2019年12月10日

高校数学「三角関数」「三角方程式」「2倍角」@

高校数学「三角関数」「三角方程式」「2倍角」@

三角方程式2√3(cosx)^2−2sinxcosx=√3を解け。ただし、0≦x<2πとする。


大学入試レベルでは、このくらいの難易度が標準的ということができると思います。


解答解説はこのページ下


三角関数の解き方が身につく!と好評です!


与式には異なるタイプの項があるので、まずは一つにまとめる必要があります。
できそうな事がいろいろあって迷うと思いますが、

2sinxcosxに注目すると・・・

2倍角の公式が使えるかも?とひらめく人もいると思います。

2sinxcosx=sin2x・・・@と置き換えることができますね。

ならば、最初の2√3(cosx)^2も、2倍角を使って表せないかな?と考えてみると・・・

cos2x=(cosx)^2−(sinx)^2
     =2(cosx)^2−1

なので、2(cosx)^2=cos2x+1・・・Aとすることができます。

@,Aを与式に代入すると、

√3(cos2x+1)−sin2x=√3

このような式が得られます。


つづく→解答解説後半


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ラベル:数学
posted by えま at 21:29| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「三角関数」「三角不等式」「タンジェント」

高校数学「三角関数」「三角不等式」「タンジェント」

三角不等式tanx<1を解け。ただし、0≦x<2πとする。


タンジェントの不等式は、見た目上の範囲が3つになってしまう場合があります。


解答はこのページ下


三角関数の解き方が身につく!と好評です!



まずは、tanx=1を解いて境界線を出します。
tax=1となるのは、45°45°90°の形になるときだから、45°=π/4と225°=(5/4)πです。

問題の式はtanx<1なので、この境界線のときの値よりもtanxの値が小さくなるときを答えます。

まず、45°の方について考えると、45°よりも上にいくとtanxの値は大きくなり、45°よりも下にいくとtanxの値は小さくなります。

下にいくのはどこまででも行けるかというとそうでもありません。
tan270°は無限大になってしまうので、値なしです。そして、tan270°の右はマイナス、左はプラスとなります。tanxは270°において不連続なので、45°より下で、270°より上であることがわかります。
さらに、0≦x<2πなので、この「45°より下で、270より上」の範囲は、「0≦x<45°」と「270°<x<360°」に分けられます。

次に225°の方について考えます。
いくつかのtanxの値を考えるなどして、判断すると、225°より上に行くとtanxの値は小さくなります。
そして90°のところは270°と同様に無限大です。
だから90°をまたいだ範囲になることはありません。
つまり、こちら側は90°<x<225°

まとめると、

0≦x<45°,90°<x<225°,270°<x<2π

ラジアンに直して、

0≦x<π/4,π/2<x<(5/4)π,(3/2)π<x<2π


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学1A第1問[2]

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学1A第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第1問

[2] 二つの自然数m,nに関する三つの条件p,q,rを次のように定める。

  p:mとnはともに奇数である
  q:3mnは奇数である
  r:m+5nは偶数である
           _
 また、条件pの否定をpで表す。

(1) 次の[シ],[ス]に当てはまるものを、下の{0}〜{2}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
             _
 二つの自然数m,nが条件pを満たすとする。このとき、mが奇数ならばnは
[シ]。また、mが偶数ならばnは[ス]。

{0} 偶数である
{1} 奇数である
{2} 偶数でも奇数でもよい

(2) 次の[セ],[ソ],[タ]に当てはまるものを、下の{0}〜{3}のうちから一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

  pはqであるための[セ]。
  pはrであるための[ソ]。
  _
  pはrであるための[タ]。

{0} 必要十分条件である
{1} 必要条件であるが、十分条件ではない
{2} 十分条件であるが、必要条件ではない
{3} 必要条件でも十分条件でもない


※xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 必要条件・充分条件の考え方
 ◆2 まずは条件を確認
 ◆3 補集合は否定

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 まずは条件を確認

では今回の問題です。

[2] 二つの自然数m,nに関する三つの条件p,q,rを次のように定める。

  p:mとnはともに奇数である
  q:3mnは奇数である
  r:m+5nは偶数である

このようにp,q,rを定めています。
まずはしっかりと条件を把握することが大切です。

pは「m,nがどちらも奇数」、qは「3mnは奇数」、rは「m+5nは偶数」
と言っていますね。


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 ◆3 補集合は否定

この問題最初の設問では、
      _
m,nが条件pを満たすとする。このとき、mが奇数ならばnは[シ]。

について考えます。
                    _
条件pは「m,nがどちらも奇数」で、pはpの補集合です。
補集合はつまりは否定です。

「どちらも」は「かつ」と同じで、「かつ」は否定すると・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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posted by えま at 17:00| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「数列」「漸化式」「等差と等比の複合」

高校数学「数列」「漸化式」「等差と等比の複合」

an+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項を求めよ。


この数列は要するに、次の項にいくたびに3を掛けてから2を引きます。






an+1=3an−2

次の項にいく度に「3倍して2を引く」ということは、等比数列の性質もあり、等差数列の性質もある。ということができます。

このように複合した性質を持つ場合は、そのままでは公式が適用できないので、まずは変形することを考えます。
この等差数列と等比数列の複合の場合は、

an+1−α=p(an−α)

の形にします。
こうすれば、an−α=bnとおいて、bnは等比数列になるので、一般項が表せる。というわけです。

まずはこのαとpを求めるために、an+1−α=p(an−α)を変形します。

an+1−α=p(an−α)
 an+1=p・an−pα+α

単に展開して移項しただけです。
これで与式と同じになりました。

an+1=3an−2と比較すると、

p=3,−pα+α=−2

P=3を−pα+α=−2に代入して、
−3α+α=−2
 −2α=−2
   α=1

よって、与式はan+1−1=3(an−1)と変形できます。

括弧の中身つまり、an−1=bnとおけば、さらに

bn+1=3bn

となります。
これは「次の項に行く度に3を掛ける」ので、公比が3の等比数列です。
初項はan−1=bnより、a1−1=b1だから、b1=2−1=1です。

よって、bnは初項が1,公比が3の等比数列なので、

bn=1・3^(n-1)
  =3^(n-1)

ここでもう一度an−1=bnを使います。

an−1=3^(n-1)
  an=3^(n-1)+1

これで完成です!


関連項目
漸化式の基本的な方法


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ラベル:数学
posted by えま at 14:41| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

センター過去問まだの人も、そろそろスタートしましょう!まずは2015年以降を

センター試験まであと1ヶ月あまりとなりました。
準備が整っている人はもちろん、まだ基本が充分でないと感じている人でも、そろそろ過去問に取り組むべき時期です。
以前の記事でも、基本ができているほど過去問の効果が高いと述べましたが、過去問に取り組む時間が短すぎると、「やっただけ」になってしまいます。
残り1ヶ月というのは、数年分の過去問を「使い切る」ためには、ぎりぎりの時期です。

過去問は、解いて答え合わせをして、内容を理解し、解き方の道筋を把握することが重要です。
センター試験は高校で習うべき内容を幅広く問う適度なレベルの問題が多いですが、やはり、センター試験にはセンター試験の「よくあるパターン」があります。それを把握しておけば、本番でも落ち着いて素早く解けるはずです。
というかむしろ、センター試験のパターンを習得しておかなければ、数学は時間内に解き終わることは不可能に近いです。
逆に、パターンを把握していれば、ほとんどの問題は「言ってるとおりにやる」だけで解けてしまいます。計算さえ気をつければ満点が取りやすい科目だと言われています。
ただ、最近は、その「パターン」を意図的に外してきたように見える問題も出題されているので、単なるパターンの習得だけ終わらないようにすることが望ましいです。

こういった、いくつかの視点での過去問の練習をしようと思うと、結構な時間と労力が必要です。
解くだけなら、本番も2日間で全科目を終えるわけだし、1年分を2日と考えれば、5年分は10日で終わります。
しかし、解いて分析して習得することを考えると、控えめに見てもその倍はかかると考えられます。
今年度でしたら、2015年以降の新課程の本試験を、できれば追試験も最新の2年分程度だけでもやりたいところなので、1ヶ月というのはぎりぎりのタイムリミットだということができます。

各自、現時点での実力は様々だと思いますが、自分のできる範囲で最大限の得点を取れるようにするためには、そろそろ過去問に取り組みましょう!

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posted by えま at 11:00| Comment(0) | 日記 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「空間のベクトル」「2点間の距離」

高校数学「空間のベクトル」「2点間の距離」

座標空間上の2点A(2,−1,3),B(3,2,1)間の距離を求めよ。


空間でも2点間の距離なら三平方の定理ですね!







空間上の2点間の距離は、要するに「直方体の対角線」と同じになります。

x方向にどれだけ移動するか?・・・x2−x1
y方向にどれだけ移動するか?・・・y2−y1
z方向にどれだけ移動するか?・・・z2−z1

が、直方体の3辺の長さになりますね。
だから、

d=√{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2+(z2−z1)^2}

が直方体の対角線であり、2点間の距離だ。というわけです。

今回の問題では、A(2,−1,3),B(3,2,1)なので、

d=√{(3−2)^2+(2+1)^2+(1−3)^2}
 =√(1+9+4)
 =√14

A,B間の距離は、|→AB|でもあることも頭に入れておきましょう!


関連問題
→AB
空間のベクトルの平行


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ラベル:数学
posted by えま at 08:32| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「空間のベクトル」「座標→ベクトル」

高校数学「空間のベクトル」「座標→ベクトル」

座標空間上の2点A(2,−1,3),B(3,2,1)について、 →ABを求めよ。


ベクトルABは、AからBに進むことを考えます。






空間でも平面でも、→ABは「AからBに行くにはどの方向にどれだけ移動するか」を表すので、
空間のベクトルでも、平面のベクトルと同様に、座標を使って「終点−始点」でベクトルを求めることができます。

A(2,−1,3),B(3,2,1)の2点を、x座標同士、y座標同士、z座標同士で引き算します。

→AB=(3−2,2+1,1−3)=(1,3,−2)


関連問題
空間における2点間の距離
空間のベクトルの平行


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ラベル:数学
posted by えま at 08:18| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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