本日配信のメルマガ。2018年センター数学１Ａ第２問[2] データの分析

本日配信のメルマガでは、2018年大学入試センター試験数学１Ａ第２問[2]を解説します。

2019年１Ａ第２問[2]の解説が完成したので、その関連問題として、2018年の問題を配信してみることにしました。


【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■　問題

2018年センター試験数１Ａより

第２問

[2] ある陸上大会に出場した選手の身長(単位はcm)と体重(単位はkg)のデータが
得られた。男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループに
分けると、それぞれのグループの選手数は、男子短距離が328人、男子長距離が271
人、女子短距離が319人、女子長距離が263人である。

(1) 次ページの図１および図２は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子
長距離の四つのグループにおける、身長のヒストグラムおよび箱ひげ図である。
　次の[サ]、[シ]に当てはまるものを、下の{0}〜{6}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。

　図１および図２から読み取れる内容として正しいものは、[サ]、[シ]である。

{0} 四つのグループのうちで範囲が大きいのは、女子短距離グループである。
{1} 四つのグループのすべてにおいて、四分位範囲は12未満である。
{2} 男子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に中央値が入って
いる。
{3}女子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に第１四分位数が
入っている。
{4} すべての選手の中で最も身長の高い選手は、男子長距離グループの中にいる。
{5} すべての選手の中で最も身長の低い選手は、女子長距離グループの中にいる。
{6} 男子短距離グループの中央値と男子長距離グループの第３四分位数は、ともに
180以上182未満である。

図１，図２
(ここでは省略します)

(2) 身長をＨ，体重をＷとし、ＸをＸ＝(Ｈ／１００)^2で、ＺをＺ＝Ｗ／Ｘで定義
する。次ページの図３は、男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の
四つのグループにおけるＸとＷのデータの散布図である。ただし、原点を通り、
傾きが15, 20, 25, 30である四つの直線ｌ1, ｌ2, ｌ3, ｌ4も補助的に描いて
いる。また、次ページの図４の(a), (b), (c), (d)で示すＺの四つの箱ひげ図は、
男子短距離、男子長距離、女子短距離、女子長距離の四つのグループのいずれかの
箱ひげ図に対応している。
　次の[ス]，[セ]に当てはまるものを、下の{0}〜{5}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。

　図３および図４から読み取れる内容として正しいものは、[ス]，[セ]である。

{0} 四つのグループのすべてにおいて、ＸとＷには負の相関がある。
{1} 四つのクループのうちでＺの中央値が一番大きいのは、男子長距離グループ
である。
{2} 四つのグループのうちでＺの範囲が最小なのは、男子長距離グループである。
{3} 四つのグループのうちでＺの四分位範囲が最小なのは、男子短距離グループ
である。
{4} 女子長距離グループのすべてのＺの値は25より小さい。
{5} 男子長距離グループのＺの箱ひげ図は(c)である。

図３，図４
(ここでは省略します)

(3) ｎを自然数とする。実数値のデータｘ1, ｘ2, …, ｘnおよびｗ1, ｗ2, …, ｗn
に対して、それぞれの平均値を
　　＿　　　　　　　　　　　　　 ＿
　　ｘ＝(ｘ1＋ｘ2＋…＋ｘn)／ｎ，ｗ＝(ｗ1＋ｗ2＋…＋ｗn)／ｎ
　　　　　　　　　　　　　　　 ＿　　＿＿
とおく。等式(ｘ1＋ｘ2＋…＋ｘn)ｗ＝ｎｘｗなどに注意すると、偏差の積の和は
　　　　　＿　　　 ＿　　　　 ＿　　　 ＿　　　　　　 ＿　　　 ＿
　　(ｘ1−ｘ)(ｗ1−ｗ)＋(ｘ2−ｘ)(ｗ2−ｗ)＋…＋(ｘn−ｘ)(ｗn−ｗ)
　＝ｘ1ｗ1＋ｘ2ｗ2＋…＋ｘnｗn−[ソ]

となることがわかる。[ソ]に当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
　　＿＿　　　　 ＿＿　　　　　　 ＿＿　　　　　　　＿＿
{0} ｘｗ　　{1} (ｘｗ)^2　　{2} ｎｘｗ　　{3} ｎ^2・ｘｗ


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　2018年も第２問は「三角比」「データの分析」
　◆２　問題長いです(笑)
　◆３　四分位数と範囲、箱ひげ図の基本
　◆４　箱ひげ図で最大最小、四分位数等を読み取って

(以下略)

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■　解説

◆１，２は省略します。


　◆３　四分位数と範囲、箱ひげ図の基本

では早速、ひとつひとつ選択肢を検討してみましょう！
・・・と言いたいところですが、その前に、この単元の用語について少し解説して
おきます。


「中央値」は、中学でも習ったように、データを大きさの順に並べたときに、
その順番が真ん中になる値です。データの個数が偶数の場合は、「ちょうど真ん中」
が存在しないので、真ん中に近い２つの平均が「中央値」です。

「第１四分位数」は、中央値を境目に、データを上半分と下半分に分けたときの、
下半分の中央値です。

「第３四分位数」は、中央値を境目に、データを上半分と下半分に分けたときに、
上半分の中央値です。

「第１四分位数」→「中央値」→「第３四分位数」の順番になり、これら３つの
値で、もとのデータは四等分されることになります。


「範囲」とは、データの存在する範囲を示します。
「★範囲＝最大−最小」で求めることができます。

「四分位範囲」とは、第１四分位数と第３四分位数の「範囲」です。
つまり「★四分位範囲＝第３四分位数−第１四分位数」で求めることができます。


そして、「箱ひげ図」は、「箱」の部分が四分位範囲を示し、箱の中央付近に
中央値を示す線を引きます。
箱の両側に伸びる「ひげ」を含めて最大値・最小値までの「範囲」を示します。


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　◆４　箱ひげ図で最大最小、四分位数等を読み取って

前置きが長くなりましたが、今度こそ選択肢を検討してみましょう！

{0} 四つのグループのうちで範囲が大きいのは、女子短距離グループである。
→箱ひげ図を見てみると、女子短距離は145〜187なので、範囲は42です。
他のグループを見てみると、男子短距離が範囲が大きそうですね。
152〜202なので範囲は50です。
男子短距離の方が範囲が大きいです。よって、これは正しくありません。

{1} 四つのグループのすべてにおいて、四分位範囲は12未満である。
→「四分位範囲」とは、箱ひげ図の「箱」の部分でしたね。
四つのグループどれを見ても、箱の大きさが１２以上になっているものはない
ようですね。
よって、これは正しいです！

{2} 男子長距離グループのヒストグラムでは、度数最大の階級に中央値が入って
いる。
→まず男子長距離の箱ひげ図を見ると、176cmのところに中央値を示す線が入って…


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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中学英語「代名詞」

中学英語「代名詞」

Whose bag is this? -- It is (I / my / me / mine).

かっこ内から適切な語を選ぶ問題です。

「これは誰のカバンですか？」「それは私のです」

という意味になると推測できると思います。

「私のもの」という意味になるものを選べば良いので、「mine」が正解です。

代名詞の表に書いてある「I - my - me - mine」などは、「主格−所有格−目的格−所有代名詞」の順に並んでいます。


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高校数学「２次関数」「２次方程式」「解の判別」

高校数学「２次関数」「２次方程式」「解の判別」

２次方程式の解を判別するときは、普通は「判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ」を使います。

このｂ^2−４ａｃは、２次方程式の解の公式のルートの中身です。
ルートの部分が正の数ならば解が２つになり、ルートの部分がゼロならば解が一つになり、ルートの部分がマイナスならば解はなし。となります。

つまり、

Ｄ＞０ならば、解は２つ
Ｄ＝０ならば、解は１つ
Ｄ＜０ならば、解なし

です。


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本日配信のメルマガ。2019年センター英語第５問 和訳完成

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第５問を解説します。


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■　問題

第５問　次の文章を読み、下の問い(問１〜５)の[ 41 ]〜[ 45 ]に入れる
のに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

　"Christine, come and help me in the garden. I want to plant all of the
seeds today." My father was calling to me. "I'm busy," I said. My father
loves his garden, but at that time I didn't understand why working in the
dirt excited him so much.
By the end of April, his plants had come up in neat rows, and he put
wooden stakes marked with the name of the vegetable on each row.
Unfortunately, in early May, my father was seriously injured in an
accident. He was in the hospital for about two months and during that time
he often asked me about his garden. Even after he came home, he had to
stay in bed for a while. My mother had several business trips so she
couldn't take care of the garden. I didn't want my father to worry, so
without being asked, I said that I would take care of his garden until he
recovered. I assumed that the little plants would continue to grow as long
as they had water, and luckily it rained fairly often so I didn't think
much about the garden.
One Saturday morning in July, my father said to me, "Christine, I think
that the vegetables should be about ready to be picked. Let's have a salad
today?" I took a bowl and went out to the garden. I looked at the leaf
lettuce and was upset to see that many of the leaves had been half eaten.
There were hundreds of bugs all over them! I tried to get them off, but
there were just too many. I looked at the carrots next, but they didn't
look healthy. I pulled up a carrot, but it was tiny and looked like
something had taken small bites from it.
I panicked for a moment, but then thought of a good idea. I got my wallet,
quickly went out the door, and rode my bicycle to the nearest store to buy
some vegetables. I went back home and cut them up to make a salad for my
father.
When I gave it to him, he said, "Oh, Christine, what a beautiful salad!
I can't believe the carrots are this big already. The lettuce is so crisp
and delicious. You must be taking very good care of my garden." My father
looked happy, but I felt a little bit guilty.
I went back to the kitchen and was cleaning up when my mother came home
from her most recent business trip. She saw the bag from the supermarket.
I was embarrassed when she looked at me. So, I confessed, "Dad wanted a
salad, but the garden was a disaster. I didn't want to disappoint him so
I went to the store." She laughed but promised to make time to help me
in the garden, and we worked hard for the next few weeks. We made a mixture
of water with chopped-up fresh hot peppers and then sprayed it on the
vegetables. I thought this was a great idea because the spray is not
harmful to humans or animals, or even the bugs. They simply don't like the
spicy water. The [bug-free] vegetables grew quickly, and finally I was
able to pick some.
I carefully made a salad and took it to my father. He looked at it with
hint of a smile. "Christine, the carrots are smaller in this salad, but
they taste better." I realized that he had known all along about my
shopping trip. I smiled back at him.
Now, I better understand how putting a lot of effort into caring for
something can help you appreciate the results more, however small they may
be. Perhaps this was one of the reasons for my father's love of gardening.
In a few days he'll be back in the garden. I'll be right beside him
helping him in any way I can.


問１　Christine originally said she would do the gardening because she [ 41 ].
{1} knew it was important to her father
{2} wanted to improve her gardening skills
{3} was asked by her father to do it
{4} was interested in growing vegetables

問２　Which of the following was a problem in the garden? [ 42 ]
{1} Animals often dug in the garden.
{2} Insects ate the lettuce and carrots.
{3} The plants were given too much water.
{4} The vegetables were marked incorrectly.

問３　Christine could secretly make the salad from store-bought vegetables
because [ 43 ].
{1} her father couldn't see the garden's progress
{2} her father was in the hospital at that time
{3} her mother helped her to buy the vegetables
{4} her mother helped her to make a spray

問４　Which of the following is closest to the meaning of the underlined
word [bug-free]? [ 44 ]
{1} All bugs have been killed.
{2} Bugs can do what they like.
{3} No bugs can be found.
{4} The bugs don't cost any money.

What did Christine learn through her experience of garden? [ 45 ]
{1} Always prepare for a rainy day.
{2} Don't be disappointed by bugs.
{3} Hard work can be rewarding.
{4} Working alone produces results.


※マーク部分の□は[ ]で、マル１は{1}で表記しています。

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■　解答・解説

2019年第５問は、Christineを主人公とした物語文でした。
難解な表現や語句はあまりないので、比較的読みやすい文章だったのではないかと
思います。

まずは最初の問いの内容を確認してみましょう。

問１　Christine originally said / she would do / the gardening / because
/ she [ 41 ].
Christineは元々言った / 彼女はするつもりだと / ガーデニングを / なぜなら
/ 彼女は[ 41 ].

{1} knew / it was important / to her father
知っていた / それは重要だと / 彼女の父にとって

{2} wanted to improve / her gardening skills
改善したかった / 彼女のガーデニングのスキルを

{3} was asked / by her father / to do it
頼まれた / 彼女の父によって / それをするように

{4} was interested / in growing vegetables
興味があった / 野菜を育てることに

この問いの内容を意識しながら、本文を読んでいきましょう！
まず第１段落。

　"Christine, / come and help me / in the garden.
Christine / 手伝いに来てくれ / 庭で

I want to plant / all of / the seeds / today."
私は植えたい / すべての / 種を / 今日


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
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■　全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

　「Christine、庭に手伝いに来て。私は今日種をすべて植えてしまいたい。」
父は私に電話してきました。「私は忙しい。」私は言いました。父は庭を愛して
いますが、そのときは私はなぜ土の中で働くことがそんなに彼を興奮させるのか…

(続きはメルマガかブログで！)

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■　今回の高校レベルの単語・熟語など

≪本文≫
plant：ここでは名詞で「植物」、動詞で「(植物を)植える」
dirt：カタカナの「ダート」でわかる人もいるかも？「泥、ホコリ」
stake：ここでは「杭」他には「賞金、杭にくくりつける」など
row：カーレースなどでは最前列のことを「フロントロー」という「列」
unfortunately：fortune→fortunate→fortunately→「不幸にも」

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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高校物理「電気」「クーロンの法則」

高校物理「電気」「クーロンの法則」

高校物理の電気の単元では、まず２つの点電荷の間にはたらく静電気力の大きさについて考えます。

静電気力の大きさは、クーロンの法則の公式で求めることができます。

Ｆ＝ｋ(|ｑ1|・|ｑ2|)／ｋ^2

これがクーロンの法則の公式です。

Ｆは力学でも登場したように力[Ｎ]、ｋは比例定数、ｑ1，ｑ2はそれぞれの点電荷が持つ電気量[Ｃ]、ｒは点電荷間の距離です。
電荷が大きければ大きいほど、点電荷間の距離が近ければ近いほど静電気力が大きいことがわかります。

ちなみに比例定数ｋは、真空中では９．０×１０^9[Ｎ・ｍ^2／Ｃ^2]であり、数字でパラメータが与えられているときは、この値をそのまま使うことが多いです。

「＋２．０×１０^(-6)[Ｃ]と−４．５×１０^(-5)[Ｃ]の２個の点電荷を０．３０[ｍ]話して置いたとき、これらの点電荷間に働く静電気力の大きさを求めよ。」

このような問題でクーロンの法則を利用することができます。

Ｆ＝ｋ(|ｑ1|・|ｑ2|)／ｋ^2に、ｋ＝９．０×１０^9，ｑ1＝２．０×１０^(-6)，ｑ2＝−４．５×１０^(-5)，ｋ＝０．３を代入して、

詳しい計算はここでは省略しますが、計算すると、９．０Ｎになります。


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高校数学「因数定理」

高校数学「因数定理」

整式Ｐ(ｘ)をｘの１次式ｘ−ａで割ったときの余りは、Ｐ(ａ)になる。というのが「剰余の定理」で、

余りがゼロならば「割り切れる」つまり、「Ｐ(ｘ)は、ｘ−ａを因数にもつ」ということができます。これを「因数定理」と言います。

因数がわかると、当然因数分解をすることができたり、方程式を解くことができたりします。

高校数学２では、この因数定理を用いて、３次方程式や４次方程式を解いたりします。

因数定理で完結ではなく、続きがあるので、使い道を把握してしっかりマスターしていきましょう！


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中学英語「疑問詞」「いくつ？」

中学英語「疑問詞」「いくつ？」

[ ] [ ] bags do you have? -- I have two.

この空欄に適切な語句を補うことを考えます。

これは疑問文とその答えになっていることがわかると思います。

「あなたはいくつカバンを持っていますか」「２つ持っています」

このような意味になっていると推測できるはずです。

空欄には「いくつ？」のような、個数を尋ねる疑問詞を含む表現が入ります。

数えられる名詞の数を尋ねるときは、「how many 名詞」でしたね。

[How] [many] bags do you have? -- I have two.

とするのが標準的です。


中学で習う疑問詞


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中学英語「過去進行形」

中学英語「過去進行形」

[ ]の部分をthenに変えて「〜していました」という英文に書き換えましょう。
I study science [every day].

この問題について考えます。

「〜していました」は「過去進行形」の標準的な訳し方ですね。

過去進行形は、「be動詞＋〜ing」のbe動詞が過去形になったものです。

主語がIのときbe動詞の過去形はwasですね。

そして「be動詞＋〜ing」は、動詞の部分を変化させるので、

I was studying science then.「私はそのとき理科を勉強していました」

このようになります。


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学２Ｂ第３問[サ]まで

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■　問題

2019年センター試験数２Ｂより

第３問

　初項が３，公比が４の等比数列の初項から第ｎ項までの和をＳnとする。また、
数列{Ｔn}は、初項が−１であり、{Ｔn}の階差数列が数列{Ｓn}であるような数列と
する。

(1) Ｓ2＝[アイ]，Ｔ2＝[ウ]である。

(2) {Ｓn}と{Ｔn}の一般項は、それぞれ

　　Ｓn＝[エ]^[オ]−[カ]
　　Ｔn＝([キ]^[ク])／[ケ]−ｎ−[コ]／[サ]

である。ただし、[オ]と[ク]については、当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうち
から一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。

{0} ｎ−１　　{1} ｎ　　{2} ｎ＋１　　{3} ｎ＋２　　{4} ｎ＋３

(3) 数列{ａn}は、初項が−３であり、漸化式

　　ｎａn+1＝４(ｎ＋１)ａn＋８Ｔn　(ｎ＝１，２，３，…)

を満たすとする。{ａn}の一般項を求めよう。

　そのために、ｂn＝(ａn＋２Ｔn)／ｎにより定められる数列{ｂn}を考える。{ｂn}
の初項は[シス]である。

　{Ｔn}は漸化式

　　Ｔn+1＝[セ]Ｔn＋[ソ]ｎ＋[タ]　(ｎ＝１，２，３，…)

を満たすから、{ｂn}は漸化式

　　ｂn+1＝[チ]ｂn＋[ツ]　(ｎ＝１，２，３，…)

を満たすことがわかる。よって、{ｂn}の一般項は

　　ｂn＝[テト]・[チ]^[ナ]−[ニ]

である。ただし、[ナ]については、当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから
一つ選べ。

{0} ｎ−１　　{1} ｎ　　{2} ｎ＋１　　{3} ｎ＋２　　{4} ｎ＋３

　したがって、{Ｔn}，{ｂn}の一般項から{ａn}の一般項を求めると

　　ａn＝{[ヌ]([ネ]ｎ＋[ノ])[チ]^[ナ]＋[ハ]}／[ヒ]

である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、
一般項ｎ^2の初項から第ｎ項までの数列の和はΣ[k=1〜n]ｋ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　等差数列と等比数列の用語・公式
　◆２　Ｓ2は初項＋第２項
　◆３　公比＞１なのでｒ−１に代入

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　Ｓ2は初項＋第２項

では今回の問題を確認してみましょう！

「初項が３，公比が４の等比数列の初項から第ｎ項までの和をＳn」と言って
います。

最初の設問では、この数列のＳ2を求めます。

初項が３，公比が４なので、Ｓ2＝３＋３×４＝１５

よって、[アイ]＝１５


・・・一応これでも正解ですが、続きの問題のことも考えると、ちゃんと公式を
使って求められるようにしておいた方がよいです。


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　◆３　公比＞１なのでｒ−１に代入

◆１で触れたように、等比数列の和は

和Ｓn＝{ａ(ｒ^n−１)}／(ｒ−１)＝{ａ(１−ｒ^n)}／(１−ｒ)

で求められます。

今回の問題では、初項ａ＝３，公比ｒ＝４，項数ｎ＝２なので・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校物理「物体の運動」「鉛直投げ上げ」「落下してくるまでの時間」

高校物理「物体の運動」「鉛直投げ上げ」「落下してくるまでの時間」

「小球を鉛直上向きに打ち出し、地面に落ちてくるまでの時間」を考えます。

初速度をｖ0，重力加速度をｇとして、打ち出してからｔ秒後の小球の位置をｙとします。

初速度の向きと重力加速度の向きが反対なので、初速度をプラス、重力加速度をマイナスとして、

等速直線運動の公式ｘ＝ｖ0ｔ＋(１／２)ａｔ^2にｘ＝ｙ，ａ＝−ｇを代入すると、

ｙ＝ｖ0ｔ−(１／２)ｇｔ^2

これがｔ秒後の小球の位置を表す式となります。

「地面に落下するとき」は、ｙ＝０なので、代入してｔの２次方程式ととらえます。

ｖ0ｔ−(１／２)ｇｔ^2＝０
　　２ｖ0ｔ−ｇｔ^2＝０
　　　ｔ(２ｖ0−ｇｔ)＝０

よって、ｔ＝０，２ｖ0−ｇｔ＝０

ｔ＝０は、打ち出した瞬間を意味するので、２ｖ0−ｇｔ＝０を解くと、

−ｇｔ＝−２ｖ0
　　ｔ＝２ｖ0／ｇ

これが小球が落下したときの時刻となります。


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高校数学「極限」「三角関数の極限」

高校数学「極限」「三角関数の極限」

三角関数の極限では、ｓｉｎｘ／ｘの形をつくり、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を利用します。

これを利用するので、普通はｘ→０ですが、問題によっては、ｘ→∞で式が与えられている場合があります。

その場合は、そのままｘ→∞でやるのではなく、θ→０となるようにθを使って置き換えて解くのが普通です。

θ＝１／ｘとおけば、ｘ→∞のときθ→０となりますね。

１／ｘは、ｘが限りなく大きくなれば、その値は限りなくゼロに近づくというわけです。

θ→０ならば、ｓｉｎθ／θの極限値は１になるので、この形を目指して式の変形をする。と考えます。


具体的な問題例はまた別の記事に掲載します。


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高校数学「数列」「等比数列の和」

高校数学「数列」「等比数列の和」

等比数列の和の公式は、

Ｓn＝ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)

ですね。

「ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)」がどうしてイコールになるのか考えてみましょう。

左辺のａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)に注目してみます。

これはもちろん分数です。
分数ならば、分子と分母に同じ数を掛けたり割ったりすることができます。

例えば、分子と分母両方に−１を掛けてみると・・・

ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝−ａ(ｒ^n−１)／{−(ｒ−１)}

このようになります。

それぞれについたマイナスを括弧の中に入れれば・・・

−ａ(ｒ^n−１)／{−(ｒ−１)}＝ａ(−ｒ^n＋１)／(−ｒ＋１)
　　　　　　　　　　　　　＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)

ということで、

Ｓn＝ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)

であることがわかりました。わかりましたか？


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高校数学「数列」「等差数列」「等比数列」

高校数学「数列」「等差数列」「等比数列」

初項ａ・・・数列の最初の項
末項ｌ・・・数列の最後の項→結局ｎ項目になることが多い
公差ｄ・・・等差数列の２項間の差→次の項にいく度に公差の値を足す
公比ｒ・・・等比数列の２項間の比→次の項にいく度に公比の値を掛ける
一般項ａn・・・数列を一般的に数式で表したもの→ｎ項目の式
和Ｓn・・・初項から末項(ａn)までの合計
等差数列・・・次の項にいく度に一定の数を足す数列
等比数列・・・次の項にいく度に一定の数を掛ける数列

まずは数列の基本的な用語をズラッと書いてみました。
大学受験生としては全部基本的な用語です。あやしいものがあった人は、まずはこの説明を覚えてください。
定義や意味をしっかり理解することが、思考力の基礎になるのです！

そして、等差数列と等比数列の式は以下のようになります。

等差数列
一般項ａn＝ａ＋(ｎ−１)ｄ＝ｌ(末項)
和Ｓn＝ｎ(ａ＋ｌ)／２＝ｎ{２ａ＋(ｎ−１)ｄ}／２

等比数列
一般項ａn＝ａｒ^(n-1)
和Ｓn＝{ａ(ｒ^n−１)}／(ｒ−１)＝{ａ(１−ｒ^n)}／(１−ｒ)


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高校数学「確率」「余事象」「コイン１枚を４回」

高校数学「確率」「余事象」

「コイン１枚を４回連続で投げて、表が少なくとも１回出る確率を求めよ。」

「少なくとも１回」ということは、

１回の場合、２回の場合、３回の場合、４回の場合

があります。
これら全てを合計すれば、もちろん、この確率を求めることができます。

しかし、「余事象」の考えを使うともっと簡単に計算することができます。

「余事象」とは、「当てはまらない場合の事象」なので、この場合は「少なくとも１回ではない」場合です。
つまり、「１回も表が出ない」場合が、余事象です。

「１回も表が出ない確率」は、「全て裏」なので、(１／２)^4＝１／１６です。

これを全体の確率１から引いて、

１−１／１６＝１５／１６

これが求める確率です。


関連問題
サイコロ２個の場合


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小学算数「容器に入ったペンキの重さ」

小学算数「容器に入ったペンキの重さ」

容器にペンキが入っています。容器ごとの重さを量ると、１．６４ｋｇありました。容器内のペンキを半分だけ使って、容器ごとの重さを量ると０．９２ｋｇありました。はじめ、容器にペンキは何ｇ入っていましたか？

「容器ごとの重さ」とは「容器」と「ペンキ」を合わせた重さです。

最初は「容器＋ペンキ」の重さが１．６４ｋｇで、半分のペンキを使ったら、「容器＋ペンキ」の重さは０．９２ｋｇになった。という設定です。

ということは、この重さの差が、最初に入っていたペンキの半分の重さになります。

１．６４−０．９２＝０．７２ｋｇ

これが、最初に入っていたペンキの半分の重さですね。

ならば、この２倍が最初のペンキの重さだ。ということで、求めるペンキの重さは

０．７２×２＝１．４４ｋｇ

問題はでは、「何ｇですか」と聞いているので、ｇに直して、

１４４０ｇ

が正解です！


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高校化学「物質の構成」「電気陰性度」「極性」

高校化学「物質の構成」「電気陰性度」「極性」

原子の共有電子対を引き寄せる力の強さを表す値を「電気陰性度(electronegativity)」といいます。

基本的に、

・原子半径が小さければ、原子核と電子の距離が近いため、引力が大きい。
・原子核の陽子数が多ければ、電子を引きつける力が強い。

ので、元素の周期表の右上の元素ほど、電気陰性度が大きい傾向があります。


電気陰性度の差が大きい元素同士が共有結合をしてできる物質は、共有電子対が、電気陰性度の大きい原子の方へ引き寄せられ、電気的な偏りが生じ、その偏りを「極性(polarity)」といいます。


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■　問題

第５問　次の文章を読み、下の問い(問１〜５)の[ 41 ]〜[ 45 ]に入れる
のに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

　"Christine, come and help me in the garden. I want to plant all of the
seeds today." My father was calling to me. "I'm busy," I said. My father
loves his garden, but at that time I didn't understand why working in the
dirt excited him so much.
By the end of April, his plants had come up in neat rows, and he put
wooden stakes marked with the name of the vegetable on each row.
Unfortunately, in early May, my father was seriously injured in an
accident. He was in the hospital for about two months and during that time
he often asked me about his garden. Even after he came home, he had to
stay in bed for a while. My mother had several business trips so she
couldn't take care of the garden. I didn't want my father to worry, so
without being asked, I said that I would take care of his garden until he
recovered. I assumed that the little plants would continue to grow as long
as they had water, and luckily it rained fairly often so I didn't think
much about the garden.
One Saturday morning in July, my father said to me, "Christine, I think
that the vegetables should be about ready to be picked. Let's have a salad
today?" I took a bowl and went out to the garden. I looked at the leaf
lettuce and was upset to see that many of the leaves had been half eaten.
There were hundreds of bugs all over them! I tried to get them off, but
there were just too many. I looked at the carrots next, but they didn't
look healthy. I pulled up a carrot, but it was tiny and looked like
something had taken small bites from it.
I panicked for a moment, but then thought of a good idea. I got my wallet,
quickly went out the door, and rode my bicycle to the nearest store to buy
some vegetables. I went back home and cut them up to make a salad for my
father.
When I gave it to him, he said, "Oh, Christine, what a beautiful salad!
I can't believe the carrots are this big already. The lettuce is so crisp
and delicious. You must be taking very good care of my garden." My father
looked happy, but I felt a little bit guilty.
I went back to the kitchen and was cleaning up when my mother came home
from her most recent business trip. She saw the bag from the supermarket.
I was embarrassed when she looked at me. So, I confessed, "Dad wanted a
salad, but the garden was a disaster. I didn't want to disappoint him so
I went to the store." She laughed but promised to make time to help me
in the garden, and we worked hard for the next few weeks. We made a mixture
of water with chopped-up fresh hot peppers and then sprayed it on the
vegetables. I thought this was a great idea because the spray is not
harmful to humans or animals, or even the bugs. They simply don't like the
spicy water. The [bug-free] vegetables grew quickly, and finally I was
able to pick some.
I carefully made a salad and took it to my father. He looked at it with
hint of a smile. "Christine, the carrots are smaller in this salad, but
they taste better." I realized that he had known all along about my
shopping trip. I smiled back at him.
Now, I better understand how putting a lot of effort into caring for
something can help you appreciate the results more, however small they may
be. Perhaps this was one of the reasons for my father's love of gardening.
In a few days he'll be back in the garden. I'll be right beside him
helping him in any way I can.


問１　Christine originally said she would do the gardening because she [ 41 ].
{1} knew it was important to her father
{2} wanted to improve her gardening skills
{3} was asked by her father to do it
{4} was interested in growing vegetables

問２　Which of the following was a problem in the garden? [ 42 ]
{1} Animals often dug in the garden.
{2} Insects ate the lettuce and carrots.
{3} The plants were given too much water.
{4} The vegetables were marked incorrectly.

問３　Christine could secretly make the salad from store-bought vegetables
because [ 43 ].
{1} her father couldn't see the garden's progress
{2} her father was in the hospital at that time
{3} her mother helped her to buy the vegetables
{4} her mother helped her to make a spray

問４　Which of the following is closest to the meaning of the underlined
word [bug-free]? [ 44 ]
{1} All bugs have been killed.
{2} Bugs can do what they like.
{3} No bugs can be found.
{4} The bugs don't cost any money.

What did Christine learn through her experience of garden? [ 45 ]
{1} Always prepare for a rainy day.
{2} Don't be disappointed by bugs.
{3} Hard work can be rewarding.
{4} Working alone produces results.


※マーク部分の□は[ ]で、マル１は{1}で表記しています。

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■　解答・解説

2019年第５問は、Christineを主人公とした物語文でした。
難解な表現や語句はあまりないので、比較的読みやすい文章だったのではないかと
思います。

まずは最初の問いの内容を確認してみましょう。

問１　Christine originally said / she would do / the gardening / because
/ she [ 41 ].
Christineは元々言った / 彼女はするつもりだと / ガーデニングを / なぜなら
/ 彼女は[ 41 ].

{1} knew / it was important / to her father
知っていた / それは重要だと / 彼女の父にとって

{2} wanted to improve / her gardening skills
改善したかった / 彼女のガーデニングのスキルを

{3} was asked / by her father / to do it
頼まれた / 彼女の父によって / それをするように

{4} was interested / in growing vegetables
興味があった / 野菜を育てることに

この問いの内容を意識しながら、本文を読んでいきましょう！
まず第１段落。

　"Christine, / come and help me / in the garden.
Christine / 手伝いに来てくれ / 庭で

I want to plant / all of / the seeds / today."
私は植えたい / すべての / 種を / 今日


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
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■　全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

　「Christine、庭に手伝いに来て。私は今日種をすべて植えてしまいたい。」
父は私に電話してきました。「私は忙しい。」私は言いました。父は庭を愛して
いますが、そのときは私はなぜ土の中で働くことがそんなに彼を興奮させるのか…

(続きはメルマガかブログで！)

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■　今回の高校レベルの単語・熟語など

≪本文≫
plant：ここでは名詞で「植物」、動詞で「(植物を)植える」
dirt：カタカナの「ダート」でわかる人もいるかも？「泥、ホコリ」
stake：ここでは「杭」他には「賞金、杭にくくりつける」など
row：カーレースなどでは最前列のことを「フロントロー」という「列」
unfortunately：fortune→fortunate→fortunately→「不幸にも」

(続きはメルマガかブログで！)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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高校化学「物質の構成」「化学結合」「沸点」

高校化学「物質の構成」「化学結合」「沸点」

Ｃｌ2，ＨＣｌ，ＮａＣｌ

これら３つの物質のうち、最も沸点が高いと考えられる物質を選び、その理由を考えます。

３つともＣｌが入っているので、似た物質だな〜
同じ元素が入っていれば沸点もだいたい同じだな〜
この中で分子量(式量)が一番大きいのはＣｌ2だから、沸点が一番高いのはＣｌ2だな〜

と思った人もいるかと思います。

結合の種類が同じならば、分子量等が大きい(重い)物質ほど沸点が高い傾向があるのは正しいですが、よく見てみれば、結合の種類が違う物質が一つだけありますね？

ＮａＣｌは塩化ナトリウムでイオン結合です。塩です。塩水ではありません。塩です。塩は加熱してもなかなか沸騰しませんよね？
残り２つは分子間力による結合で結びつきます。

分子間力よりもイオン結合の方が遙かに結合力が強いので、ＮａＣｌが沸点が高い。

ということができます。

どれか選ぶだけなら、「あ、塩素か〜。塩化水素か〜。塩？塩だけ固体だよね。塩が沸点高いでしょ」というかんじでＯＫです。


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高校英語「talkとdiscuss」

高校英語「talkとdiscuss」

We need to (talk / discuss) the matter as soon as possible.

talkかdiscussのどちらかを選ぶ問題です。

単に「正解はdiscussです」で終わりではなく、これらの語の使い方の違いはどういう点で、何に注目して考えるべきかを把握した上で、論理的に選べるようにしたいですね。

talkの場合は、「talk to 人」「talk about 物事」の形で使うことが多いです。

discussの場合は、「discuss 物事」の形になります。

つまり、

talkは「〜に」「〜を」を言うためには前置詞が必要で、

discussは「〜を」を言うために前置詞が必要ない。

だから、この問題では、talkではなくdiscussを選ぶべきだ。ということができます。


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高校数学「２次関数の最大最小」「最小値とそのときのｘ，ｙの値」

高校数学「２次関数の最大最小」「最小値とそのときのｘ，ｙの値」

「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ−１)の最大値・最小値を求めよ。」

この問題を解くことを考えます。

前回の記事で、最大値を求めました。

あとは最小値です。

上に凸の放物線のグラフの最小値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方ですね。

頂点はｘ＝１／４のところで、定義域は０≦ｘ≦１なので、最小値はｘ＝１のところです。

２ｘ＋ｙ＝２にｘ＝１を代入すると、ｙ＝０です。

これらの値をｘ(ｙ−１)に代入して、

１(０−１)＝−１

よってｘ＝１，ｙ＝０のとき、最小値−１


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