2019年12月19日

高校数学「対数方程式」C

高校数学「対数方程式」C

■ 問題

対数方程式(log[2]x)^2+log[2]x−6=0を解け。


■ 選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか?

@log[2]x=tとおく
A−6を右辺に移項する
B対数の足し算だから、真数同士をかけ算する
C底の変換公式を使う


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

@log[2]x=tとおく

与式はlog[2]xについての2次式となっているので、log[2]xをtなどの文字で置き換えると、式が見慣れた形になり解きやすくなります。
慣れている人は、置き換えずにやってもOKです。


■ 解答解説

log[2]xをtに置き換えると、

t^2+t−6=0

となります。
ごく普通の2次方程式ですね。
因数分解すれば、

(t+3)(t−2)=0

です。よって、tの値は、

t=−3,2

これで終わり!・・・ではありません。
tは自分で置いた文字なので、この値を出しただけでは、問いで聞いている「解」を求めたことになりません。
これらのときのxの値を求める必要があります。

t=log[2]xなので、

t=−3のとき、log[2]x=−3すなわちx=2^(-3)=1/8
t=2のとき、log[2]x=2すなわちx=2^2=4

よって、求める解はx=1/8,4


次の問題→底がそろってない場合
前の問題→対数の足し算を含む方程式


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ラベル:数学
posted by えま at 23:44| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数方程式」B

高校数学「対数方程式」B

■ 問題

対数方程式log[2](x+3)+log[2]x=2を解け。


■ 選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか?

@左辺は足し算なので、log[2](x+3+x)=2よりlog[2](2x+3)とする
A左辺は足し算なので、log[2]{(x+3)x}よりlog[2](x^2+3x)とする
Blogは無視して、2(x+3)+2x=2とする
Cとりあえず両辺を2乗する


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

A左辺は足し算なので、log[2]{(x+3)x}よりlog[2](x^2+3x)とする

log[a]b+log[a]c=log[a]bc
つまり、「対数の足し算は真数のかけ算」です。


■ 解答解説

方程式を解くときは、まずはじめに、できるだけ簡単な形にするのが大原則です。

対数は2個以上あると、指数と対数の関係式a^b=cならばlog[a]c=bを使うのが難しいので、できるだけ1個にすることを考えます。
そのために、log[a]b+log[a]c=log[a]bcが使える。というわけです。

log[2](x+3)+log[2]x=2
    log[2](x^2+3x)=2

ここで、指数と対数の関係より、x^2+3x=2^2です。あとはこれを解いて、

  x^2+3x=4
x^2+3x−4=0
(x+4)(x−1)=0
よって、x=−4,1

ここで注意が必要です。
対数方程式の場合、「真数条件」を考えなければいけない場合があります。
「真数条件」とは、「底が正の数ならば真数も正の数」ということです。
「底が2ならば、2を何乗してもマイナスにはならない」ですよね?2乗したら4,3乗したら8,−1乗は1/2,−2乗は1/4などなど。

今回の問題では、与式の真数は、x+3とxなので、これらがともに正の数でなければいけません。
つまり、x+3>0,x>0です。これらの共通範囲はx>−3なので、x=−4,1のうちx=−4は不適です。

よって、この方程式の解はx=1ですね!

log[2](x+1)=3は、2^3=x+1と書き直すことができますね。
あとはこれを普通に解けばOKです。

2^3=x+1
 8=x+1
 x=8−1
 x=7


次の問題→対数の2次方程式
前の問題→log[2](x+1)=3


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ラベル:数学
posted by えま at 18:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

書き換え英作文問題「比較級」「最上級」「原級」「疑問文」

書き換え英作文問題「比較級」「最上級」「原級」「疑問文」


指示に従って書き換えよ。
I learned many things.

1. 「than he did」を加えて、比較級の文に

─────────────────────────────────────── 
2. 「in our group」を加えて、最上級の文に

─────────────────────────────────────── 
3. 「as possible」を加えて、原級の文に

─────────────────────────────────────── 
4. 「私はできるだけたくさんのことを学びたいです」となるように

─────────────────────────────────────── 
5. 「あなたはどれくらいたくさんのことを学びたいですか」となるように

─────────────────────────────────────── 



解答解説はこちら


今回の問題は、次の書籍のP.39にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



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ラベル:英語
posted by えま at 13:33| Comment(0) | 書き換え英作文 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数方程式」A

高校数学「対数方程式」A

対数方程式log[2](x+1)=3を解け。


前回の問題より少し難しいですが、やはり、対数と指数の関係がわかっていれば簡単な問題です。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


指数と対数の間には、

a^b=cならばlog[a]c=b
(aのb乗はc) (底がa,真数がcの対数はb)

という関係が成り立ちます。

log[2](x+1)=3は、2^3=x+1と書き直すことができますね。
あとはこれを普通に解けばOKです。

2^3=x+1
 8=x+1
 x=8−1
 x=7


次の問題→対数の足し算を含む方程式
前の問題→log[5]x


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ラベル:数学
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数方程式」@

高校数学「対数方程式」@

対数方程式log[5]x=2を解け。


対数と指数の関係がわかっていれば簡単な問題です。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


指数と対数の間には、

a^b=cならばlog[a]c=b
(aのb乗はc) (底がa,真数がcの対数はb)

という関係が成り立ちます。

log[a]cはすなわち、「aをcにするには何乗か?」を意味します。

今回の問題の「log[5]x=2」は、「5をxにするには2乗する」を意味します。

だから、x=25ですね。

または、指数と対数の関係より、

x=5^2=25

と考えることもできます。


次の問題→log[2](x+1)=3


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ラベル:数学
posted by えま at 09:10| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数関数」A

高校数学「対数関数」A

関数y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6について、次の問いに答えよ。
(1) t=log[2]xとして、与式をtで表せ。
(2) 1≦x≦8のとき、yの最大値・最小値を求めよ。



1≦x≦8のとき、tの範囲がどうなるかに気をつけて、普通に最大最小をやればOKです。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


(1)から、t=log[2]xとすると、y=t^2−4t+6であることがわかっています。
この関数の最大最小を求めたい。という問題です。

y=t^2−4t+6は、tの2次関数になっているので、2次関数の最大最小を普通にやればOK!というわけです。
すなわち、まずは平方完成ですね!

y=t^2−4t+6
 =(t−2)^2−4+6
 =(t−2)^2+2

よって、t=2のときy=2が頂点です。

1≦x≦8なので、0≦log[2]x≦3すなわち0≦t≦3です。
t=2はこの範囲に入っていて、t^2の係数はプラスなので、下に凸の放物線だから、頂点が最小値です。

さらに、t=log[2]xより、log[2]x=2すなわち、x=4のとき最小値2

定義域の両端のうち、頂点から遠い方が最大値なので、t=0すなわち、x=1のとき、最大値6

となります。


前の問題→log[2]xをtで表す


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ラベル:数学
posted by えま at 00:26| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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