本日配信のメルマガでは、2018年大学入試センター試験数学２Ｂ第２問[1]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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■ 問題
第２問
[ 1 ] ｐ＞０とする。座標平面上の放物線ｙ＝ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒをＣとし、
直線ｙ＝２ｘ－１をｌとする。Ｃは点Ａ(１，１)においてｌと接しているとする。
(1) ｑとｒを、ｐを用いて表そう。放物線Ｃ上の点Ａにおける接線ｌの傾きは
[ア]であることから、ｑ＝[イウ]ｐ＋[エ]がわかる。さらに、Ｃは点Ａを通る
ことから、ｒ＝ｐ－[オ]となる。
(2) ｖ＞１とする。放物線Ｃと直線ｌおよび直線ｘ＝ｖで囲まれた図形の面積Ｓは
Ｓ＝(ｐ／[カ])(ｖ^3－[キ]ｖ^2＋[ク]ｖ－[ケ])である。
また、ｘ軸とｌおよび２直線ｘ＝１，ｘ＝ｖで囲まれた図形の面積Ｔは、
Ｔ＝ｖ^[コ]－ｖである。
Ｕ＝Ｓ－Ｔはｖ＝２で極値をとるとする。このとき、ｐ＝[サ]であり、ｖ＞１の
範囲でＵ＝０となるｖの値をｖ0とすると、ｖ0＝([シ]＋√[ス])／[セ]である。
１＜ｖ＜ｖ0の範囲でＵは[ソ]。
[ソ]に当てはまるものを、次の{0}～{4}のうちから一つ選べ。
{0} つねに増加する {1} つねに減少する {2} 正の値のみをとる
{3} 負の値のみをとる {4} 正と負のどちらの値もとる
ｐ＝[サ]のとき、ｖ＞１におけるＵの最小値は[タチ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
◆３ 積分は微分の逆
◆４ 数学でも文章の言い換えをしてみる
◆５ ｙ＝ａｘ＋ｂのａが傾き
(以下略)
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■ 解説
◆１～３は省略します。
◆４ 数学でも文章の言い換えをしてみる
前置きはこの辺にして、今回の問題です。
[1] ｐ＞０とする。座標平面上の放物線ｙ＝ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒをＣとし、
直線ｙ＝２ｘ－１をｌとする。Ｃは点Ａ(１，１)においてｌと接しているとする。
このようにあります。
ｐ＞０の放物線ｙ＝ｐｘ^2＋ｑｘ＋ｒがあり、これをＣとしているようです。
そして直線ｙ＝２ｘ－１があり、これをｌとしています。
ｌはＡ(１，１)におけるＣの接線らしいです。
まずは問題文に書いてあることを確認してみました。
ただ単に書いてあることをなぞるだけでなく、今ここでやってみたように、
自分なりに言い換えたりすると、内容がよくわかると思います。
皆さんもぜひ試してみてくださいね！
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◆５ ｙ＝ａｘ＋ｂのａが傾き
内容がよくわかったところで、(1)にいってみましょう！
(1) ｑとｒを、ｐを用いて表そう。放物線Ｃ上の点Ａにおける接線ｌの傾きは
[ア]であることから、ｑ＝[イウ]ｐ＋[エ]がわかる。さらに、Ｃは点Ａを通る
ことから、ｒ＝ｐ－[オ]となる。
このように書いてあります。
「放物線Ｃ上の点Ａにおける接線ｌの傾き」と言っています。
接線ｌはｙ＝２ｘ－１です。
中学の数学でやったように、直線はｙ＝ａｘ＋ｂの形で表すことができて・・・
(以下略)
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