2019年12月06日

高校物理「力学」「鉛直面内での円運動」A

高校物理「力学」「鉛直面内での円運動」A

長さLの糸の一端に質量mのおもりをつけ、他端を天井の点Oに固定し振り子とする。
糸が鉛直方向とθの角をなすような点Aまで持ち上げ、静かにはなした。次の問いに答えよ。ただし、おもりの最下点をB,重力加速度をgとする。
(1) おもりをはなした直後の糸の張力を求めよ。
(2) 点Bにおけるおもりの速さを求めよ。



点Bは最下点なので、位置エネルギーをゼロと考えるとよいでしょう。


センター過去問




Bは最下点なので、Bを位置エネルギーの基準としてエネルギー保存の式を作ると考えます。

Aで静かにはなしたので、Aにおける運動エネルギーはゼロ、位置エネルギーは最大です。
Bは最下点なので、位置エネルギーはゼロ、運動エネルギーは最大です。

まず、Aでの位置エネルギーを求めるために、AのBからの高さを考えます。

糸と鉛直方向とのなす角がθだから、天井からAまでの鉛直方向の距離は、糸の長さLにcosθをかけて、L・cosθです。

最下点Bの天井からの距離はLなので、AのBからの高さは、

L−Lcosθ=L(1−cosθ)

ですね。
位置エネルギーはU=mghで、Aでは高さh=L(1−cosθ)だから、U=mgL(1−cosθ)となります。

運動エネルギーはK=(1/2)mv^2で、最下点では位置エネルギーはゼロなので、Aでの位置エネルギーとBでの運動エネルギーが等しくなります。
すなわち、

mgL(1−cosθ)=(1/2)mv^2
2gL(1−cosθ)=v^2   ←両辺をmで割って2をかけた

よって、v=√{2gL(1−cosθ)}[m/s]


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posted by えま at 19:00| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

本日配信のメルマガ。2019年センター数学2B第1問[1]

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学2B第1問[1]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数2Bより

第1問

[1] 関数f(θ)=3(sinθ)^2+4sinθcosθ−(cosθ)^2を考える。

(1) f(0)=[アイ],f(π/3)=[ウ]+√[エ]である。

(2) 2倍角の公式を用いて計算すると、(cosθ)^2=(cos2θ+[オ])/[カ]
となる。さらに、sin2θ,cos2θを用いてf(θ)を表すと

  f(θ)=[キ]sin2θ−[ク]cos2θ+[ケ]……{1}

となる。

(3) θが0≦θ≦πの範囲を動くとき、関数f(θ)のとり得る最大の整数の値mと
そのときのθの値を求めよう。
 三角関数の合成を用いると、{1}は

  f(θ)=[コ]√[サ]sin(2θ−π/[シ])+[ケ]

と変形できる。したがって、m=[ス]である。

 また、0≦θ≦πにおいて、f(θ)=[ス]となるθの値は、小さい順に
π/[セ],π/[ソ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で
表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 π=180°
 ◆2 f(0)はθ=0
 ◆3 f(π/3)はθ=π/3

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 f(0)はθ=0

[1] 関数f(θ)=3(sinθ)^2+4sinθcosθ−(cosθ)^2を考える。

とあります。
慣れない人にはすごく難しそうに見えると思いますが、最初の方の設問はそれほど
複雑ではないことが多いです。今回の問題も最初はとても単純です。

「f(0)=[アイ]」ということで、まずはf(0)の値を聞いています。
θ=0を代入したときの値ですね。
だからもちろん、θに0を代入すればOKです。やってみましょう!

f(0)=3(sin0)^2+4sin0cos0−(cos0)^2
   =3・0+4・0・1−1^2  ←sin0=0,cos0=1
   =−1

よって、[アイ]=−1


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 ◆3 f(π/3)はθ=π/3

次は「f(π/3)=[ウ]+√[エ]」ですね。
◆2と同様に、θに代入してみましょう!

 f(π/3)
=3{sin(π/3)}^2+4sin(π/3)cos(π/3)−{cos(π/3)}^2
=3(√3/2)^2+4(√3/2)(1/2)−(1/2)^2←sin(π/3)=√3/2


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
posted by えま at 17:24| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校物理「力学」「鉛直面内での円運動」@

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長さLの糸の一端に質量mのおもりをつけ、他端を天井の点Oに固定し振り子とする。
糸が鉛直方向とθの角をなすような点Aまで持ち上げ、静かにはなした。次の問いに答えよ。ただし、おもりの最下点をB,重力加速度をgとする。
(1) おもりをはなした直後の糸の張力を求めよ。



おもりをはなした瞬間は、まだ重力のみがはたらいていると考えられます。


センター過去問




振り子は円運動をしますが、「静かにはなした」のて、はなした瞬間はまだ動いていないと考えます。
まだ動いていないので、おもりには向心力は働かず、重力のみがはたらくと考えられます。

重力は常に鉛直下向きですが、今回の問題ではおもりは糸につながっていて円運動をするので、運動の方向と運動の方向に対して垂直な向きに重力を分解する必要があります。

鉛直方向とθの角をなす状態からスタートしているので、そのときの重力の分力を考えます。

鉛直下向きがmgで、鉛直下向きと糸のなす角がθなので・・・
運動の方向にはたらく分力はmgsinθ、糸に沿った方向の分力はmgcosθとなります。

おもりがまだ動いていない段階では、「糸に沿った方向の分力=糸の張力」となるから、求める糸の張力は、

T=mgcosθ

となります。


次の問題→点Bにおけるおもりの速さ


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posted by えま at 14:42| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校英語「関係詞」B

高校英語「関係詞」B(whichまたはwhere)

次の英文の括弧内に適切な関係詞を入れてください。

This is the village (   ) my wife was born.


先行詞はthe villageだからwhich?それとも場所だからwhereでしょうか?


この問題は、次の書籍のP.38にも掲載されています。


前の問題→先行詞がないとき


This is the village (   ) my wife was born.

the villageはもちろん「その村」という意味で、人ではないので、関係代名詞を入れるならばwhichになります。
でも、「その村」は場所だから関係副詞whereを入れる。かも知れません。

これらは、後ろに続く節に先行詞の内容を言うならば、前置詞が必要になるかならないかで見分けることができます。

先行詞はthe villageなので、

うしろの「my wife was born」にthe villageを続けるためには、何か前置詞が必要かどうか。ということです。
まずはそのままthe villageを入れてみましょう。

my wife was born the village

と言ったら不自然ですね。
普通は

my wife was born in the village

と言うはずです。
この「in the village」を1語の関係詞にして前に移動したと考えられるので、この場合はwhereを入れるのが正しい。というわけです。

This is the village (where) my wife was born. (これは私の妻が生まれた村です)


ここでは空欄は括弧1つだったので、1語で答えましたが、

This is the village in which my wife was born.

などとしてもほぼ同じ意味です。


次の問題→「〜の」の関係代名詞


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ラベル:英語
posted by えま at 08:10| Comment(0) | 高校英語 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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