高校数学「極限」「三角関数の極限」

高校数学「極限」「三角関数の極限」

三角関数の極限では、ｓｉｎｘ／ｘの形をつくり、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を利用します。

これを利用するので、普通はｘ→０ですが、問題によっては、ｘ→∞で式が与えられている場合があります。

その場合は、そのままｘ→∞でやるのではなく、θ→０となるようにθを使って置き換えて解くのが普通です。

θ＝１／ｘとおけば、ｘ→∞のときθ→０となりますね。

１／ｘは、ｘが限りなく大きくなれば、その値は限りなくゼロに近づくというわけです。

θ→０ならば、ｓｉｎθ／θの極限値は１になるので、この形を目指して式の変形をする。と考えます。


具体的な問題例はまた別の記事に掲載します。


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高校数学「数列」「等比数列の和」

高校数学「数列」「等比数列の和」

等比数列の和の公式は、

Ｓn＝ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)

ですね。

「ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)」がどうしてイコールになるのか考えてみましょう。

左辺のａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)に注目してみます。

これはもちろん分数です。
分数ならば、分子と分母に同じ数を掛けたり割ったりすることができます。

例えば、分子と分母両方に−１を掛けてみると・・・

ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝−ａ(ｒ^n−１)／{−(ｒ−１)}

このようになります。

それぞれについたマイナスを括弧の中に入れれば・・・

−ａ(ｒ^n−１)／{−(ｒ−１)}＝ａ(−ｒ^n＋１)／(−ｒ＋１)
　　　　　　　　　　　　　＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)

ということで、

Ｓn＝ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)

であることがわかりました。わかりましたか？


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高校数学「数列」「等差数列」「等比数列」

高校数学「数列」「等差数列」「等比数列」

初項ａ・・・数列の最初の項
末項ｌ・・・数列の最後の項→結局ｎ項目になることが多い
公差ｄ・・・等差数列の２項間の差→次の項にいく度に公差の値を足す
公比ｒ・・・等比数列の２項間の比→次の項にいく度に公比の値を掛ける
一般項ａn・・・数列を一般的に数式で表したもの→ｎ項目の式
和Ｓn・・・初項から末項(ａn)までの合計
等差数列・・・次の項にいく度に一定の数を足す数列
等比数列・・・次の項にいく度に一定の数を掛ける数列

まずは数列の基本的な用語をズラッと書いてみました。
大学受験生としては全部基本的な用語です。あやしいものがあった人は、まずはこの説明を覚えてください。
定義や意味をしっかり理解することが、思考力の基礎になるのです！

そして、等差数列と等比数列の式は以下のようになります。

等差数列
一般項ａn＝ａ＋(ｎ−１)ｄ＝ｌ(末項)
和Ｓn＝ｎ(ａ＋ｌ)／２＝ｎ{２ａ＋(ｎ−１)ｄ}／２

等比数列
一般項ａn＝ａｒ^(n-1)
和Ｓn＝{ａ(ｒ^n−１)}／(ｒ−１)＝{ａ(１−ｒ^n)}／(１−ｒ)


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高校数学「確率」「余事象」「コイン１枚を４回」

高校数学「確率」「余事象」

「コイン１枚を４回連続で投げて、表が少なくとも１回出る確率を求めよ。」

「少なくとも１回」ということは、

１回の場合、２回の場合、３回の場合、４回の場合

があります。
これら全てを合計すれば、もちろん、この確率を求めることができます。

しかし、「余事象」の考えを使うともっと簡単に計算することができます。

「余事象」とは、「当てはまらない場合の事象」なので、この場合は「少なくとも１回ではない」場合です。
つまり、「１回も表が出ない」場合が、余事象です。

「１回も表が出ない確率」は、「全て裏」なので、(１／２)^4＝１／１６です。

これを全体の確率１から引いて、

１−１／１６＝１５／１６

これが求める確率です。


関連問題
サイコロ２個の場合


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