2019年05月04日

高校数学「極限」「分数の積」

高校数学「極限」「分数の積」

lim[n→∞](1−1/2^2)(1−1/3^2)(1−1/4^2)・・・{1−1/(n−1)^2}(1−1/n^2)の極限値を求めることを考えます。

それぞれの括弧の中身が(a^2−b^2)の形になっていることに注目すると、

=lim[n→∞](1+1/2)(1−1/2)(1+1/3)(1−1/3)(1+1/4)(1−1/4)・・・{1+1/(n−1)}{1−1/(n−1)}(1+1/n)(1−1/n)

このように因数分解することができますね。

これの括弧の中身をそれぞれ計算してみると、

=lim[n→∞](3/2)(1/2)(4/3)(2/3)(5/4)(3/4)・・・{n/(n−1)}{(n−2)/(n−1)}{(n+1)/n}{(n−1)/n}
=lim[n→∞](3・1/2・2)(4・2/3・3)(5・3/4・4)・・・{n(n−2)/(n−1)(n−1)}{(n+1)(n−1)/n・n}

このように式を書いてみると、約分できる部分がたくさんあることに気づくと思います。
例えば(3・1/2・2)(4・2/3・3)の部分は、2と2,3と3が約分できますね。さらに、次の(5・3/4・4)と4と4,3と3で約分できるので、最初の(3・1/2・2)(4・2/3・3)の部分は、1/2だけ残ります。
同様に次々と約分していくと、最初の1/2と最後の(n+1)/nが残り、

=lim[n→∞](1/2){(n+1)/n}

よって、求める極限値は1/2となります。


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ラベル:数学
posted by えま at 23:01| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

小学算数「概数」「がい数」「四捨五入」

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「十の位を四捨五入して1600になる整数の範囲を答えなさい」

十の位を四捨五入して1600になるので、1600より少し小さい数から少し大きい数になる。というイメージを持っておくと、勘違いをしてしまった場合に修正しやすいと思います。

答えは

1550以上1649以下

ですね。

このタイプの問題は、試行錯誤して考えることも大切です!


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posted by えま at 11:19| Comment(0) | 小学算数 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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