高校数学「２次不等式」「連立」�A

高校数学「２次不等式」「連立」�A

■問題
連立２次不等式ｘ^2＋ｘ−２＜０，３ｘ^2−１０ｘ＋３≦０を解け。


■考え方
連立だからといって特別なことはありません。まずはそれぞれ解きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

連立２次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。
まずはそれぞれ解いてみましょう！

一つめの式を計算すると、

　ｘ^2＋ｘ−２＜０
(ｘ＋２)(ｘ−１)＜０
よって、−２＜ｘ＜１・・・�@


次に２つめの式を計算すると、

３ｘ^2−１０ｘ＋３≦０

　３　　　−１　＝　−１
　　　×
　１　　　−３　＝　−９
――――――――――――
　３　　　３　　　−１０

(３ｘ−１)(ｘ−３)≦０
よって、１／３≦ｘ≦３・・・�A

あとは�@と�Aの共通範囲を求めると・・・

１／３≦ｘ＜１

ですね！

ここでは書きませんでしたが、共通範囲を探すときは、数直線を使ってみるとわかりやすいですよ！


次の問題→連立２次不等式�B


関連項目
2016年センター数学１Ａ第１問[3]


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「２次不等式」「連立」�@

高校数学「２次不等式」「連立」�@

■問題
連立２次不等式ｘ^2−９ｘ＋１８＞０，ｘ^2−８ｘ＋７＜０を解け。


■考え方
連立だからといって特別なことはありません。まずはそれぞれ解きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

連立２次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。
まずはそれぞれ解いてみましょう！

ｘ^2−９ｘ＋１８＞０
　(ｘ−３)(ｘ−６)＞０
よって、ｘ＜３，ｘ＞６・・・�@

ｘ^2−８ｘ＋７＜０
(ｘ−１)(ｘ−７)＜０
よって、１＜ｘ＜７・・・�A

あとは�@と�Aの共通範囲を求めると・・・

１＜ｘ＜３，６＜ｘ＜７

ですね！

ここでは書きませんでしたが、共通範囲を探すときは、数直線を使ってみるとわかりやすいですよ！


次の問題→連立２次不等式�A


関連項目
2016年センター数学１Ａ第１問[3]


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「２次不等式」「全ての実数」�A

高校数学「２次不等式」「全ての実数」「判別式」�A

■問題
２次不等式ｘ^2−(ｋ＋３)ｘ＋４ｋ≧０の解が全ての実数であるような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
(２次式)≧０の解が全ての実数というのはつまり、２次関数とｘ軸の共有点が０個または１個です。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

今回の問題の２次式は、ｘ２乗の係数がプラスだから下に凸の２次関数になるので、
(２次式)≧０の解が全ての実数となるためには、２次関数とｘ軸が共有点を持たないか接する必要があります。
つまり、Ｄ≦０です。

ｘ^2−(ｋ＋３)ｘ＋４ｋ≧０なので、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝１，ｂ＝−(ｋ＋３)，ｃ＝４ｋを代入して、

Ｄ＝{−(ｋ＋３)}^2−４×１×４ｋ
　＝(ｋ＋３)^2−１６ｋ
　＝ｋ^2＋６ｋ＋９−１６ｋ
　＝ｋ^2−１０ｋ＋９≦０
　　　(ｋ−１)(ｋ−９)≦０

この２次不等式の解は横軸の下側なので、求めるｋの値の範囲は、

１≦ｋ≦９


連立２次不等式�@


関連項目
判別式
ｘの値にかかわらず常に成り立つ２次不等式


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「２次不等式」「全ての実数」�@

高校数学「２次不等式」「全ての実数」「判別式」�@

■問題
２次不等式２ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋１＞０の解が全ての実数であるような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
不等式の解が全ての実数であるならば、２次関数のグラフと横軸との共有点がないので・・・


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

今回の問題の２次式は、ｘ２乗の係数がプラスだから下に凸の２次関数になるので、
「不等式の解が全ての実数」というのは、「２次関数とｘ軸の共有点がない」と同じ意味を表します。

２次関数とｘ軸の位置関係は判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃで調べることができます。

共有点を持たないときは、Ｄ＜０です。

２ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋１＞０なので、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝２，ｂ＝−ｋ，ｃ＝ｋ＋１を代入して、

Ｄ＝(−ｋ)^2−４×２×(ｋ＋１)
　＝ｋ^2−８ｋ−８＜０

解の公式に代入して、

ｋ＝[−(−８)±√{(−８)^2−４×１×(−８)}]／２×１
　＝{８±√(６４＋３２)}／２
　＝(８±√９６)／２
　＝(８±４√６)／２
　＝４±２√６

Ｄ＜０なので、これら２つの解の間が求める範囲だから、

４−２√６＜ｋ＜４＋２√６


次の問題→解が全ての実数の２次不等式�A


関連項目
判別式
ｘの値にかかわらず常に成り立つ２次不等式


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「２次方程式」「実数解」「判別式」

高校数学「２次方程式」「実数解」「判別式」

■問題
２次方程式ｘ^2＋(ｋ＋１)ｘ＋ｋ＋２＝０が、実数解を持たないような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
実数解を持たないならば、判別式Ｄ＜０ですね！


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

２次方程式の解の個数は判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃで調べることができます。

実数解を持たないときは、Ｄ＜０です。

Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝１，ｂ＝ｋ＋１，ｃ＝ｋ＋２を代入して、

Ｄ＝(ｋ＋１)^2−４×１×(ｋ＋２)
　＝ｋ^2＋２ｋ＋１−４ｋ−８
　＝ｋ^2−２ｋ−７

この式の値がマイナスのとき解を持たないので、普通に２次不等式を解きます。
まずはイコールゼロで解くと、

ｋ＝[−(−２)±√{(−２)^2−４×１×(−７)}]／２×１
　＝{２±√(４＋２８)}／２
　＝(２±√３２)／２
　＝(２±４√２)／２
　＝１±２√２

２乗の係数はプラスだから、放物線のグラフは下に凸なので、マイナスになるのは２つの解の間です。
すなわち、求めるｋの値の範囲は、

１−２√２＜ｋ＜１＋２√２


次の問題→解が全ての実数の２次不等式�@


関連項目
判別式


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「２次方程式」「判別式」「重解」

高校数学「２次方程式」「判別式」「重解」

■問題
２次方程式ｘ^2＋(ｋ＋１)ｘ＋ｋ＋２＝０が、重解を持つような定数ｋの値を求めよ。


■考え方
重解ならば、判別式Ｄ＝０ですね！


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

２次方程式の解の個数は判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃで調べることができます。

解が１個すなわち重解のときは、Ｄ＝０です。

Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝１，ｂ＝ｋ＋１，ｃ＝ｋ＋２を代入して、

Ｄ＝(ｋ＋１)^2−４×１×(ｋ＋２)
　＝ｋ^2＋２ｋ＋１−４ｋ−８
　＝ｋ^2−２ｋ−７

この式の値がゼロのときが重解なので、普通に２次方程式を解きます。
因数分解はできなさそうなので、解の公式に代入して、

ｋ＝[−(−２)±√{(−２)^2−４×１×(−７)}]／２×１
　＝{２±√(４＋２８)}／２
　＝(２±√３２)／２
　＝(２±４√２)／２
　＝１±２√２


次の問題→実数解を持たないとき


関連項目
判別式


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「２次不等式」�C

高校数学「２次不等式」�C

■問題
２次不等式３ｘ^2−６ｘ＋１＜２ｘ^2−１７を解け。


■考え方
２次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。
もともと右辺がゼロになってないときは、最初に式の変形をします。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは右辺がゼロになるように式の変形をします。

３ｘ^2−６ｘ＋１＜２ｘ^2−１７
ｘ^2−６ｘ＋１８＜０

そしてイコールゼロにして解きます。

ｘ^2−６ｘ＋１８＝０

ｘ＝[−(−６)±√{(−６)^2−４×１×１８}]／２×１
　＝{６±√(３６−７２)}／２

２次不等式�Aの問題と同じように、ルートの中身がマイナスになってしまいました。
ということは、２次関数のグラフがｘ軸との共有点を持ちません。

ｘ^2−６ｘ＋１８は、ｘ^2の係数が正の数なので、放物線のグラフは下に凸です。
下に凸のグラフがｘ軸との共有点を持たないならば、式の値は常にプラスである。ということがわかります。

ｘ^2−６ｘ＋１８＜０の範囲を求めたいですが、そんなときはないので、求める解は

解なし

となります。


ちなみに、今回の問題も、�Aの問題も、判別式を使えば、マジメに解の公式に代入しなくても、放物線がｘ軸と共有点を持たないことがわかりますが、一目でそういう場合なのかどうかを判断するのは難しいと思いますし、「まずは因数分解をする。できなければ解の公式」という考え方で全て解決できるので、このブログではこの解き方で統一しています。
今後場合によっては、先に判別式を考える方法を解説することもあるかも知れません。


次の問題→重解を持つとき


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「２次不等式」�B

高校数学「２次不等式」�B

■問題
２次不等式ｘ^2−１２ｘ＋３６≦０を解け。


■考え方
２次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

ｘ^2−１２ｘ＋３６≦０の場合も、まずはイコールゼロにして解いてみます。

ｘ^2−１２ｘ＋３６＝０
　　　　(ｘ−６)^2＝０
よって、ｘ＝６

つまり、２次関数のグラフを考えた場合のｘ軸との共有点はｘ＝６の１点である。というわけです。
これはｘ軸と接する。場合ですね。

ｘ^2−１２ｘ＋３６≦０なので、ｘ軸から下側の範囲を聞いています。
ｘ＝６の１点のみがこの範囲を満たしているので、求める解は

ｘ＝６


次の問題→２次不等式�C


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「２次不等式」�A

高校数学「２次不等式」�A

■問題
２次不等式３ｘ−２ｘ^2＜６を解け。


■考え方
２次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。
イコールゼロになってないときは、式の変形をしてから２次方程式にすると良いです。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは式の変形をします。

　　　３ｘ−２ｘ^2＜６
−２ｘ^2＋３ｘ−６＜０
　２ｘ^2−３ｘ＋６＞０

ｘ^2の係数はプラスにしておいた方がわかりやすいと思います。
その際には、不等号の向きを直すことも忘れずに！

あとは前回の問題と同様に、イコールゼロで解いて・・・ということで、解の公式に代入してみると、

ｘ＝[−(−３)±√{(−３)^2−４×２×６}]／２×２
　＝{３±√(９−４８)}／４

この辺で、気になる点がありますね？
√の中身がマイナスになってしまいます。
ということは、この方程式は実数解を持ちません。
つまり、２次関数のグラフを描いた場合、ｘ軸と共有点を持たないことになります。

下に凸のグラフが共有点を持たないならば、その２次式の値は常に正の数である。ということができます。

変形した２次不等式は２ｘ^2−３ｘ＋６＞０で、つまりは式の値が正の数になる場合を聞いているので、

解は「すべての実数」ですね！


次の問題→２次不等式�B


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「２次不等式」�@

高校数学「２次不等式」�@

■問題
２次不等式ｘ^2＋４ｘ−７≧０を解け。


■考え方
２次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

イコールゼロにして解いた値は、グラフのｘ軸との交点になります。

ｘ^2＋４ｘ−７＝０を解の公式に代入して、

ｘ＝[−４±√{４^2−４×１×(−７)}]／２×１
　＝{−４±√(１６＋２８)}／２
　＝(−４±√４４)／２
　＝(−４±２√１１)／２
　＝−２±√１１

２次関数のグラフを描いた場合のｘ軸との交点が、ｘ＝−２＋√１１と−２−√１１というわけです。

もとの不等式はｘ^2＋４ｘ−７≧０なので、グラフのうちｘ軸よりも上側の部分を考えます。

ｘ^2の係数はプラスなので下に凸のグラフだから、「小さい方より左、大きい方より右」が求める範囲です。

よって、ｘ≦−２−√１１，ｘ≧−２＋√１１


次の問題→２次不等式�A


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−