高校化学「無機物質」「ナトリウム」「化学反応式」

高校化学「無機物質」「ナトリウム」「化学反応式」

ナトリウムの化合物について、化学反応式を書いてください。

�@水酸化ナトリウム(苛性ソーダ)が二酸化炭素と反応して炭酸ナトリウムを生じた。

�A炭酸ナトリウム(炭酸ソーダ)に塩酸を加えた。

�B炭酸水素ナトリウム(重曹)を熱分解した。


解答解説はこのページ下


センター過去問




�@水酸化ナトリウム(苛性ソーダ)が二酸化炭素と反応して炭酸ナトリウムを生じた。
２ＮａＯＨ＋ＣＯ2→Ｎａ2ＣＯ3＋Ｈ2Ｏ


�A炭酸ナトリウム(炭酸ソーダ)に塩酸を加えた。
Ｎａ2ＣＯ3＋２ＨＣｌ→２ＮａＣｌ＋Ｈ2Ｏ＋ＣＯ2


�B炭酸水素ナトリウム(重曹)を熱分解した。
２ＮａＨＣＯ3→Ｎａ2ＣＯ3＋Ｈ2Ｏ＋ＣＯ2


�Bはアンモニアソーダ法(ソルベー法)の反応のうちの一つであることを覚えておくと良いです。


関連項目
アルカリ金属
水酸化ナトリウム
アンモニアソーダ法


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高校化学「無機物質」「炭酸水素ナトリウム」

高校化学「無機物質」「炭酸水素ナトリウム」

炭酸水素ナトリウム(sodium hydrogen carbonate)について、空欄を埋めてください。

炭酸水素ナトリウムＮａＨＣＯ3は、(�@)と呼ばれる白色粉末で、水に少し溶けて、その水溶液は(�A)を示す。
熱分解や酸との反応で(�B)を生じる。
胃腸薬や(�C)として使用されている。


解答解説はこのページ下


センター過去問




�@重曹，�A弱塩基性，�BＣＯ2，�Cベーキングパウダー


炭酸水素ナトリウムＮａＨＣＯ3は、重曹と呼ばれる白色粉末で、水に少し溶けて、その水溶液は弱塩基性を示す。
熱分解や酸との反応でＣＯ2を生じる。
胃腸薬やベーキングパウダーとして使用されている。


関連項目
アルカリ金属
水酸化ナトリウム


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高校化学「無機物質」「炭酸ナトリウム」

高校化学「無機物質」「炭酸ナトリウム」

炭酸ナトリウムについて、空欄を埋めてください。

炭酸ナトリウムＮａ2ＣＯ3は、炭酸ソーダとも呼ばれる(�@)粉末で、水溶液は塩基性。酸と反応して(�A)を生じる。(�B)の製造にも使われる。
十水和物Ｎａ2ＣＯ3・１０Ｈ2Ｏは、(�C)して一水和物Ｎａ2ＣＯ3・Ｈ2Ｏに変化する。
炭酸ナトリウムの工業的製法は(�D)と呼ばれる。


解答解説はこのページ下


センター過去問




�@白色，�AＣＯ2，�Bガラス，�C風解，�Dアンモニアソーダ法


炭酸ナトリウムＮａ2ＣＯ3は、炭酸ソーダとも呼ばれる白色粉末で、水溶液は塩基性。酸と反応してＣＯ2を生じる。ガラスの製造にも使われる。
十水和物Ｎａ2ＣＯ3・１０Ｈ2Ｏは、風解して一水和物Ｎａ2ＣＯ3・Ｈ2Ｏに変化する。
炭酸ナトリウムの工業的製法はアンモニアソーダ法
と呼ばれる。


関連項目
アルカリ金属
水酸化ナトリウム
アンモニアソーダ法


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高校数学「２次関数」「式を求める」�B

高校数学「２次関数」「式を求める」�B

３点(−１，５)，(−２，−３)，(１，９)を通る２次関数の式を求めよ。

この問題の続きです。

３点がわかっているときは、ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点や軸が与えられず、３点の座標がわかっているときは、ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに３点の座標をそれぞれ代入し、
できた式を連立方程式にして解きます。

前回の記事で、３点の座標を代入して、

　５＝ａ−ｂ＋ｃ・・・�@
−３＝４ａ−２ｂ＋ｃ・・・�A
　９＝ａ＋ｂ＋ｃ・・・�B

という３つの式を作りました。
これらを連立して解いてみましょう！

まずは、�@と�Bが共通する項があるので、取り出して差し引いてみると・・・

�@・・・　　ａ−ｂ＋ｃ＝５
�B・・・−）ａ＋ｂ＋ｃ＝９
　　　―――――――――――
　　　　　　　−２ｂ　＝−４
　　　　　　　　　　ｂ＝２

ｂ＝２がわかったので、�@と�Aに入れてみます。

�@より、ａ−２＋ｃ＝５すなわちａ＋ｃ＝７・・・�C
�Aより、４ａ−４＋ｃ＝−３すなわち４ａ＋ｃ＝１・・・�D

これで残りはａとｃの２つだけなので、中学レベルの連立方程式ですね。

�C・・・　　　ａ＋ｃ＝７
�D・・・−）４ａ＋ｃ＝１
　　　――――――――――
　　　　　−３ａ　　＝６
　　　　　　　　　ａ＝−２

ａ＝−２を�Cに代入して、−２＋ｃ＝７よって、ｃ＝９

ａ，ｂ，ｃが全て出たので、ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに代入して、

ｙ＝−２ｘ^2＋２ｘ＋９


次の記事→頂点がわかっているとき


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高校数学「２次関数」「式を求める」�A

高校数学「２次関数」「式を求める」�A

３点(−１，５)，(−２，−３)，(１，９)を通る２次関数の式を求めよ。


３点がわかっているときは、ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点や軸が与えられず、３点の座標がわかっているときは、ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに３点の座標をそれぞれ代入し、
できた式を連立方程式にして解きます。

今回の問題では、(−１，５)，(−２，−３)，(１，９)なので、それぞれ代入してみます。

(−１，５)を代入すると、５＝ａ−ｂ＋ｃ
(−２，−３)を代入すると、−３＝４ａ−２ｂ＋ｃ
(１，９)を代入すると、９＝ａ＋ｂ＋ｃ

これで３つの式ができたので、あとは連立して解くだけです。


つづく→連立して解いた答え


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本日配信のメルマガ。2018年センター数学２Ｂ第４問

本日配信のメルマガでは、2018年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問を解説します。


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リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2018年大学入試センター試験数学２Ｂより

第４問

　ａを０＜ａ＜１を満たす定数とする。三角形ＡＢＣを考え、辺ＡＢを１：３に
内分する点をＤ，辺ＢＣをａ：(１−ａ)に内分する点をＥ，直線ＡＥと直線ＣＤの
交点をＦとする。→ＦＡ＝→ｐ，→ＦＢ＝→ｑ，→ＦＣ＝→ｒとおく。
　　 →
(1) ＡＢ＝[ア]であり
　　　　→　　　 →　　　　 →　→　 →
　　　|ＡＢ|^2＝|ｐ|^2−[イ]ｐ・ｑ＋|ｑ|^2　……{1}

である。ただし、[ア]については、当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから
一つ選べ。
　　→　→　　　　→　→　　　　→　→　　　　　→　→
{0} ｐ＋ｑ　　{1} ｐ−ｑ　　{2} ｑ−ｐ　　{3} −ｐ−ｑ

　　 →　 →　→
(2) ＦＤをｐとｑを用いて表すと
　　　 →　　　　　　　 →　　　　　　　→
　　　ＦＤ＝([ウ]／[エ])ｐ＋([オ]／[カ])ｑ　……{2}

である。

　　　　　　　　　　 →　　 →　 →　 　→
(3) ｓ，ｔをそれぞれＦＤ＝ｓｒ，ＦＥ＝ｔｐとなる実数とする。ｓとｔをａを
用いて表そう。
　 →　　 →
　ＦＤ＝ｓｒであるから、{2}により
　　　→　　　　→　　　　→
　　　ｑ＝[キク]ｐ＋[ケ]ｓｒ　……{3}
　　　　　　　 →　　 →
である。また、ＦＥ＝ｔｐであるから
　　　→　　　　　　　　　　→　　　　　　　　　　　→
　　　ｑ＝{ｔ／([コ]−[サ])}ｐ−{[シ]／([コ]−[サ])}ｒ　……{4}

である。{3}と{4}により

　ｓ＝[スセ]／[ソ]([コ]−[サ])，ｔ＝[タチ]([コ]−[サ])

である。

　　　→　　　→　　　　　 →　　　　　　 →　→
(4) |ＡＢ|＝|ＢＥ|とする。|ｐ|＝１のとき、ｐとｑの内積をａを用いて表そう。

　{1}により
　　　　→　　　　　　　→　→　 →
　　　|ＡＢ|^2＝１−[イ]ｐ・ｑ＋|ｑ|^2

である。また
　　　　→
　　　|ＢＥ|^2＝[ツ]([コ]−[サ])^2　→　→　 →
　　　　　　　　　＋[テ]([コ]−[サ])ｐ・ｑ＋|ｑ|^2

である。したがって
　　　→　→
　　　ｐ・ｑ＝([トナ]−[ニ])／[ヌ]

である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　ベクトルの成分と大きさ
　◆２　ベクトルの足し算とかけ算
　◆３　Ｆが中心のようなイメージ
　◆４　→ＡＢはＡからＢまでいく

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆３　Ｆが中心のようなイメージ

では、今回の問題です。
ぜひ図を描いて照らし合わせながら読んでいってみてください。

　ａを０＜ａ＜１を満たす定数とする。三角形ＡＢＣを考え、辺ＡＢを１：３に
内分する点をＤ，辺ＢＣをａ：(１−ａ)に内分する点をＥ，直線ＡＥと直線ＣＤの
交点をＦとする。→ＦＡ＝→ｐ，→ＦＢ＝→ｑ，→ＦＣ＝→ｒとおく。

まずはこのような設定です。

三角形ＡＢＣがあり、ＡＢ上にＤが、ＢＣ上にＥがあります。
ＡＥとＣＤを引いて、その交点がＦです。

参考図→http://www.a-ema.com/img/center2018math2b4a.png

このＦが中心のようなイメージで、→ＦＡ＝→ｐ，→ＦＢ＝→ｑ，→ＦＣ＝→ｒ
とおいています。

どんな図なのか把握できましたか？


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　◆４　→ＡＢはＡからＢまでいく

最初の設問です。

　　 →
(1) ＡＢ＝[ア]であり

ここだけ見て、「アレ？ＡＢの長さなんて書いてないしわからない！無理！」
となってしまった人はいませんか？

次に少し複雑そうに見える式が書いてありますが、続きをしっかり読んでいき
ましょう！

　　　　→　　　 →　　　　 →　→　 →
　　　|ＡＢ|^2＝|ｐ|^2−[イ]ｐ・ｑ＋|ｑ|^2　……{1}

である。ただし、[ア]については、当てはまるものを、次の{0}〜{3}のうちから
一つ選べ。
　　→　→　　　　→　→　　　　→　→　　　　　→　→
{0} ｐ＋ｑ　　{1} ｐ−ｑ　　{2} ｑ−ｐ　　{3} −ｐ−ｑ

[ア]は、この４つの選択肢から一つを選ぶ。という問題になっていたのです。
→ＡＢは→ｐと→ｑで表すことができて、足すか引くか・・・


(以下略)


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高校数学「２次関数」「式を求める」�@

高校数学「２次関数」「式を求める」�@

頂点が点(１，２)で、点(４，−７)を通る２次関数の式を求めよ。


頂点がわかっているときは、ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)^2＋ｑに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点が(ｐ，ｑ)の２次関数は、ｙ＝ａ(ｘ−ｐ)^2＋ｑで表されます。

頂点の座標はｐ，ｑに、その他の通る点の座標はｘ，ｙに代入します。

今回の問題では、「頂点が点(１，２)で、点(４，−７)を通る」ので、ｐ＝１，ｑ＝２，ｘ＝４，ｙ＝−７を代入します。

　−７＝ａ(４−１)^2＋２
　−７＝ａ×３^2＋２
　−７＝９ａ＋２
−９ａ＝２＋７
−９ａ＝９
　　ａ＝−１

よって、求める２次関数の式は、

ｙ＝−(ｘ−１)^2＋２


次の問題→３点(−１，５)，(−２，−３)，(１，９)を通る２次関数の式


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高校数学「２次関数」「最大値」�A

高校数学「２次関数」「最大値」�A

２次関数ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１(０≦ｘ≦１)の最大値を求めよ。また、そのときのｘの値を求めよ。


前回の記事では、頂点が定義域の真ん中にある場合の最大値を求めました。
この記事では、頂点が真ん中ではないときを求め、解答を完成させます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



前回の記事で、まずは頂点が定義域の真ん中のときの最大値を求めました。

あとは、真ん中より左の場合と右の場合を求めれば完成です！


与式を平方完成して

ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１
　＝ｘ^2−２ａｘ＋ａ^2−ａ^2＋１
　＝(ｘ−ａ)^2−ａ^2＋１

よって、頂点は(ａ，−ａ^2＋１)でしたね。

下に凸の２次関数の最大値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方になります。

真ん中はａ＝１／２のときなので、それより左はａ＜１／２です。
ａ＜１／２のとき、定義域の右端ｘ＝１が最大値になります。
与式にｘ＝１を代入すると、ｙ＝１−２ａ＋１＝−２ａ＋２

真ん中より右の場合は、ａ＞１／２ですね。
このときは、定義域の左端ｘ＝０が最大値になります。
つまり、ｙ＝１が最大値です。

前回の記事の頂点が真ん中にある場合とあわせてまとめると、

ａ＜１／２のとき、ｘ＝１で最大値−２ａ＋２
ａ＝１／２のとき、ｘ＝０，１で最大値１
ａ＞１／２のとき、ｘ＝０で最大値１


関連項目
最小値の場合
平方完成のやり方
2009年センター数１Ａの２次関数


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