本日配信のメルマガ。2019年センター数学２Ｂ第４問[ヌ]まで

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■　問題

2019年大学入試センター試験数学２Ｂより

第４問

　四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣＤを考える。四角形ＡＢＣＤは、
辺ＡＤと辺ＢＣが平行で、ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤを満たすとする。
　　　　 →　 →　 →　 →　 →　 →
さらに、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとして
　　 →　　　　→　　　　　→
　　|ａ|＝１，|ｂ|＝√３，|ｃ|＝√５
　　→　→　　　→　→　　　→　→
　　ａ・ｂ＝１，ｂ・ｃ＝３，ａ・ｃ＝０

であるとする。

(1) ∠ＡＯＣ＝[アイ]°により、三角形ＯＡＣの面積は√[ウ]／[エ]である。
　　 →　　→　　　　　　 →　　　　　　　→
(2) ＢＡ・ＢＣ＝[オカ]，|ＢＡ|＝√[キ]，|ＢＣ|＝√[ク]であるから、
∠ＡＢＣ＝[ケコサ]°である。さらに、辺ＡＤと辺ＢＣが平行であるから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　　　　　→
∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝[シス]°である。よって、ＡＤ＝[セ]・ＢＣであり
　　 →　 →　　　　→　　　　→
　　ＯＤ＝ａ−[ソ]・ｂ＋[タ]・ｃ

と表される。また、四角形ＡＢＣＤの面積は([チ]√[ツ])／[テ]である。

(3) 三角形ＯＡＣを底面とする三角錐ＢＯＡＣの体積Ｖを求めよう。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　 →　 →　 →
　３点Ｏ，Ａ，Ｃの定める平面α上に、点ＨをＢＨ⊥ａとＢＨ⊥ｃが成り立つ
　　　　　　　→
ようにとる。|ＢＨ|は三角錐ＢＯＡＣの高さである。Ｈはα上の点であるから、
　　　　　　　　　 →　　　 →　　　→
実数ｓ，ｔを用いてＯＨ＝ｓ・ａ＋ｔ・ｃの形に表される。
　 →　 →　　　　 →　 →
　ＢＨ・ａ＝[ト]，ＢＨ・ｃ＝[ト]により、ｓ＝[ナ]，ｔ＝[ニ]／[ヌ]である。
　　　　　→
よって、|ＢＨ|＝√[ネ]／[ノ]が得られる。したがって、(1)により、
Ｖ＝[ハ]／[ヒ]であることがわかる。

(4) (3)のＶを用いると、四角錐ＯＡＢＣＤの体積は[フ]Ｖと表せる。さらに、
四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣの高さは√[ヘ]／[ホ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　ベクトルの成分と大きさ
　◆２　ベクトルの足し算とかけ算
　◆３　まずは設定を確認
　◆４　内積がゼロ→９０°

(以下略)

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■　解説

◆１，２は省略します。


　◆３　まずは設定を確認


では今回の問題です。
まずは問題の内容を確認しましょう！


　四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣＤを考える。四角形ＡＢＣＤは、
辺ＡＤと辺ＢＣが平行で、ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤを満たすとする。
　　　　 →　 →　 →　 →　 →　 →
さらに、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとして
　　 →　　　　→　　　　　→
　　|ａ|＝１，|ｂ|＝√３，|ｃ|＝√５
　　→　→　　　→　→　　　→　→
　　ａ・ｂ＝１，ｂ・ｃ＝３，ａ・ｃ＝０

であるとする。

四角錐ＯＡＢＣＤは、四角形ＡＢＣＤが底面で、Ｏが頂点ですね。
そして、ＡＤ平行ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤだそうです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　→　→
そして頂点Ｏから底面のＡ，Ｂ，Ｃへのベクトルをａ，ｂ，ｃとしているようです。

そしてこれらの３つのベクトルの内積が与えられている。という設定です。


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　◆４　内積がゼロ→９０°

では、最初の設問です。

∠ＡＯＣの大きさを聞いています。

唐突のように見えるかも知れませんが、ここまでの設定から論理の飛躍なく、
求めることができるからまず最初に聞いている。と考えると、気づきやすいと
思います。

ベクトルに関して、角度を使う事柄は何があるかといえば・・・
　　　　　　→　→
内積ですね！ａ，ｂのなす角をθとすると、

→　→　 →　→
ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓθ

ｃｏｓθをかけているので、θ＝９０°のとき、内積の値はゼロになります。
　　　　　　　　　→　→　　　　　　　　　→　→
今回の問題では、「ａ・ｃ＝０」とあるので、ａとｃのなす角は９０°で・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校物理基本問題「運動方程式」

高校物理基本問題「運動方程式」

質量１０ｋｇの物体がなめらかな水平面上に置かれている。重力加速度を９．８ｍ／ｓ^2として次の問いに答えよ。

(1) この物体にはたらく重力を求めよ。
(2) この物体を３０Ｎの力で水平方向に引っ張ったときの、物体の加速度を求めよ。
(3) この物体が水平方向に０．５０ｍ／ｓ^2の等加速度運動をするとき、物体にはたらく水平方向の力は何Ｎか求めよ。
(4) この物体が鉛直上方に０．５０ｍ／ｓ^2の等加速度運動をするとき、物体にはたらく鉛直上向きの力は何Ｎか求めよ。


(4)だけ少し注意が必要ですが、全て基本問題ですね。
サクッと解いていきましょう！


解答解説はこちら


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意外と解けない？高校生物問題「ミクロメーター」

意外と解けない？高校生物問題「ミクロメーター」

(1) 対物ミクロメーターには１ｍｍを１００等分した目盛りがつけられている。対物ミクロメーターの１目盛りの長さは何μｍか？
(2) 接眼ミクロメーターを接眼レンズにいれ、対物ミクロメーターを１００倍で観察したところ、対物ミクロメーター３目盛りと接眼ミクロメーター５目盛りが一致した。接眼ミクロメーター１目盛りの長さを求めよ。


計算問題が苦手で生物を選ぶ人が多いためか、生物選択の高校生は、こういったミクロメーターの問題がわからない。という人が多いです。
みなさんはどうですか？


解答解説はこちら


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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書き換え英作文問題「三単現」「形容詞」「ことわざ」

書き換え英作文問題「三単現」「形容詞」「ことわざ」

指示に従って書き換えてください。

I have a friend.

�@主語をheにして


�Afewを使って「私には友達が数人います」という意味に


�Bfewを使って「私には友達がほとんどいません」という意味に


�C「私には友達がたくさんいます」という意味に


�D「まさかのときの友は真の友」という意味に


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解答解説は後ほど掲載します。

書き換え英作文解答「関係代名詞」「不定詞」「疑問詞」

書き換え英作文解答「関係代名詞」「不定詞」「疑問詞」


ここは「A small thing you can do protects the environment.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!





A small thing you can do protects the environment.(あなたができる小さな事が環境を守ります)


(1)和訳してください。→「A small thing」が主語、「you can do」が主語の修飾語で目的格の関係代名詞が省略されている
あなたができる小さな事が環境を守ります。


(2)
�@２つの文に分けて→関係代名詞を使った文は、２つの文をつなげたものだから、もとの２つの文を作る。「you can do」が修飾語になっているので、省略されている関係代名詞が指している言葉を補って別の文にする。
A small thing protects the environment.(小さな事が環境を守ります)
You can do it.(あなたはそれができます)


�A「環境を守るために、あなたは小さな事ができます」という意味に→「ために」だから不定詞を使って表現する。主語は「あなた」、述語は「できます」
You can do a small thing to protect the environment.


�B「環境を守るために、私たちは何ができますか」という意味に→�Aの文の「a small thing」を問う疑問文に
What can we do to protect the environment?


�C「どうして私たちは環境を守る必要があるか教えてください」という意味に→さらに間接疑問文に。疑問詞以降は普通の文の語順であることにも注意！
Tell me why we need to protect the environment.



直接指導の授業、英語の通信添削利用者には、さらに詳しい解説や、他の解答例も示しています。
皆様もぜひ、えまじゅくのメール添削をご利用ください。

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書き換え英作文問題「関係代名詞」「不定詞」「疑問詞」

書き換え英作文問題「関係代名詞」「不定詞」「疑問詞」

指示に従って(1)和訳し、(2)書き換えてください。

A small thing you can do protects the environment.

(1)和訳してください。


(2)
�@２つの文に分けて


�A「環境を守るために、あなたは小さな事ができます」という意味に


�B「環境を守るために、私たちは何ができますか」という意味に


�C「どうして私たちは環境を守る必要があるか教えてください」という意味に


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解答解説はここ

解答(3)★高校数学基本問題 数学２Ｂ「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題　数学２Ｂ「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の２点Ａ(２，１)，Ｂ(−４，３)について次の問いに答えよ。

問題ページはこちら

(1) ２点Ａ，Ｂを通る直線の式を求めよ。
(2) ２点Ａ，Ｂを直径とする円の方程式を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


(3) ２点Ａ，Ｂを１：２に内分する点の座標を求めよ。

２点Ａ，Ｂをｍ：ｎに内分する点の座標は、

((ｎｘ1＋ｍｘ2)／(ｍ＋ｎ)，(ｎｙ1＋ｍｙ2)／(ｍ＋ｎ))

で表すことができます。

この式に、Ａ(２，１)，Ｂ(−４，３)，ｍ：ｎ＝１：２を代入すると、

　({２・２＋１・(−４)}／(１＋２)，(２・１＋１・３)／(１＋２))
＝((４−４)／３，(２＋３)／３)
＝(０，５／３)

これだけで完成ですね！

ちなみに、外分ならば、ｎのところがマイナスになります。


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解答(2)★高校数学基本問題 数学２Ｂ「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題　数学２Ｂ「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の２点Ａ(２，１)，Ｂ(−４，３)について次の問いに答えよ。

問題ページはこちら

(1) ２点Ａ，Ｂを通る直線の式を求めよ。

この記事では(2)を解説します。

(2) ２点Ａ，Ｂを直径とする円の方程式を求めよ。

中心(ｐ，ｑ)，半径ｒの円の方程式は

(ｘ−ｐ)^2＋(ｙ−ｑ)^2＝ｒ^2

です。

２点Ａ，Ｂを直径とするので、中心はＡ，Ｂの中点です。中点は２点の座標の平均でしたね。つまり、

(ｐ，ｑ)＝((２−４)／２，(１＋３)／２)
　　　＝(−１，２)

半径は、中心と円周上の点との距離に等しいので、２点間の距離の公式を使って求めることができます。

ｄ＝√{(ｘ2−ｘ1)^2＋(ｙ2−ｙ1)^2}に、ｄ＝ｒ，(２，１)，(−１，２)を代入して、

ｒ＝√{(−１−２)^2＋(２−１)^2}
　＝√(９＋１)
　＝√１０

これで中心(−１，２)，半径√１０がわかりました。

よって、求める円の方程式は、

(ｘ＋１)^2＋(ｙ−２)^2＝１０


つづく


(3) ２点Ａ，Ｂを１：２に内分する点の座標を求めよ。


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解答(1)★高校数学基本問題 数学２Ｂ「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題　数学２Ｂ「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の２点Ａ(２，１)，Ｂ(−４，３)について次の問いに答えよ。

問題ページはこちら

(1) ２点Ａ，Ｂを通る直線の式を求めよ。

２点を通る直線の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂでももちろん構いませんが、高校生向けの問題としては、

ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)

を使えるようにしておいた方が良いです。

さらに、ｍは傾きであり変化の割合なので、

ｍ＝(ｙ2−ｙ1)／(ｘ2−ｘ1)

ですね。
これらを組み合わせると、

ｙ−ｙ1＝{(ｙ2−ｙ1)／(ｘ2−ｘ1)}(ｘ−ｘ1)

という式が得られます。
これに今回の２点の座標、Ａ(２，１)，Ｂ(−４，３)を代入してみましょう！

ｙ−１＝{(３−１)／(−４−２)}(ｘ−２)

代入だけをすると、こうなります。
あとは計算して、なるべく簡単な形にすれば完成です！

ｙ−１＝−(２／６)(ｘ−２)
ｙ−１＝−(１／３)(ｘ−２)
　　ｙ＝−(１／３)ｘ＋２／３＋１
　　ｙ＝−(１／３)ｘ＋５／３


つづく

(2) ２点Ａ，Ｂを直径とする円の方程式を求めよ。
(3) ２点Ａ，Ｂを１：２に内分する点の座標を求めよ。


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書き換え英作文解答「進行形」「完了形」「受動態」「比較」

書き換え英作文解答「進行形」「完了形」「受動態」「比較」


ここは「She reads a book.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!





She reads a book.(彼女は本を読みます)


�@nowを加えて現在進行形に→be動詞＋〜ing
She is reading a book now.(彼女は今本を読んでいます)


�Aneverを加えて現在完了形に→have＋過去分詞、neverは「一度も〜ない」
She has never read a book.(彼女は一度も本を読んだことがありません)


�Ba bookを主語にして受動態に→a bookは「読まれる」から、be動詞＋過去分詞にする。もとの主語は「by＋名詞」
A book is read by her.


�C「彼女は私よりも本を読むのが速いです」という意味に→「速い」を比較級に、比較対象を言うためにはthanを使う
She reads a book faster than me.
など


�D「彼女は私よりも２倍速く本を読むことができます」という意味に→２倍は、比較の原級の前にtwice
She reads twice as fast as me.
など


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高校数学基本問題 数学２Ｂ「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題　数学２Ｂ「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の２点Ａ(２，１)，Ｂ(−４，３)について次の問いに答えよ。

(1) ２点Ａ，Ｂを通る直線の式を求めよ。
(2) ２点Ａ，Ｂを直径とする円の方程式を求めよ。
(3) ２点Ａ，Ｂを１：２に内分する点の座標を求めよ。


どれも基本事項です。
素早く正確に解けるようにしておきたいですね！


解答解説はこちら


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解答★高校数学意外と解けない？問題 数学２Ｂ「軌跡」

解答★高校数学意外と解けない？問題　数学２Ｂ「軌跡」

２点Ｏ(０，０)，Ａ(６，０)からの距離の比が２：１である点Ｐの軌跡を求めよ。
問題ページはこちら

このように未知の点Ｐについて考える場合は、Ｐの座標を文字で置きます。
そして、条件に従って「その通りの式」を作ると考えると良いと思います。

Ｐ(ｘ，ｙ)とおくと、２点間の距離の公式より、

ＯＰ＝√(ｘ^2＋ｙ^2)
ＡＰ＝√{(ｘ−６)^2＋ｙ^2}

ですね。
Ｏ，Ａからの距離の比が２：１だから、ＯＰ：ＡＰ＝２：１です。
その通りに式にを作れば、

√(ｘ^2＋ｙ^2)：√{(ｘ−６)＋ｙ^2}＝２：１

このような式ができます。
あとは計算して、できるだけわかりやすい式にすればＯＫですね！

　　　２√(ｘ^2＋ｙ^2)＝√{(ｘ−６)^2＋ｙ^2}
　　　　４(ｘ^2＋ｙ^2)＝(ｘ−６)^2＋ｙ^2
　　　　４ｘ^2＋４ｙ^2＝ｘ^2−１２ｘ＋３６＋ｙ^2
３ｘ^2＋１２ｘ＋３ｙ^2＝３６
　　　ｘ^2＋４ｘ＋ｙ^2＝１２
　(ｘ＋２)^2−４＋ｙ^2＝１２
　　　(ｘ＋２)^2＋ｙ^2＝１６

よって、求める軌跡は、中心(−２，０)，半径４の円


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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書き換え英作文問題「進行形」「完了形」「受動態」「比較」

書き換え英作文問題「進行形」「完了形」「受動態」「比較」

指示に従って書き換えてください。

She reads a book.

�@nowを加えて現在進行形に


�Aneverを加えて現在完了形に


�Ba bookを主語にして受動態に


�C「彼女は私よりも本を読むのが速いです」という意味に


�D「彼女は私よりも２倍速く本を読むことができます」という意味に


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解答解説はここ

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」「ケプラーの第３法則」

高校物理「力学」「惑星の運動」「運動方程式」「ケプラーの第３法則」

惑星が、太陽のまわりを等速円運動しているとする。太陽の質量をＭ，惑星の質量をｍ，惑星の公転の速さをｖ，軌道半径をｒ，万有引力定数をＧとする。

(1) 惑星の等速円運動の運動方程式を示せ。

(2) (1)の運動方程式を用いて、ケプラーの第３法則Ｔ^2／ｒ^3＝ｋを導け。ただし、Ｔは公転周期、ｋは定数とする。

(1)で、「ＧＭ＝ｖ^2・ｒ」を求めました。

この式を利用して、ケプラーの第３法則を導きます。

惑星の速さをｖとすると、等速円運動の公式から、Ｔ＝２πｒ／ｖという関係式が得られます。
これをｖについて解いて、「ＧＭ＝ｖ^2・ｒ」に代入すれば、まずはｖを消去することができます。
やってみましょう！

Ｔ＝２πｒ／ｖより、ｖ＝２πｒ／Ｔ

ＧＭ＝(２πｒ／Ｔ)^2・ｒ
ＧＭ＝(４π^2・ｒ^2／Ｔ^2)・ｒ
ＧＭ＝(４π^2・ｒ^3／Ｔ^2)

両辺に、Ｔ^2／ｒ^3を掛けると、

ＧＭ(Ｔ^2／ｒ^3)＝４π^2
　　Ｔ^2／ｒ^3＝４π^2／ＧＭ

４π^2／ＧＭ＝ｋとすると、

Ｔ^2／ｒ^3＝ｋ

ということで、ケプラーの第３法則Ｔ^2／ｒ^3＝ｋを導くことができました。


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高校数学意外と解けない？問題 数学２Ｂ「軌跡」

高校数学意外と解けない？問題　数学２Ｂ「軌跡」

２点Ｏ(０，０)，Ａ(６，０)からの距離の比が２：１である点Ｐの軌跡を求めよ。


軌跡も質問が多い単元です。
ちゃんと条件通りに式を作れば必ずできるはずですが、どうでしょうか？


解答解説はこちら


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学１Ａ第４問 完成

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学１Ａ第４問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2019年センター試験数１Ａより

第４問

(1) 不定方程式

　　４９ｘ−２３ｙ＝１

の解となる自然数ｘ，ｙの中で、ｘの値が最小のものは

　　ｘ＝[ア]，ｙ＝[イウ]

であり、すべての整数解は、ｋを整数として

　　ｘ＝[エオ]ｋ＋[ア]，ｙ＝[カキ]＋[イウ]

と表せる。

(2) ４９の倍数である自然数Ａと２３の倍数である自然数Ｂの組(Ａ，Ｂ)を考える。
ＡとＢの差の絶対値が１となる組(Ａ，Ｂ)の中で、Ａが最小になるのは

　　(Ａ，Ｂ)＝(４９×[ク]，２３×[ケコ])

である。また、ＡとＢの差の絶対値が２となる組(Ａ，Ｂ)の中で、Ａが最小になる
のは

　　(Ａ，Ｂ)＝(４９×[サ]，２３×[シス])

である。

(3) 連続する三つの自然数ａ，ａ＋１，ａ＋２を考える。

　　ａとａ＋１の最大公約数は１
　　ａ＋１とａ＋２の最大公約数は１
　　ａとａ＋２の最大公約数は１または[セ]

である。
　また、次の条件がすべての自然数ａで成り立つような自然数ｍのうち、最大の
ものはｍ＝[ソ]である。

　　条件：ａ(ａ＋１)(ａ＋２)はｍの倍数である。

(4) ６７６２を素因数分解すると

　　６７６２＝２×[タ]×７^[チ]×[ツテ]

である。
　ｂをｂ(ｂ＋１)(ｂ＋２)が６７６２の倍数となる最小の自然数とする。
このとき、ｂ，ｂ＋１，ｂ＋２のいずれかは７^[チ]の倍数であり、また、
ｂ，ｂ＋１，ｂ＋２のいずれかは[ツテ]の倍数である。したがって、
ｂ＝[トナニ]である。


※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　全部解いてから選択が理想だが・・・
　◆２　特殊解はひたすら代入でもＯＫ！
　◆３　ｙが自然数になる場合を探して

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　特殊解はひたすら代入でもＯＫ！

では今回の問題です。

今回はまず最初に不定方程式の解を尋ねる問題が出題されました。

「４９ｘ−２３ｙ＝１の解となる自然数ｘ，ｙの中で、ｘの値が最小のもの」

を聞いていますね。

このような特定の解のことを「特殊解」と呼びます。
特殊解の求め方の一つは、「とにかくいろいろ代入してみる」です！(笑)

もちろん、ただ単に闇雲に代入してもなかなか解決しません。
まずここでは、闇雲にやるよりは少しだけ効率的に探す方法でやってみたいと
思います。

それは

「ｘ，ｙの係数で大きいのはｘの４９なので、ｘに１から順に数字を入れて
そのときのｙの値を求めてみる」

という方法です。
「そんな原始的な・・・」と思う人も多いと思いますが、特殊解を一つ出すだけ
なら、むしろコレが一番簡単な場合も多いです。


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　◆３　ｙが自然数になる場合を探して

では実際にやってみましょう！

ｘ＝１のとき
４９−２３ｙ＝１
　　−２３ｙ＝−４８
　　　　　ｙ＝４８／２３

問題の設定により、ｘ，ｙは自然数なので、ｙの解が自然数でない場合は不適です。
つまり、ｘ＝１のときはこの不定方程式を満たす解は得られない。ということが
できます。以下同様にやってみると・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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書き換え英作文解答「受け身」「能動態」「現在分詞」「過去分詞」「前置詞」

書き換え英作文解答「受け身」「能動態」「現在分詞」「過去分詞」「前置詞」


ここは「He was surprised.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!





He was surprised.(彼は驚きました)


�@「彼はそのニュースに驚きました」という意味に→「そのニュースに」を付け足す。「〜に驚く」は「be surprised at 〜」
He was surprised at the news.


�A　�@を同じ内容で能動態に→the newsを主語にする。「彼」はsurpriseの目的語に
The news surprised him.


�B「彼はその驚くべきニュースを聞きました」という意味に→「驚くべき」はsurpriseの現在分詞形
He heard the surprising news.


�C「彼はそのニュースを聞いて驚きました」という意味に→内容は�@とほぼ同じ。「聞いて」を付け足す
He was surprised to hear the news.


�D「彼が話したニュースは驚くべきものでしたか？」という意味に→主語＋述語の主要部分は「ニュースは驚くべきものでしたか？」で、「どんなニュースか」が「彼が話した」で主語を後置修飾する
Was the news that he told us surprising?
など


直接指導の授業、英語の通信添削利用者には、さらに詳しい解説や、他の解答例も示しています。
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解答★高校数学意外と解けない？問題 数学１Ａ「データの分析」「分散」「公式」

解答★高校数学意外と解けない？問題　数学１Ａ「データの分析」「分散」「公式」


１０秒でわかる！数学１Ａ「命題と集合」「データの分析」の考え方P.25より


　次の表は、４０人の生徒のテストの結果である。
┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┐
│ 得点│０│１│２│３│４│５│６│７│８│９│10│ 計│
├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┤
│ 人数│０│０│１│３│４│８│９│８│４│３│０│ 40│
└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┘
　このデータの分散を求めよ。


前回の記事では、正直に「偏差の２乗の平均」を計算することにより、分散を求めました。

この記事では、公式を使った別解を解説します。


分散はデータの値をｘとすると、次の式で求めることもできます。

(分散)＝(ｘの２乗の平均)−(ｘの平均の２乗)

では、今回の問題にこの公式を当てはめてみましょう！
　(２^2×１＋３^2×３＋４^2×４＋５^2×８＋６^2×９＋７^2×８＋８^2×４＋９^2×３)÷４０
＝(４×１＋９×３＋１６×４＋２５×８＋３６×９＋４９×８＋６４×４＋８１×３)÷４０
＝(４＋２７＋６４＋２００＋３２４＋３９２＋２５６＋２４３)÷４０
＝１５１０÷４０
＝３７．７５

平均は前回の記事で求めたように５．９です。
よって、(ｘの平均の２乗)は、

５．９^2＝３４．８１

(分散)＝(ｘの２乗の平均)−(ｘの平均の２乗) なので、

(分散)＝３７．７５−３４．８１＝２．９４


当然ですが、前回の記事で求めた値と一致しました。
こちらの方法の方が計算が簡単になることが多いので、できるだけ覚えておいた方が良いと思います。


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高校数学「極座標」「直交座標」

高校数学「極座標」「直交座標」

直交座標で(−２，２√３)で表される点の極座標(ｒ，θ)を求めよ。ただし、０≦θ＜２πとする。

「直交座標」とは、いわゆる普通の「座標」です。(ｘ，ｙ)で表されます。
「極座標」は、(ｒ，θ)で表されます。ｒは特定の点Ｏ(極)からの距離、θは始線からの回転角(偏角)です。

このタイプの問いの場合は、Ｏは基本的に共通して「原点」ととらえてＯＫです。

直交座標での(−２，２√３)の原点からの距離がｒです。
これは普通に２点間の距離で求めることができますね。

ｒ＝√{(−２)^2＋(２√３)^2}
　＝√(４＋１２)
　＝√１６
　＝４

そして、ｃｏｓθ＝ｘ／ｒ，ｓｉｎθ＝ｙ／ｒだから、
ｃｏｓθ＝−２／４＝−１／２
ｓｉｎθ＝２√３／４＝√３／２
このような場合のθは、(２／３)πですね。

よって、求める極座標は(４，(２／３)π)となります。


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本日配信のメルマガ。2019年センター英語第４問Ｂ

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験英語第４問Ｂを解説します。


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■　問題

第４問

Ｂ　次のページの、ある地域の城に関する案内を読み、次の問い(問１〜４)の
[ 37 ]〜[ 40 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから
一つずつ選べ。

問１　What is a common characteristic of all four castles? [ 37 ]
{1} Amount of damage
{2} Displays of pictures and weapons
{3} Histories of more than 500 years
{4} Purposes of construction

問２　Three guitar club members from Grandleforlk University want to give
a concert one afternoon in April. Which castle are they most likely to
choose? [ 38 ]
{1} Crestvale Castle
{2} Holmsted Castle
{3} King's Castle
{4} Rosebush Castle

問３　Teachers at one school want to take their students to Grandlefolk
one Saturday in May. The purpose is to expand the students' knowledge of
the area's history by visiting castles and listening to explanations from
the castle staff. Which two castles are the teachers most likely to select?
[ 39 ]
{1} Crestvale Castle and Holmsted Castle
{2} Crestvale Castle and King's Castle
{3} Rosebush Castle and Holmsted Castle
{4} Rosebush Castle and King's Castle

問４　A mother, father, and their two children ages 4 and 8, will visit
one of the castles in Grandlefolk for one day in September and want to see
fine arts. How much will it cost? [ 40 ]
{1} 14 euros　　{2} 17 euros　　{3} 20 euros　　{4} 25 euros


[Castles in Grandlefolk]

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, built to defend the northern border of
Grandlefolk, is currently being studied by researchers. During the open
season, except on Sundays, guides explain what the research is revealing
about local history.

[Holmsted Castle]
Holmsted Castle, built in the 12th century to protect the southern border
area, fell into ruin in the 16th century. At the entrance, signboards
explain its history. This castle's open spaces are suitable for
performances.

[King's Castle]
Dating back to the 11th century, King's Castle is one of the grandest in
the country. Its large collection of paintings and furniture provide a look
at the area's past. Guides are available every day.

[Rosebush Castle]
Though called a castle, this perfectly preserved 15th-century building was
constructed purely as a family home. From Mondays to Fridays, guides tell
the story of the family's history and explain their collection of modern
sculptures. Some of its rooms are available for public events.


―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　　Opening Times　　　　|　　Daily Admission　　|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|　　　　　　　　|　　Months　　 |　 Hours　 |Adults|　　Children　　|
|　　　　　　　　|　　　　　　　 |　　　　　 |　　　|(5-16 years old)|
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Crestvale Castle| April-October |10:00-16:00| 3 EUR|　　　1 EUR　　 |
|Holmsted Castle |April-September|10:00-17:00| 5 EUR|　　　2 EUR　　 |
| King's Castle　|April-November |10:00-18:00| 7 EUR|　　　3 EUR　　 |
|Rosebush Castle |　April-July　 | 9:00-12:00|10 EUR|　　　5 EUR　　 |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
*Children under 5 years old are admitted free of charge.


※マーク部分の□や下線部は[ ]で、マル１は{1}で表記しています。

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■　解答・解説

2019年第４問Ｂは、「ある地域の城」の案内に関する問題でした。
実在の城をモチーフに、「それっぽい説明」が作られたものだと思います。
実在の城を使ってしまうと、そのことを知っているかどうかで大きく有利不利が
変わってしまうので、架空の建物等を設定して問題にしているのかも知れません。


まずは問いの意味を確認してみましょう！

問１　What is / a common characteristic / of all four castles? [ 37 ]
何ですか？ / 共通の性格は / ４つすべての城に

{1} Amount of damage　損傷の量
{2} Displays of pictures and weapons　絵や武器の展示
{3} Histories of more than 500 years　500年以上の歴史
{4} Purposes of construction　建設の目的

４つの城に共通の事項がなんなのかを聞いていますね。
それを意識しながら、資料の英文の記述を確認してみましょう！

[Crestvale Castle]
This ruined 13th-century castle, / built / to defend / the northern border
/ of Grandlefolk, / is currently / being studied / by researchers.
この朽ちた13世紀の城は / 建てられた / 守るために / 北側の国境を


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
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■　全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

[Grandlefolkの城]

[Crestvale Castle]
この荒廃した13世紀の城は、Grandlefolkの北側の国境を守るために建てられ、
現在調査員によって調査されています。開いているシーズンの間は、日曜を除いて

(続きは省略します)

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■　今回の高校レベルの単語・熟語など

≪広告本文≫
ruin：名詞では「廃墟、遺跡」だが、動詞にもなる。「崩壊させる、破滅させる」
currently：今操作中なのがカレントディレクトリ「現在、目下」
except：例外を表すときに使う。「〜を除いて、〜以外は」

(以下略)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

【高校英語】過去問攻略！センター英語
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に掲載します！
文法セクションはもちろん、第６問の長文まで、翻訳も行っている著者が、
全文訳・語句までイメージ重視＆論理的に解説します。
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