高校数学「円の方程式」「平方完成」

高校数学「円の方程式」「平方完成」

方程式ｘ^2＋ｙ^2−６ｘ−４ｙ−１２＝０はどのような図形を表すか。

ｘも２乗、ｙも２乗の場合は、円を表します。
円の場合は、中心と半径を求めて、「中心(ａ，ｂ)，半径ｒの円」のように答えます。

式は、(ｘ−ａ)^2＋(ｙ−ｂ)^2＝ｒ^2の形になります。
この形のとき、中心(ａ，ｂ)，半径ｒですね。

今回の問題では、中心と半径はそのままではわからないので、この「わかる形」にします。
かっこの２乗なので、いわゆる「平方完成」をすればＯＫですね！

　　　　　　　　(ｘ^2−６ｘ)＋(ｙ^2−４ｙ)−１２＝０
(ｘ^2−６ｘ＋９)−９＋(ｙ^2−４ｙ＋４)−４−１２＝０
　　　　　　　　　　　　　(ｘ−３)^2＋(ｙ−２)^2＝２５
　　　　　　　　　　　　　(ｘ−３)^2＋(ｙ−２)^2＝５^2

よって、中心(３，２)，半径５の円


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解答★高校数学意外と解けない？問題 数学２Ｂ「ベクトル」|→ａ|＝√３，|→ｂ|＝２，θ＝３０°

解答★高校数学意外と解けない？問題　数学２Ｂ「ベクトル」

|→ａ|＝√３，|→ｂ|＝２で、→ａと→ｂのなす角が３０°であるとき、次の問いに答えよ。

(1) →ａ・→ｂを求めよ。

ベクトルの内積は次の公式で計算することができます。

→a・→b＝|→a||→b|・ｃｏｓθ

これに、|→ａ|＝√３，|→ｂ|＝２、θ＝３０°を代入して

→a・→b
＝√３×２・ｃｏｓ３０°
＝２√３×√３／２
＝３

ちなみに、ベクトルの内積はスカラーになることを覚えておくと良いと思います。


(2) |３(→ａ)−(→ｂ)|を求めよ。

合成されたベクトルの値を求めるためには、まずは２乗するとうまくいくことが多いです。
ベクトルは２乗するとスカラーになり、内積もスカラーになるからです。
計算は基本的に普通の文字式と同じやり方でできます。すなわち、普通に２乗の展開などをやることができますね！
やってみましょう！

|３(→ａ)−(→ｂ)|^2
＝９|→ａ|^2ー６(→ａ・→ｂ)＋|→ｂ|^2
＝９・(√３)^2−６・３＋２^2
＝２７ー１８＋４
＝１３

２乗した値が１３なので、求める値は√１３


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学第５問[イ]

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学１Ａ第５問を解説します。


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■　問題

2019年センター試験数１Ａより

第５問

　△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，ＣＡ＝５とする。
このとき、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝２√６／５である。

　△ＡＢＣの内接円の半径は√[ア]／[イ]である。

　この内接円と辺ＡＢとの接点をＤ，辺ＡＣとの接点をＥとする。

　　ＡＤ＝[ウ]，ＤＥ＝[エ]√[オカ]／[キ]

である。

　線分ＢＥと線分ＣＤの交点をＰ，直線ＡＰと辺ＢＣの交点をＱとする。

　　ＢＱ／ＣＱ＝[ク]／[ケ]

であるから、ＢＱ＝[コ]であり、△ＡＢＣの中心をＩ
とすると

　　ＩＱ＝√[サ]／[シ]

である。また、直線ＣＰと△ＡＢＣの内接円との交点でＤとは異なる点をＦと
すると

　　ｃｏｓ∠ＤＦＥ＝√[スセ]／[ソ]

である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　全部解いてから選択が理想だが・・・
　◆２　普段の勉強では出てる値も出してみるのがオススメ！
　◆３　三角形の辺は内接円の接線

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　普段の勉強では出てる値も出してみるのがオススメ！

では今回の問題です。

「ＡＢ＝４，ＢＣ＝７，ＣＡ＝５」の△ＡＢＣについて考えます。

「このとき、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５，ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝２√６／５である」

とあります。
三角比の問題なら普通はこういった値を出すところから始めますが、５番は
平面図形の性質の問題ということで、三角比の値は与えられています。
実際のセンターでは、「じゃ、そのまま使おう！」で構いませんが、普段の勉強
では、本当にこれらの値になるのか求めるところからやることをお勧めします。

三角形の３辺がわかっているとき、コサインの値は、余弦定理で出すことが
できますね。

★ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃ・ｃｏｓＡ

ａ＝ＢＣ＝７，ｂ＝ＣＡ＝５，ｃ＝ＡＢ＝４，∠Ａ＝∠ＢＡＣですね。
これらの値を代入してみると、

　　　　　　　７^2＝５^2＋４^2−２×５×４×ｃｏｓ∠ＢＡＣ
　　　　　　　４９＝２５＋１６−４０ｃｏｓ∠ＢＡＣ
４０ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝４１−４９
４０ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−８
　　ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５

ということで、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５がわかりました。

コサインがわかれば、サインは三角比の相互関係で求める事ができますね。

★(ｓｉｎθ)^2＋(ｃｏｓθ)^2＝１

θ＝∠ＢＡＣとして、ｃｏｓ∠ＢＡＣ＝−１／５を代入すると、

(ｓｉｎθ)^2＋(−１／５)^2＝１
　　(ｓｉｎθ)^2＋１／２５＝１
　　　　　　　(ｓｉｎθ)^2＝１−１／２５
　　　　　　　(ｓｉｎθ)^2＝２４／２５
　　　　　　　　　ｓｉｎθ＝２√６／５

ということで、ｓｉｎθ＝２√６／５も確認できました。

このようにちゃんと出してみると、より良い理解につながります。
ぜひ皆さんも日頃から取り組んでみてください！


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　◆３　三角形の辺は内接円の接線

では、今回の問題の最初の設問「△ＡＢＣの内接円の半径」を求めていきましょう！

内接円とは三角形の内側に描いた円で、円周と三角形の３辺が接する円です。
円周と辺が接するので、当然、三角形の３辺は内接円の接線です。
そして接線ならば当然「接線の性質」が成り立つ。ということができます。

★円の中心から接点に引いた半径は、接線と垂直に交わる

という性質があるので、△ＡＢＣの頂点と内接円の中心Ｏを結んで、ＯＡ，ＯＢ，
ＯＣによって△ＡＢＣを３つの三角形に分けると、３つとも半径が「高さ」になり
ます。つまり・・・


つづく


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書き換え英作文解答「不定詞」「動名詞」「助動詞」「接続詞」

書き換え英作文解答「不定詞」「動名詞」「助動詞」「接続詞」


ここは「To use a computer is not difficult.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!





To use a computer is not difficult.(コンピューターを使うことは難しくありません)


�@主語をitにして同じ内容に→It is 〜 to doの構文にする
It is not difficult to use a computer.(コンピューターを使うことは難しくありません)


�A動名詞を使って同じ内容に→不定詞の名詞的用法と動名詞はだいたい同じ内容
Using a computer is not difficult.(コンピューターを使うことは難しくありません)


�B「コンピューターを使うことは簡単です」という意味に→もとの分のnot difficultをeasyにする
To use a computer is easy.
またはIt is easy to use a computer.
など


�C「あなたは簡単にコンピューターを使うことができます」という意味に→「あなた」が主語で、「使うことができます」が述語。「簡単に」は副詞なので「easily」
You can use a computer easily.
など

�D「コンピューターを使えば、あなたは情報を簡単に手に入れることができます」という意味に→「もしあなたがコンピューターを使ったなら」から始める。「情報を手に入れる」は「get information」など
If you use a computer, you can get information easily.
など


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