高校数学「三角関数」「三角方程式」「２倍角」�@

高校数学「三角関数」「三角方程式」「２倍角」�@

三角方程式２√３(ｃｏｓｘ)^2−２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝√３を解け。ただし、０≦ｘ＜２πとする。


大学入試レベルでは、このくらいの難易度が標準的ということができると思います。


解答解説はこのページ下


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！



与式には異なるタイプの項があるので、まずは一つにまとめる必要があります。
できそうな事がいろいろあって迷うと思いますが、

２ｓｉｎｘｃｏｓｘに注目すると・・・

２倍角の公式が使えるかも？とひらめく人もいると思います。

２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｓｉｎ２ｘ・・・�@と置き換えることができますね。

ならば、最初の２√３(ｃｏｓｘ)^2も、２倍角を使って表せないかな？と考えてみると・・・

ｃｏｓ２ｘ＝(ｃｏｓｘ)^2−(ｓｉｎｘ)^2
　　　　　＝２(ｃｏｓｘ)^2−１

なので、２(ｃｏｓｘ)^2＝ｃｏｓ２ｘ＋１・・・�Aとすることができます。

�@，�Aを与式に代入すると、

√３(ｃｏｓ２ｘ＋１)−ｓｉｎ２ｘ＝√３

このような式が得られます。


つづく→解答解説後半


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高校数学「三角関数」「三角不等式」「タンジェント」

高校数学「三角関数」「三角不等式」「タンジェント」

三角不等式ｔａｎｘ＜１を解け。ただし、０≦ｘ＜２πとする。


タンジェントの不等式は、見た目上の範囲が３つになってしまう場合があります。


解答はこのページ下


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！


まずは、ｔａｎｘ＝１を解いて境界線を出します。
ｔａｘ＝１となるのは、４５°４５°９０°の形になるときだから、４５°＝π／４と２２５°＝(５／４)πです。

問題の式はｔａｎｘ＜１なので、この境界線のときの値よりもｔａｎｘの値が小さくなるときを答えます。

まず、４５°の方について考えると、４５°よりも上にいくとｔａｎｘの値は大きくなり、４５°よりも下にいくとｔａｎｘの値は小さくなります。

下にいくのはどこまででも行けるかというとそうでもありません。
ｔａｎ２７０°は無限大になってしまうので、値なしです。そして、ｔａｎ２７０°の右はマイナス、左はプラスとなります。ｔａｎｘは２７０°において不連続なので、４５°より下で、２７０°より上であることがわかります。
さらに、０≦ｘ＜２πなので、この「４５°より下で、２７０より上」の範囲は、「０≦ｘ＜４５°」と「２７０°＜ｘ＜３６０°」に分けられます。

次に２２５°の方について考えます。
いくつかのｔａｎｘの値を考えるなどして、判断すると、２２５°より上に行くとｔａｎｘの値は小さくなります。
そして９０°のところは２７０°と同様に無限大です。
だから９０°をまたいだ範囲になることはありません。
つまり、こちら側は９０°＜ｘ＜２２５°

まとめると、

０≦ｘ＜４５°，９０°＜ｘ＜２２５°，２７０°＜ｘ＜２π

ラジアンに直して、

０≦ｘ＜π／４，π／２＜ｘ＜(５／４)π，(３／２)π＜ｘ＜２π


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学１Ａ第１問[2]

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学１Ａ第１問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2019年センター試験数１Ａより

第１問

[2] 二つの自然数ｍ，ｎに関する三つの条件ｐ，ｑ，ｒを次のように定める。

　　ｐ：ｍとｎはともに奇数である
　　ｑ：３ｍｎは奇数である
　　ｒ：ｍ＋５ｎは偶数である
　　　　　　　　　　　＿
　また、条件ｐの否定をｐで表す。

(1) 次の[シ]，[ス]に当てはまるものを、下の{0}〜{2}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
　　　　　　　　　　　　　＿
　二つの自然数ｍ，ｎが条件ｐを満たすとする。このとき、ｍが奇数ならばｎは
[シ]。また、ｍが偶数ならばｎは[ス]。

{0} 偶数である
{1} 奇数である
{2} 偶数でも奇数でもよい

(2) 次の[セ]，[ソ]，[タ]に当てはまるものを、下の{0}〜{3}のうちから一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　　ｐはｑであるための[セ]。
　　ｐはｒであるための[ソ]。
　　＿
　　ｐはｒであるための[タ]。

{0} 必要十分条件である
{1} 必要条件であるが、十分条件ではない
{2} 十分条件であるが、必要条件ではない
{3} 必要条件でも十分条件でもない


※ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　必要条件・充分条件の考え方
　◆２　まずは条件を確認
　◆３　補集合は否定

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　まずは条件を確認

では今回の問題です。

[2] 二つの自然数ｍ，ｎに関する三つの条件ｐ，ｑ，ｒを次のように定める。

　　ｐ：ｍとｎはともに奇数である
　　ｑ：３ｍｎは奇数である
　　ｒ：ｍ＋５ｎは偶数である

このようにｐ，ｑ，ｒを定めています。
まずはしっかりと条件を把握することが大切です。

ｐは「ｍ，ｎがどちらも奇数」、ｑは「３ｍｎは奇数」、ｒは「ｍ＋５ｎは偶数」
と言っていますね。


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　◆３　補集合は否定

この問題最初の設問では、
　　　　　　＿
ｍ，ｎが条件ｐを満たすとする。このとき、ｍが奇数ならばｎは[シ]。

について考えます。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿
条件ｐは「ｍ，ｎがどちらも奇数」で、ｐはｐの補集合です。
補集合はつまりは否定です。

「どちらも」は「かつ」と同じで、「かつ」は否定すると・・・


つづく


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高校数学「数列」「漸化式」「等差と等比の複合」

高校数学「数列」「漸化式」「等差と等比の複合」

ａn+1＝３ａn−２，ａ1＝２で表される数列の一般項を求めよ。


この数列は要するに、次の項にいくたびに３を掛けてから２を引きます。






ａn+1＝３ａn−２

次の項にいく度に「３倍して２を引く」ということは、等比数列の性質もあり、等差数列の性質もある。ということができます。

このように複合した性質を持つ場合は、そのままでは公式が適用できないので、まずは変形することを考えます。
この等差数列と等比数列の複合の場合は、

ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)

の形にします。
こうすれば、ａn−α＝ｂnとおいて、ｂnは等比数列になるので、一般項が表せる。というわけです。

まずはこのαとｐを求めるために、ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)を変形します。

ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)
　ａn+1＝ｐ・ａn−ｐα＋α

単に展開して移項しただけです。
これで与式と同じになりました。

ａn+1＝３ａn−２と比較すると、

ｐ＝３，−ｐα＋α＝−２

Ｐ＝３を−ｐα＋α＝−２に代入して、
−３α＋α＝−２
　−２α＝−２
　　　α＝１

よって、与式はａn+1−１＝３(ａn−１)と変形できます。

括弧の中身つまり、ａn−１＝ｂnとおけば、さらに

ｂn+1＝３ｂn

となります。
これは「次の項に行く度に３を掛ける」ので、公比が３の等比数列です。
初項はａn−１＝ｂnより、ａ1−１＝ｂ1だから、ｂ1＝２−１＝１です。

よって、ｂnは初項が１，公比が３の等比数列なので、

ｂn＝１・３^(n-1)
　　＝３^(n-1)

ここでもう一度ａn−１＝ｂnを使います。

ａn−１＝３^(n-1)
　　ａn＝３^(n-1)＋１

これで完成です！


関連項目
漸化式の基本的な方法


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センター過去問まだの人も、そろそろスタートしましょう！まずは2015年以降を

センター試験まであと１ヶ月あまりとなりました。
準備が整っている人はもちろん、まだ基本が充分でないと感じている人でも、そろそろ過去問に取り組むべき時期です。
以前の記事でも、基本ができているほど過去問の効果が高いと述べましたが、過去問に取り組む時間が短すぎると、「やっただけ」になってしまいます。
残り１ヶ月というのは、数年分の過去問を「使い切る」ためには、ぎりぎりの時期です。

過去問は、解いて答え合わせをして、内容を理解し、解き方の道筋を把握することが重要です。
センター試験は高校で習うべき内容を幅広く問う適度なレベルの問題が多いですが、やはり、センター試験にはセンター試験の「よくあるパターン」があります。それを把握しておけば、本番でも落ち着いて素早く解けるはずです。
というかむしろ、センター試験のパターンを習得しておかなければ、数学は時間内に解き終わることは不可能に近いです。
逆に、パターンを把握していれば、ほとんどの問題は「言ってるとおりにやる」だけで解けてしまいます。計算さえ気をつければ満点が取りやすい科目だと言われています。
ただ、最近は、その「パターン」を意図的に外してきたように見える問題も出題されているので、単なるパターンの習得だけ終わらないようにすることが望ましいです。

こういった、いくつかの視点での過去問の練習をしようと思うと、結構な時間と労力が必要です。
解くだけなら、本番も２日間で全科目を終えるわけだし、１年分を２日と考えれば、５年分は１０日で終わります。
しかし、解いて分析して習得することを考えると、控えめに見てもその倍はかかると考えられます。
今年度でしたら、2015年以降の新課程の本試験を、できれば追試験も最新の２年分程度だけでもやりたいところなので、１ヶ月というのはぎりぎりのタイムリミットだということができます。

各自、現時点での実力は様々だと思いますが、自分のできる範囲で最大限の得点を取れるようにするためには、そろそろ過去問に取り組みましょう！

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高校数学「空間のベクトル」「２点間の距離」

高校数学「空間のベクトル」「２点間の距離」

座標空間上の２点Ａ(２，−１，３)，Ｂ(３，２，１)間の距離を求めよ。


空間でも２点間の距離なら三平方の定理ですね！







空間上の２点間の距離は、要するに「直方体の対角線」と同じになります。

ｘ方向にどれだけ移動するか？・・・ｘ2−ｘ1
ｙ方向にどれだけ移動するか？・・・ｙ2−ｙ1
ｚ方向にどれだけ移動するか？・・・ｚ2−ｚ1

が、直方体の３辺の長さになりますね。
だから、

ｄ＝√{(ｘ2−ｘ1)^2＋(ｙ2−ｙ1)^2＋(ｚ2−ｚ1)^2}

が直方体の対角線であり、２点間の距離だ。というわけです。

今回の問題では、Ａ(２，−１，３)，Ｂ(３，２，１)なので、

ｄ＝√{(３−２)^2＋(２＋１)^2＋(１−３)^2}
　＝√(１＋９＋４)
　＝√１４

Ａ，Ｂ間の距離は、|→ＡＢ|でもあることも頭に入れておきましょう！


関連問題
→ＡＢ
空間のベクトルの平行


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高校数学「空間のベクトル」「座標→ベクトル」

高校数学「空間のベクトル」「座標→ベクトル」

座標空間上の２点Ａ(２，−１，３)，Ｂ(３，２，１)について、 →ＡＢを求めよ。


ベクトルＡＢは、ＡからＢに進むことを考えます。


↓解答解説はお知らせの下↓


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空間でも平面でも、→ＡＢは「ＡからＢに行くにはどの方向にどれだけ移動するか」を表すので、
空間のベクトルでも、平面のベクトルと同様に、座標を使って「終点−始点」でベクトルを求めることができます。

Ａ(２，−１，３)，Ｂ(３，２，１)の２点を、ｘ座標同士、ｙ座標同士、ｚ座標同士で引き算します。

→ＡＢ＝(３−２，２＋１，１−３)＝(１，３，−２)


関連問題
空間における２点間の距離
空間のベクトルの平行


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