本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第２問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
2019年センター試験数２Ｂより
第２問
ｐ，ｑを実数とし、関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘはｘ＝－１で極値２を
とるとする。また、座標平面上の曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をＣ，放物線ｙ＝－ｋｘ^2をＤ，
放物線Ｄ上の点(ａ，－ｋａ^2)をＡとする。ただし、ｋ＞０，ａ＞０である。
(1) 関数ｆ(ｘ)がｘ＝－１で極値をとるので、ｆ'(－１)＝[ア]である。これと
ｆ(－１)＝２より、ｐ＝[イ]，ｑ＝[ウエ]である。よって、ｆ(ｘ)はｘ＝[オ]で
極小値[カキ]をとる。
(2) 点Ａにおける放物線Ｄの接線をｌとする。Ｄとｌおよびｘ軸で囲まれた図形の
面積Ｓをａとｋを用いて表そう。
ｌの方程式は
ｙ＝[クケ]ｋａｘ＋ｋａ^[コ] ……{1}
と表せる。ｌとｘ軸の交点のｘ座標は[サ]／[シ]であり、Ｄとｘ軸および直線
ｘ＝ａで囲まれた図形の面積は(ｋ／[ス])ａ^[セ]である。よって、
Ｓ＝(ｋ／[ソタ])ａ^[セ]である。
(3) さらに、点Ａが曲線Ｃ上にあり、かつ(2)の接線ｌがＣにも接するとする。
このときの(2)のＳの値を求めよう。
ＡがＣ上にあるので、ｋ＝[チ]／[ツ]－[テ]である。
ｌとＣの接点のｘ座標をｂとすると、ｌの方程式はｂを用いて
ｙ＝[ト](ｂ^2－[ナ])ｘ－[ニ]ｂ^2 ……{2}
と表される。{2}の右辺をｇ(ｘ)とおくと
ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝(ｘ－[ヌ])^2・(ｘ＋[ネ]ｂ)
と因数分解されるので、ａ＝－[ネ]ｂとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、ａ^2＝[ノハ]／[ヒ]である。
したがって、求めるＳの値は[フ]／[ヘホ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
◆３ 積分は微分の逆
◆４ 極値なのでｆ'(ｘ)＝０
◆５ 極値はｙ座標
(以下略)
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■ 解説
◆１～３は省略します。
◆４ 極値なのでｆ'(ｘ)＝０
前置きはこの辺にして、今回の問題です。
2019年は、３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘについての問題でした。
この関数は、「ｘ＝－１で極値２をとる」と言っています。
ここからいくつか式ができますね？
まずは、◆２でも触れたように「極値は接線の傾きがゼロになるところ」なので、
ｆ(ｘ)を微分し、ｘ＝－１を代入した式の値はゼロになります。
つまり、ｆ'(－１)＝０です。
よって、[ア]＝０
少し計算しておきましょう！
ｆ'(ｘ)＝３ｘ^2＋２ｐｘ＋ｑ
ｆ'(－１)＝３(－１)^2＋２ｐ×(－１)＋ｑ
＝３－２ｐ＋ｑ＝０
このような式が得られます。
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◆５ 極値はｙ座標
さらに、「ｘ＝－１で極値２をとる」ので、ｆ(－１)＝２です。
極値は式の値なので、つまりはｘｙ平面にグラフを描いた場合のｙ座標ですね。
これもその通りの式を作ってみましょう！
ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘ
ｆ(－１)＝(－１)^3＋ｐ(－１)^2＋ｑ(－１)
＝－１＋ｐ－ｑ＝２
文字が２つあるので、◆４の式と連立すれば・・・
(以下略)
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