中学数学「資料の整理」ヒストグラムから平均値を求める

中学数学「資料の整理」ヒストグラムから平均値を求める

平均値を求めたいならば、当然、「平均値＝合計÷度数(人数、回数等)」です。
ヒストグラムだからといって特別なことはありません。

ただし、ヒストグラムで表された資料は、実際の値がわからなくなっています。
ではどうやって合計÷度数をやればいいかというと・・・

まず、それぞれの階級の真ん中の値を階級値といい、その階級に属するデータはすべて階級値の値とみなします。

たとえば、２０〜３０の階級に４つの度数があるとすると、階級値は２５なので、２５の値が４つある。と考えます。
この階級の合計は、２５×４＝１００です。

同様にして、すべての階級について「階級値×度数」をして、合計を出します。

合計を全体の度数で割れば、それが平均値になります。


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高校英語「比較」最上級を原級で書き換える

高校英語「比較」最上級を原級で書き換える

Talking with close friends is the most enjoyable thing.

という英文をだいたい同じ内容で、原級表現を使って書き換えることを考えてみます。

「仲の良い友達と話すことは、もっとも楽しいことです」

という意味です。
これを「もっとも」を使わずに言い換えると、

「仲の良い友達と話すことほど楽しいことはありません」

と言い換えることができます。
これを英語に直せば、「最上級を原級で書き換える」ことができる。というわけです。

まずは「何もない」と言って、

Nothing is

「nothingは同じくらい楽しい」と言って、

Nothing is as enjoyable as

asのあとには、比較対象つまり、「仲の良い友達と話すこと」を言って、

Nothing is as enjoyable as talking with friends.

というわけで、「仲の良い友達と話すことほど楽しいことはありません」という意味の英文が完成しました。


まとめると、最上級の文を原級で表すには、

No名詞 is as 〜 as もとの文の主語.

のような形になります。


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中学数学「相似」相似比と面積比

中学数学「相似」相似比と面積比

「相似な図形の面積比は、相似比の２乗である」と、性質として覚える人も多いと思いますが、どうしてそうなのかできるだけ理解しておくようにしましょう！

面積は、「縦×横」など、長さを２回掛けたものです。

相似な図形の場合、その２回掛ける長さがそれぞれ相似比の比率になります。
たとえば３：２ならば、縦も横も３：２です。
３：２のもの同士を掛けるのだから、掛けた結果は２乗になって、９：４になる。というわけです。

これを応用すれば、体積比は相似比の３乗になる理由もわかりますね？


図形まとめ(中学)


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高校数学「三角比」「９０°−θの公式」

高校数学「三角比」「９０°−θの公式」

ｓｉｎ(９０°−θ)＝ｃｏｓθ
ｃｏｓ(９０°−θ)＝ｓｉｎθ
ｔａｎ(９０°−θ)＝１／ｔａｎθ

ですが、この公式の暗記に苦労する人も多いと思います。
そんな人は、数学２の三角関数の加法定理を使ってみるとよいです。

たとえばサインなら、

ｓｉｎ(α±β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ±ｃｏｓαｓｉｎβ

ですね。
この加法定理の式に、α＝９０°、β＝θを代入すると、

ｓｉｎ(９０°−θ)＝ｓｉｎ９０°ｃｏｓθ−ｃｏｓ９０°ｓｉｎθ

ｓｉｎ９０°＝１，ｃｏｓ９０°＝０なので、

　　　　　　　＝ｃｏｓθ−０
　　　　　　　＝ｃｏｓθ

というわけで、公式を導くことができました。


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本日配信のメルマガ。2019年センター英語第４問Ｂ 問１

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第４問Ｂを解説します。

【高校英語】過去問攻略！センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

第４問

Ｂ　次のページの、ある地域の城に関する案内を読み、次の問い(問１〜４)の
[ 37 ]〜[ 40 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから
一つずつ選べ。

問１　What is a common characteristic of all four castles? [ 37 ]
{1} Amount of damage
{2} Displays of pictures and weapons
{3} Histories of more than 500 years
{4} Purposes of construction

問２　Three guitar club members from Grandleforlk University want to give
a concert one afternoon in April. Which castle are they most likely to
choose? [ 38 ]
{1} Crestvale Castle
{2} Holmsted Castle
{3} King's Castle
{4} Rosebush Castle

問３　Teachers at one school want to take their students to Grandlefolk
one Saturday in May. The purpose is to expand the students' knowledge of
the area's history by visiting castles and listening to explanations from
the castle staff. Which two castles are the teachers most likely to select?
[ 39 ]
{1} Crestvale Castle and Holmsted Castle
{2} Crestvale Castle and King's Castle
{3} Rosebush Castle and Holmsted Castle
{4} Rosebush Castle and King's Castle

問４　A mother, father, and their two children ages 4 and 8, will visit
one of the castles in Grandlefolk for one day in September and want to see
fine arts. How much will it cost? [ 40 ]
{1} 14 euros　　{2} 17 euros　　{3} 20 euros　　{4} 25 euros


[Castles in Grandlefolk]

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, built to defend the northern border of
Grandlefolk, is currently being studied by researchers. During the open
season, except on Sundays, guides explain what the research is revealing
about local history.

[Holmsted Castle]
Holmsted Castle, built in the 12th century to protect the southern border
area, fell into ruin in the 16th century. At the entrance, signboards
explain its history. This castle's open spaces are suitable for
performances.

[King's Castle]
Dating back to the 11th century, King's Castle is one of the grandest in
the country. Its large collection of paintings and furniture provide a look
at the area's past. Guides are available every day.

[Rosebush Castle]
Though called a castle, this perfectly preserved 15th-century building was
constructed purely as a family home. From Mondays to Fridays, guides tell
the story of the family's history and explain their collection of modern
sculptures. Some of its rooms are available for public events.


―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　　Opening Times　　　　|　　Daily Admission　　|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　Months　　 |　 Hours　 |Adults|　　Children　　|
|　　　　　　　　|　　　　　　　 |　　　　　 |　　　|(5-16 years old)|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Crestvale Castle| April-October |10:00-16:00| 3 EUR|　　　1 EUR　　 |
|Holmsted Castle |April-September|10:00-17:00| 5 EUR|　　　2 EUR　　 |
| King's Castle　|April-November |10:00-18:00| 7 EUR|　　　3 EUR　　 |
|Rosebush Castle |　April-July　 | 9:00-12:00|10 EUR|　　　5 EUR　　 |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
*Children under 5 years old are admitted free of charge.


※マーク部分の□は[ ]で、マル１は{1}で表記しています。

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■　解答・解説

2019年第４問Ｂは、「ある地域の城」の案内に関する問題でした。
実在の城をモチーフに、「それっぽい説明」が作られたものだと思います。
実在の城を使ってしまうと、そのことを知っているかどうかで大きく有利不利が
変わってしまうので、架空の建物等を設定して問題にしているのかも知れません。


まずは問いの意味を確認してみましょう！

問１　What is / a common characteristic / of all four castles? [ 37 ]
何ですか？ / 共通の性格は / ４つすべての城に

{1} Amount of damage　損傷の量
{2} Displays of pictures and weapons　絵や武器の展示
{3} Histories of more than 500 years　500年以上の歴史
{4} Purposes of construction　建設の目的

４つの城に共通の事項がなんなのかを聞いていますね。
それを意識しながら、資料の英文の記述を確認してみましょう！

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, / built / to defend / the northern border
/ of Grandlefolk, / is currently / being studied / by researchers.
この朽ちた13世紀の城は / 建てられた / 守るために / 北側の国境を
/ Grandlefolkの / 現在〜だ / 調査されている / 調査者によって

During / the open season, / except on Sundays, / guides explain / what
/ the research is revealing / about local history.


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
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■　全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

　芸術は人々が生きた方法を反映するかも知れません。調査者はどのように芸術が
衣類や社会的な場を描くのかを議論してきました。この考えが家庭の食事を題材と
した絵画にも広げられ得るかどうかを決めるために、ある調査が実施・・・

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■　今回の高校レベルの単語・熟語など

≪第１段落≫
reflect：守備陣がボールを跳ね返すのはリフレクション。「反射する」
discuss：他動詞なので前置詞は不要。「〜を議論する」
portray：ポートレートの動詞形。「〜を描く、描写する」

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中学数学「関数」「三平方の定理」２点間の距離

中学数学「関数」「三平方の定理」２点間の距離

斜めの２点間の距離を求めたいときは、三平方の定理を使います。

その２点を直線で結び、それぞれの点からｘ軸に平行な線とｙ軸に平行な線を引いて、直角三角形を作ります。

直角三角形ができれば、三平方の定理が使える。というわけです。

ｘ軸に平行な線とｙ軸に平行な線の長さは、それぞれ２点の座標の差で求めることができます。
それらが直角を挟む２辺になり、求める２点間の距離が斜辺になります。

公式としては、求める距離をｄ，２点の座標を(ｘ1，ｙ1)，(ｘ2，ｙ2)とすれば、

ｄ＝√{(ｘ2−ｘ1)^2＋(ｙ2−ｙ1)^2}

となります。


図形まとめ(中学)


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中学数学「関数」ｘ軸に平行な直線上の２点間の距離

中学数学「関数」ｘ軸に平行な直線上の２点間の距離

中学数学では、２点間の距離は、ｘ軸に平行な直線またはｙ軸に平行な直線の場合が多いです。

その場合は、座標を引き算するだけで２点間の距離が出ます。

(−１，２)と(３，２)ならば、ｙ座標が等しいので、ｘ座標を引き算して、

３−(−１)＝３＋１＝４

このように２点間の距離が出ます。


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中学英語「few, little」

中学英語「形容詞」「few, little」

「少し」という内容を表す語の代表例が「few」「little」です。

これらは、和訳はだいたい同じですが、もちろん使い分けがあります。

fewは数えられる名詞が「少し」
littleは数えられない名詞が「少し」

です。

さらに、前にaを置くか置かないかでも意味が異なります。

aをつけた「a few」は肯定的な内容で「少しある」
aをつけない「few」は否定的な内容で「少ししかない」

littleも同様に、

「a little」は肯定的に「少しある」
「little」は否定的に「少ししかない」

です。


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高校数学「数列」「漸化式」「等比数列」

高校数学「数列」「漸化式」「等比数列」

漸化式とは、複数の項の関係を表した式です。
通常は２項間の関係を表した式の問題になります。

漸化式を使うと、様々な数列を表すことができます。
「等比数列」は次のように表すことができます。

ａn+1＝ｐ・ａn

これはｎ項目からｎ＋１項目にいくときに一定の数ｐを掛けることを意味します。
つまり、公差がｐである。というわけです。


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高校数学「数列」「漸化式」「等差数列」

高校数学「数列」「漸化式」「等差数列」

漸化式とは、複数の項の関係を表した式です。
通常は２項間の関係を表した式の問題になります。

漸化式を使うと、様々な数列を表すことができます。
もっとも初歩的な数列の「等差数列」は次のように表すことができます。

ａn+1＝ａn＋α

これはｎ項目からｎ＋１項目にいくときに一定の数αを足すことを意味します。
つまり、公差がαである。というわけです。

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中学数学「平面図形」扇形の弧の長さ

中学数学「平面図形」扇形の弧の長さ

弧とは、扇形の曲線の部分です。
扇形の曲線の部分は、円の一部です。
弧は円の一部だから、円の公式を使えば、弧の長さも計算できる。ということができます。

円周＝２πｒ

ですね。
扇形の中心角をａ°とすると、

扇形の弧の長さ＝２πｒ×(ａ／３６０)

です。
ぼんやりと公式を見ていると、なにやら難しそうに見えますが、つまりは、「円×ａ／３６０」です。

扇形は円の一部だから、円に対する割合を表すａ／３６０を掛けているのですね。


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中学数学「平面図形」扇形の面積

中学数学「平面図形」扇形の面積

当たり前ですが、扇形は、円の一部です。

だから、扇形の面積は円の公式にちょっと手を加えるだけで完成してしまいます。

円の面積＝πｒ^2

ですね。
扇形の中心角をａ°とすると、

扇形の面積＝πｒ^2×(ａ／３６０)

です。
これは、円の面積に(ａ／３６０)を掛けただけです。

中心角が、円に対する割合を表しているので、円の面積に(ａ／３６０)をかけるのだ。と理解できます。


具体的な問題例はこちら


図形まとめ(中学)


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高校数学「数列の極限」√∞−√∞

高校数学「数列の極限」√∞−√∞

√∞−√∞の形になってしまうときは、有理化をして極限値を考えます。
無限大−無限大では、この式の極限値がいくつなのかよくかわりません。
極限値を求めるときは、無限大ができるだけ消えるように、式の変形をすることが必要です。

たとえば、√(ｘ＋１)−√(ｘ−２)ならば、{√(ｘ＋１)＋√(ｘ−２)}／{√(ｘ＋１)＋√(ｘ−２)}を掛けて、

{(ｘ＋１)−(ｘ−２)}／{√(ｘ＋１)＋√(ｘ−２)}＝３／{√(ｘ＋１)＋√(ｘ−２)}

とします。

こうすると、ｘ→∞ならば、分子が有限の値で、分母は限りなく大きいので、極限値はゼロであることがわかります。


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高校物理「波動」「音源が動くときのドップラー効果」

高校物理「波動」「音源が動くときのドップラー効果」

ドップラー効果の式は、

ｆ'＝{(Ｖ−ｖo)／(Ｖ−ｖs)}ｆ

で、音源が観測者に向かって動く問題があります。

音源が観測者に向かっているうちは、音の進行方向と音源の移動方向が同じなので、ｖsにはそのままプラスの速さを代入します。

音源が観測者を通り過ぎると、観測者が観測する音の進行方向と音源の移動方向が逆向きになるので、ｖsには速さにマイナスをつけて代入します。


波動まとめ


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中学英語「現在完了形の基本」

中学英語「現在完了形の基本」

現在完了形は、「have＋過去分詞」の形で表し、時間が過去のある時点から現在までのイメージになります。
日本語訳としては、

「〜したことがある」「〜してしまった」「〜し続けている」「〜したところだ」

などの意味になります。

現在完了形について、いくつか動画を製作しました。参考にしてみてください。
現在完了形とは？、現在完了のイメージと意味、受け身と現在完了の似てるところ違うところ


現在完了形を使うか、現在形や過去形を使うかは、結構難しい判断になります。
日本語には現在完了形にぴったり置き換えられる表現がないので、和訳の仕方は現在や過去やそれぞれの進行形と同じになってしまう場合もあります。
現在完了形にするのか、他の時制にするのかを判断するときは、日本語だけを考えるのではなく、英語で何と言っているかをとらえ、時間が「過去から現在まで」のイメージになっているかどうかを考える必要があります。

「for＋時間」「since＋時間」の形で時間が表されている場合は、中学英語では必ず現在完了だと言ってもよいです。
これらの表現は、必然的に過去から現在の幅のある時間を表すからです。


◆関連項目
過去分詞、have been to 〜、現在完了まとめ


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中学数学「三平方の定理」直方体の対角線

中学数学「三平方の定理」直方体の対角線

縦横高さがａ，ｂ，ｃの直方体の対角線ｌは

ｌ＝√(ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2)

の公式だ！
・・・と言って満足せずに、どうしてそうなるか理解しておきましょう！

まず、直方体の底面を考えます。
その対角線は三平方の定理により、√(ａ^2＋ｂ^2)と表すことができます。

直方体の対角線を斜辺とし、底面の対角線と高さの３辺でできる三角形も直角三角形になります。
直角三角形ならば三平方の定理が成り立つので、

ｌ^2＝{√(ａ^2＋ｂ^2)}^2＋ｃ^2
　　＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2

よって、ｌ＝√(ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2)

となるのですね。


図形まとめ(中学)


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小学算数「未知の数を推理する問題」

小学算数「未知の数を推理する問題」

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１００
Ａ−Ｂ＝３１
Ｃ−Ｂ＝１５

という条件で、Ａを求める問題です。

中学レベル以上ならば、連立方程式を解く。という考えでもちろんかまいませんが、小学校では方程式は基本的に使わないので、別の考え方をすることがあります。

Ａ−Ｂ＝３１より、Ａ＝Ｂ＋３１
Ｃ−Ｂ＝１５より、Ｃ＝Ｂ＋１５

ですね。
ＡからＢを引いたら３１だから、ＡはＢよりも３１大きいです。
同様に、ＣはＢよりも１５大きいですね。

これらをＡ＋Ｂ＋Ｃ＝１００に当てはめれば、

(Ｂ＋３１)＋Ｂ＋(Ｂ＋１５)＝１００
　　　　　Ｂ×３＋４６＝１００
　　　　　　　　Ｂ×３＝１００−４６
　　　　　　　　Ｂ×３＝５４

よって、Ｂ＝５４÷３＝１８

Ａ＝Ｂ＋３１だから、Ａ＝１８＋３１＝４９

とわかります。

この解き方も本質的には連立方程式ですが、小学生でも、この考え方で理解して解けると思います。


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高校数学「積分」関数とｘ軸の間の図形の面積

高校数学「積分」関数とｘ軸の間の図形の面積

関数とｘ軸で囲まれた図形の面積を求めるときは、結局のところ「定積分」です。

図形の左端から右端の区間で定積分をすれば、関数とｘ軸の間の面積になります。

ただし、ｘ軸より下側の範囲は、定積分の値はマイナスで出てくるので、「面積」ならば、符号を変えなければいけません。

ｘ軸より上の部分と下の部分がある図形の場合は、上の部分と下の部分に分けて定積分し、下の部分は符号を変えて合計する。というわけです。

これらをひとまとめにして言えば、

「面積」＝「絶対値の定積分」

です。


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高校数学「積分」不定積分の計算

高校数学「積分」不定積分の計算

積分は微分の逆です。
すなわち、

指数を１上げて、新しい指数で係数を割る。

をすれば積分の完成です。
微分してできた式をもとに戻すのが積分。というわけですね。

一つ注意しなければいけないのは、定数を微分するとゼロなので、積分するときはその消えてしまった定数を復活させなければいけません。
微分すると定数なら何でもゼロなので、その他の情報がなければその定数がいくつなのかわからないので、積分定数Ｃを加える。というわけです。


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高校数学「積分」定積分の計算

高校数学「積分」定積分の計算

定積分を計算するときは、

�@不定積分と同様に式を積分する
�A積分の区間の上の値を代入したやつから下の値を代入したやつを引く

をやります。

必然的に代入を２回やって引き算することになるので、計算が結構大変になることが多いです。
気をつけて計算するしかない場合も多いですが、適切な公式を使えば計算が簡単になる場合もあります。


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