した関数と横軸との間の面積を表します。

物理や図形の公式には、微分積分の関係になっているものがいくつもあるので、探してみると良いですよ！


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中学英語「How about 〜？」

中学英語「How about 〜？」

「How about 〜？」は中学１年で登場する表現です。

「How about you?」「あなたはどうですか？」
「How about this book?」「この本はどうですか？」
「How about going to the party?」「そのパーティに行くのはどうですか？」

のように、「〜はどうですか？」という意味で、提案や勧誘、意見を求めるなど会話でも幅広く使えます。


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高校数学「微分積分」極値の基本

高校数学「微分積分」極値の基本

★極値(extremum)

曲線のグラフを描いてみると、線が山のようになったり谷のようになったりする部分ができることがあります。

この山や谷の部分のｙの値を「極値」と呼びます。
関数は、極値のところを境に増加から減少に、または、減少から増加に転じます。

直線は、傾きがプラスならば右上がり、傾きがマイナスならば右下がりになります。

ということは、極値を境に接線の傾きの符号が変わるのです。

つまり、★「極値のときの導関数の値(＝微分係数)は０」になる。と言えます。

そして、この極値が、

その周辺より大きいとき(山)が「極大値」で、
周辺より小さい(谷)が「極小値」です。

一定の範囲に定義域が限定された場合は、極値が最大値や最小値になることが多いので、数学２の微分積分のメインとなる３次関数では、この極大極小がとても重要です。


◆関連項目
公式に従った微分、導関数、関数の増減


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高校数学「微分積分」公式に従った微分の基本

高校数学「微分積分」公式に従った微分の基本

まず、微分してできた関数のことを導関数といいます。
微分は「指数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」というイメージで計算できます。
また、微分した関数には、’(ダッシュ)をつけます。
というわけで、公式的には、

★　ｙ＝ｘ^nならば、ｙ'＝ｎｘ^(n-1)

となります。この微分してできた関数ｙ'が導関数ですね。

また、★定数を微分すると０になります。
ｘがないので、次数を下げようとすると消えてしまう。というイメージです。





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高校数学「三角比」三角比の相互関係(サインとコサイン)

高校数学「三角比」三角比の相互関係(サインとコサイン)

サイン、コサイン、タンジェントは、直角三角形の辺の比を表す値なので、一定の関係があります。
まず第一に覚えるべきは、

(ｓｉｎθ)^2＋(ｃｏｓθ)^2＝１

です。
サインの２乗とコサインの２乗を足すと１になる。という公式です。

サインは斜辺が１の直角三角形の縦、コサインは横を表すので、

縦の２乗＋横の２乗＝１

普通に三平方の定理の式の通りです。


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中学英語「前置詞」

中学英語「前置詞」

前置詞はin, on, of, to, withなど、様々なものがあり、意味も様々で、使い道がわからない。という人も多いです。
英作文では前置詞が抜けがちになってしまったり、並べ替えではなんとなく聞いたことがある位置に入れておかしな文を作ってしまったり・・・

そんなことにならないためには、単なる日本語訳の意味だけを覚えるのではなく、文中での使い方を覚えると良いです。

すべての前置詞に共通するのは・・・

「前置詞の直後には名詞(句)が来る」

ということです。名詞の前に置く言葉だから、前置詞ですね。

ＳＶなどの文の形ではなく、動詞や形容詞でもなく、名詞です。

名詞しか来ないならば、名詞でない語を置きたい場合は、名詞の働きをする形に変える必要があります。
たとえば動詞を置きたければ、動名詞にします。動名詞は名詞の働きをするので、前置詞の直後に置くことができます。


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中学数学「三平方の定理」「特別な三角形」「正三角形」

中学数学「三平方の定理」「特別な三角形」「正三角形」

正三角形は３つの角がすべて６０°です。

正三角形の一つの頂点から対辺に垂線を引くと、その角の二等分線かつ対辺の垂直二等分線になります。

ここまでは小学校の知識でもわかることです。

このようにして正三角形を２つの三角形に分けると、必然的に、３０°６０°９０°の三角形になります。

これは辺の比が１：２：√３になる「特別な三角形」です。

このことを利用すれば、正三角形は１辺の長さがわかれば、面積などその他の情報もわかることになります。


図形まとめ(中学)


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