本日配信のメルマガ。2019年センター数学２Ｂ第４問[ヌ]まで

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■　問題

2019年大学入試センター試験数学２Ｂより

第４問

　四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣＤを考える。四角形ＡＢＣＤは、
辺ＡＤと辺ＢＣが平行で、ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤを満たすとする。
　　　　 →　 →　 →　 →　 →　 →
さらに、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとして
　　 →　　　　→　　　　　→
　　|ａ|＝１，|ｂ|＝√３，|ｃ|＝√５
　　→　→　　　→　→　　　→　→
　　ａ・ｂ＝１，ｂ・ｃ＝３，ａ・ｃ＝０

であるとする。

(1) ∠ＡＯＣ＝[アイ]°により、三角形ＯＡＣの面積は√[ウ]／[エ]である。
　　 →　　→　　　　　　 →　　　　　　　→
(2) ＢＡ・ＢＣ＝[オカ]，|ＢＡ|＝√[キ]，|ＢＣ|＝√[ク]であるから、
∠ＡＢＣ＝[ケコサ]°である。さらに、辺ＡＤと辺ＢＣが平行であるから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　　　　　→
∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝[シス]°である。よって、ＡＤ＝[セ]・ＢＣであり
　　 →　 →　　　　→　　　　→
　　ＯＤ＝ａ−[ソ]・ｂ＋[タ]・ｃ

と表される。また、四角形ＡＢＣＤの面積は([チ]√[ツ])／[テ]である。

(3) 三角形ＯＡＣを底面とする三角錐ＢＯＡＣの体積Ｖを求めよう。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　 →　 →　 →
　３点Ｏ，Ａ，Ｃの定める平面α上に、点ＨをＢＨ⊥ａとＢＨ⊥ｃが成り立つ
　　　　　　　→
ようにとる。|ＢＨ|は三角錐ＢＯＡＣの高さである。Ｈはα上の点であるから、
　　　　　　　　　 →　　　 →　　　→
実数ｓ，ｔを用いてＯＨ＝ｓ・ａ＋ｔ・ｃの形に表される。
　 →　 →　　　　 →　 →
　ＢＨ・ａ＝[ト]，ＢＨ・ｃ＝[ト]により、ｓ＝[ナ]，ｔ＝[ニ]／[ヌ]である。
　　　　　→
よって、|ＢＨ|＝√[ネ]／[ノ]が得られる。したがって、(1)により、
Ｖ＝[ハ]／[ヒ]であることがわかる。

(4) (3)のＶを用いると、四角錐ＯＡＢＣＤの体積は[フ]Ｖと表せる。さらに、
四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣの高さは√[ヘ]／[ホ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　ベクトルの成分と大きさ
　◆２　ベクトルの足し算とかけ算
　◆３　まずは設定を確認
　◆４　内積がゼロ→９０°

(以下略)

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■　解説

◆１，２は省略します。


　◆３　まずは設定を確認


では今回の問題です。
まずは問題の内容を確認しましょう！


　四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣＤを考える。四角形ＡＢＣＤは、
辺ＡＤと辺ＢＣが平行で、ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤを満たすとする。
　　　　 →　 →　 →　 →　 →　 →
さらに、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとして
　　 →　　　　→　　　　　→
　　|ａ|＝１，|ｂ|＝√３，|ｃ|＝√５
　　→　→　　　→　→　　　→　→
　　ａ・ｂ＝１，ｂ・ｃ＝３，ａ・ｃ＝０

であるとする。

四角錐ＯＡＢＣＤは、四角形ＡＢＣＤが底面で、Ｏが頂点ですね。
そして、ＡＤ平行ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤだそうです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　→　→
そして頂点Ｏから底面のＡ，Ｂ，Ｃへのベクトルをａ，ｂ，ｃとしているようです。

そしてこれらの３つのベクトルの内積が与えられている。という設定です。


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　◆４　内積がゼロ→９０°

では、最初の設問です。

∠ＡＯＣの大きさを聞いています。

唐突のように見えるかも知れませんが、ここまでの設定から論理の飛躍なく、
求めることができるからまず最初に聞いている。と考えると、気づきやすいと
思います。

ベクトルに関して、角度を使う事柄は何があるかといえば・・・
　　　　　　→　→
内積ですね！ａ，ｂのなす角をθとすると、

→　→　 →　→
ａ・ｂ＝|ａ||ｂ|ｃｏｓθ

ｃｏｓθをかけているので、θ＝９０°のとき、内積の値はゼロになります。
　　　　　　　　　→　→　　　　　　　　　→　→
今回の問題では、「ａ・ｃ＝０」とあるので、ａとｃのなす角は９０°で・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校物理基本問題「運動方程式」

高校物理基本問題「運動方程式」

質量１０ｋｇの物体がなめらかな水平面上に置かれている。重力加速度を９．８ｍ／ｓ^2として次の問いに答えよ。

(1) この物体にはたらく重力を求めよ。
(2) この物体を３０Ｎの力で水平方向に引っ張ったときの、物体の加速度を求めよ。
(3) この物体が水平方向に０．５０ｍ／ｓ^2の等加速度運動をするとき、物体にはたらく水平方向の力は何Ｎか求めよ。
(4) この物体が鉛直上方に０．５０ｍ／ｓ^2の等加速度運動をするとき、物体にはたらく鉛直上向きの力は何Ｎか求めよ。


(4)だけ少し注意が必要ですが、全て基本問題ですね。
サクッと解いていきましょう！


解答解説はこちら


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　　　　　　　　　無断転載等はご遠慮ください。(c)江間淳

意外と解けない？高校生物問題「ミクロメーター」

意外と解けない？高校生物問題「ミクロメーター」

(1) 対物ミクロメーターには１ｍｍを１００等分した目盛りがつけられている。対物ミクロメーターの１目盛りの長さは何μｍか？
(2) 接眼ミクロメーターを接眼レンズにいれ、対物ミクロメーターを１００倍で観察したところ、対物ミクロメーター３目盛りと接眼ミクロメーター５目盛りが一致した。接眼ミクロメーター１目盛りの長さを求めよ。


計算問題が苦手で生物を選ぶ人が多いためか、生物選択の高校生は、こういったミクロメーターの問題がわからない。という人が多いです。
みなさんはどうですか？


解答解説はこちら


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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書き換え英作文問題「三単現」「形容詞」「ことわざ」

書き換え英作文問題「三単現」「形容詞」「ことわざ」

指示に従って書き換えてください。

I have a friend.

�@主語をheにして


�Afewを使って「私には友達が数人います」という意味に


�Bfewを使って「私には友達がほとんどいません」という意味に


�C「私には友達がたくさんいます」という意味に


�D「まさかのときの友は真の友」という意味に


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解答解説は後ほど掲載します。

書き換え英作文解答「関係代名詞」「不定詞」「疑問詞」

書き換え英作文解答「関係代名詞」「不定詞」「疑問詞」


ここは「A small thing you can do protects the environment.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!





A small thing you can do protects the environment.(あなたができる小さな事が環境を守ります)


(1)和訳してください。→「A small thing」が主語、「you can do」が主語の修飾語で目的格の関係代名詞が省略されている
あなたができる小さな事が環境を守ります。


(2)
�@２つの文に分けて→関係代名詞を使った文は、２つの文をつなげたものだから、もとの２つの文を作る。「you can do」が修飾語になっているので、省略されている関係代名詞が指している言葉を補って別の文にする。
A small thing protects the environment.(小さな事が環境を守ります)
You can do it.(あなたはそれができます)


�A「環境を守るために、あなたは小さな事ができます」という意味に→「ために」だから不定詞を使って表現する。主語は「あなた」、述語は「できます」
You can do a small thing to protect the environment.


�B「環境を守るために、私たちは何ができますか」という意味に→�Aの文の「a small thing」を問う疑問文に
What can we do to protect the environment?


�C「どうして私たちは環境を守る必要があるか教えてください」という意味に→さらに間接疑問文に。疑問詞以降は普通の文の語順であることにも注意！
Tell me why we need to protect the environment.



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