高校数学「２次関数の最大最小」「最小値とそのときのｘ，ｙの値」

高校数学「２次関数の最大最小」「最小値とそのときのｘ，ｙの値」

「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ−１)の最大値・最小値を求めよ。」

この問題を解くことを考えます。

前回の記事で、最大値を求めました。

あとは最小値です。

上に凸の放物線のグラフの最小値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方ですね。

頂点はｘ＝１／４のところで、定義域は０≦ｘ≦１なので、最小値はｘ＝１のところです。

２ｘ＋ｙ＝２にｘ＝１を代入すると、ｙ＝０です。

これらの値をｘ(ｙ−１)に代入して、

１(０−１)＝−１

よってｘ＝１，ｙ＝０のとき、最小値−１


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高校数学「２次関数の最大最小」「最大値とそのときのｘ，ｙの値」

高校数学「２次関数の最大最小」「最大値とそのときのｘ，ｙの値」

「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ−１)の最大値・最小値を求めよ。」

この問題を解くことを考えます。

前回の記事で、与式から２次式を作りました。

ｘ(ｙ−１)＝−２ｘ^2＋ｘ

となるのでしたね。

この記事では、この２次式の最大値・最小値を実際に求めてみます。

２次式の最大最小なので、まずは平方完成です。

　−２ｘ^2＋ｘ
＝−２(ｘ^2−ｘ／２)
＝−２{(ｘ−１／４)^2−１／１６}
＝−２(ｘ−１／４)^2＋１／８

よって、この２次式の頂点は、(１／４，１／８)
だから、「ｘ＝１／４のときｙ＝１／８」・・・ではありません。

ｘ＝１／４は正しいですが、この１／８は、この問題のｙの値ではなく、ｘ(ｙ−１)の式の値です。

−２ｘ^2＋ｘは、ｘの２乗の係数がマイナスなので、上に凸の放物線になります。
だから、頂点が定義域に入っていれば、頂点が最大値になります。

ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２という条件から、ｘの定義域が決まります。
ｘ，ｙともにゼロ以上で、２ｘ＋ｙ＝２ということは、ｘが増えればｙは減る。という関係にあり、ｘもｙもある一定の範囲の値のみをとることができます。
ｙ≧０を満たす範囲で、ｘが最も大きくなるときは、ｘ＝１ですね。ｘ＝１，ｙ＝０ならば、２ｘ＋ｙ＝２が成り立ちます。
つまり、定義域は０≦ｘ≦１です。

この範囲内にｘ＝１／４は入っているので、やはり頂点が最大値です。
ｘ＝１／４のとき、最大値１／８

さらに、このときのｙの値も求めましょう！
２ｘ＋ｙ＝２で、ｘ＝１／４なので代入して、２×１／４＋ｙ＝２より、ｙ＝３／２です。
まとめると、

ｘ＝１／４，ｙ＝３／２のとき、最大値１／８

というわけですね！


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学１Ａ第２問[2]完成

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学１Ａ第２問[2]を解説します。


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■　問題

2019年センター試験数１Ａより

第２問
[2] 全国各地の気象台が観測した「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花日」や、
「モンシロチョウの初見日(初めて観測した日)」、「ツバメの初見日」などの日付
を気象庁が発表している。気象庁発表の日付は普通の月日形式であるが、この問題
では該当する年の１月１日を「１」とし、１２月３１日を「３６５」(うるう年の
場合は「３６６」)とする「年間通し日」に変更している。例えば、２月３日は、
１月３１日の「３１」に２月３日の３を加えた「３４」となる。

(1) 図１は全国４８地点で観測しているソメイヨシノの2012年から2017年までの
６年間の開花日を、年ごとに箱ひげ図にして並べたものである。

　図２はソメイヨシノの開花日の年ごとのヒストグラムである。ただし、順番は
年の順に並んでいるとは限らない。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の
数値を含み、右側の数値を含まない。

　次の[ソ]、[タ]に当てはまるものを、図２の{0}〜{5}のうちから一つずつ選べ。

　・2013年のヒストグラムは[ソ]である。
　・2017年のヒストグラムは[タ]である。

(図はここでは省略します)

(2) 図３と図４は、モンシロチョウとツバメの両方を観測している４１地点に
おける、2017年の初見日の箱ひげ図と散布図である。散布図の点には重なった点が
２点ある。なお、散布図には原点を通り傾き１の直線(実線)、切片が−１５および
１５で傾きが１の２本の直線(破線)を付加している。

　次の[チ]，[ツ]に当てはまるものを、下の{0}〜{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。

　図３，図４から読み取れることとして[正しくないもの]は、[チ]，[ツ]である。

{0} モンシロチョウの初見日の最小値はツバメの初見日の最小値と同じである。
{1} モンシロチョウの初見日の最大値はツバメの初見日の最大値より大きい。
{2} モンシロチョウの初見日の中央値はツバメの初見日の中央値より大きい。
{3} モンシロチョウの初見日の四分位範囲はツバメの初見日の四分位範囲の３倍
より小さい。
{4} モンシロチョウの初見日の四分位範囲は１５日以下である。
{5} ツバメの初見日の四分位範囲は１５日以下である。
{6} モンシロチョウとツバメの初見日が同じ所が少なくとも４地点ある。
{7} 同一地点でのモンシロチョウの初見日とツバメの初見日の差は１５日以下
である。

(図はここでは省略します)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＿
(3) 一般にｎ個の数値ｘ1，ｘ2，…，ｘnからなるデータＸの平均値をｘ，分散を
ｓ^2，標準偏差をｓとする。各ｘiに対して、
　　　　　　＿
ｘ'i＝(ｘi−ｘ)／ｓ　(ｉ＝１，２，…，ｎ)

と変換したｘ'1，ｘ'2，…，ｘ'nをデータＸ'とする。ただし、ｎ≧２，ｓ＞０と
する。

　次の[テ]，[ト]，[ナ]に当てはまるものを、下の{0}〜{8}のうちから一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
　　　　　　　　 ＿　　　 ＿　　　　　 ＿
　・Ｘの偏差ｘ1−ｘ，ｘ2−ｘ，…，ｘn−ｘの平均値は[テ]である。
　・Ｘ'の平均値は[ト]である。
　・Ｘ'の標準偏差は[ナ]である。

{0} ０　　{1} １　　{2} −１　　{3} ｘの平均　　{4} ｓ
{5} １／ｓ　　{6} ｓ^2　　{7} １／ｓ^2　　{8} ｘの平均／ｓ

　図４で示されたモンシロチョウの初見日のデータＭとツバメの初見日のデータＴ
について上の変換を行ったデータをそれぞれＭ'，Ｔ'とるする。

　次の[ニ]に当てはまるものを、図５の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。

　変換後のモンシロチョウの初見日のデータＭ'と変換後のツバメの初見日のデータ
Ｔ'の散布図は、Ｍ'とＴ'の標準偏差の値を考慮すると[ニ]である。

(図はここでは省略します)


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　2019年も第２問は「三角比」「データの分析」
　◆２　前置きの内容もよく読み取って
　◆３　箱ひげ図の「箱」は四分位数、「ひげ」は最大最小

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　前置きの内容もよく読み取って

データの分析の単元は、実際の統計資料等に基づいた問題にすると、仕方がない
のですが、やはり問題が長いです。読解力や長文を読む精神的なタフさも必要かも
知れません。

まず今回の問題の概要ですが、ソメイヨシノの開花日、ツバメ、モンシロチョウの
初見日についての問題となっています。これらのデータにどんな特徴があるのかを
データから読み取り、答えたり計算したりします。

このデータに関する日付の読み方も、説明があるので、しっかり読み取らないと
いけません。

日付は「年間通し日」で表してあります。
「例えば、２月３日は、１月３１日の「３１」に２月３日の３を加えた「３４」となる。」
と書かれていますが、理解できましたか？

中学受験ではよく問われる内容ですが、中学受験未経験者はなじみがない事柄
だったかも知れません。要するに、「その年の何日目か」を表した数を、この資料
では日付として使います。ということです。

ここまでは「前置き」ですが、ここまでの内容を理解していないと、問題の理解に
も支障があります。「時間がないから読んでられない」という人もいますが、よく
理解せずに問題に取りかかると、結局余計に悩んで余計に時間がかかります。
しっかり丁寧に読んで理解した方が速いと心得て、一つ一つクリアにしていくよう
心がけてください。


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　◆３　箱ひげ図の「箱」は四分位数、「ひげ」は最大最小

では、(1)の問題です。

(1) 図１は全国４８地点で観測しているソメイヨシノの2012年から2017年までの
６年間の開花日を、年ごとに箱ひげ図にして並べたものである。

　図２はソメイヨシノの開花日の年ごとのヒストグラムである。ただし、順番は
年の順に並んでいるとは限らない。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の
数値を含み、右側の数値を含まない。


ということで、まずはソメイヨシノの開花日のヒストグラムと箱ひげ図の相関を
見る問題です。

ヒストグラムは中学でも習っている通りに、一定の間隔で区切られたデータの数を
棒グラフの形で表したものです。

箱ひげ図は、「箱」の部分が第１四分位数〜第３四分位数で、「ひげ」の部分が…


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高校物理「力学」「力のモーメント」

高校物理「力学」「力のモーメント」「基本的な考え方」

力のモーメントは、物体を回転させようとするはたらきのことで、「力×支点から作用点までの距離」で求めることができます。
力に支点までの距離を掛けるので、支点にかかる力のモーメントはゼロになります。

普通は左回りがプラス、右回りがマイナスと考えて、物体が静止しているときは、「モーメントの和＝０」または「モーメントが釣り合っている」と考えます。
さらに、物体が静止しているならば、「力も釣り合っている」ことから、連立方程式を作って解く場合も多いです。

力のモーメントを考える場合の支点は剛体上の任意の点にすることができるので、力がかかっている点のどれかを支点とすると、その力を無視して式を立てることができて立式や計算が楽になります。

詳しくは、個別の問題で記事を書いていこうと思います。


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高校数学「２次関数の最大最小」「ｘの２次式の作り方」

高校数学「２次関数の最大最小」「ｘの２次式の作り方」

「ｘ≧０，ｙ≧０，２ｘ＋ｙ＝２のとき、ｘ(ｙ−１)の最大値・最小値を求めよ。」

この問題を解くことを考えます。

普通の２次関数の形になっていないので、何をしたら良いかわかりにくいと思いますが・・・

まずは２ｘ＋ｙ＝２という式に着目します。

これはｘとｙの関係を表している。と考えられるので、この式をｙについて解いてみましょう！

ｙ＝−２ｘ＋２ですね。

これをｘ(ｙ−１)に代入すると・・・

　ｘ(−２ｘ＋２−１)
＝ｘ(−２ｘ＋１)
＝−２ｘ^2＋ｘ

普通の２次式が出てきました。
この２次式の最大最小を考えれば良いというわけです。

つまり、平方完成ですね！

続きはこちら。


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