高校数学「対数方程式」�C

高校数学「対数方程式」�C

■　問題

対数方程式(ｌｏｇ[2]ｘ)^2＋ｌｏｇ[2]ｘ−６＝０を解け。


■　選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか？

�@ｌｏｇ[2]ｘ＝ｔとおく
�A−６を右辺に移項する
�B対数の足し算だから、真数同士をかけ算する
�C底の変換公式を使う


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�@ｌｏｇ[2]ｘ＝ｔとおく

与式はｌｏｇ[2]ｘについての２次式となっているので、ｌｏｇ[2]ｘをｔなどの文字で置き換えると、式が見慣れた形になり解きやすくなります。
慣れている人は、置き換えずにやってもＯＫです。


■　解答解説

ｌｏｇ[2]ｘをｔに置き換えると、

ｔ^2＋ｔ−６＝０

となります。
ごく普通の２次方程式ですね。
因数分解すれば、

(ｔ＋３)(ｔ−２)＝０

です。よって、ｔの値は、

ｔ＝−３，２

これで終わり！・・・ではありません。
ｔは自分で置いた文字なので、この値を出しただけでは、問いで聞いている「解」を求めたことになりません。
これらのときのｘの値を求める必要があります。

ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘなので、

ｔ＝−３のとき、ｌｏｇ[2]ｘ＝−３すなわちｘ＝２^(-3)＝１／８
ｔ＝２のとき、ｌｏｇ[2]ｘ＝２すなわちｘ＝２^2＝４

よって、求める解はｘ＝１／８，４


次の問題→底がそろってない場合
前の問題→対数の足し算を含む方程式


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高校数学「対数方程式」�B

高校数学「対数方程式」�B

■　問題

対数方程式ｌｏｇ[2](ｘ＋３)＋ｌｏｇ[2]ｘ＝２を解け。


■　選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか？

�@左辺は足し算なので、ｌｏｇ[2](ｘ＋３＋ｘ)＝２よりｌｏｇ[2](２ｘ＋３)とする
�A左辺は足し算なので、ｌｏｇ[2]{(ｘ＋３)ｘ}よりｌｏｇ[2](ｘ^2＋３ｘ)とする
�Bｌｏｇは無視して、２(ｘ＋３)＋２ｘ＝２とする
�Cとりあえず両辺を２乗する


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�A左辺は足し算なので、ｌｏｇ[2]{(ｘ＋３)ｘ}よりｌｏｇ[2](ｘ^2＋３ｘ)とする

ｌｏｇ[a]ｂ＋ｌｏｇ[a]ｃ＝ｌｏｇ[a]ｂｃ
つまり、「対数の足し算は真数のかけ算」です。


■　解答解説

方程式を解くときは、まずはじめに、できるだけ簡単な形にするのが大原則です。

対数は２個以上あると、指数と対数の関係式ａ^b＝ｃならばｌｏｇ[a]ｃ＝ｂを使うのが難しいので、できるだけ１個にすることを考えます。
そのために、ｌｏｇ[a]ｂ＋ｌｏｇ[a]ｃ＝ｌｏｇ[a]ｂｃが使える。というわけです。

ｌｏｇ[2](ｘ＋３)＋ｌｏｇ[2]ｘ＝２
　　　　ｌｏｇ[2](ｘ^2＋３ｘ)＝２

ここで、指数と対数の関係より、ｘ^2＋３ｘ＝２^2です。あとはこれを解いて、

　　ｘ^2＋３ｘ＝４
ｘ^2＋３ｘ−４＝０
(ｘ＋４)(ｘ−１)＝０
よって、ｘ＝−４，１

ここで注意が必要です。
対数方程式の場合、「真数条件」を考えなければいけない場合があります。
「真数条件」とは、「底が正の数ならば真数も正の数」ということです。
「底が２ならば、２を何乗してもマイナスにはならない」ですよね？２乗したら４，３乗したら８，−１乗は１／２，−２乗は１／４などなど。

今回の問題では、与式の真数は、ｘ＋３とｘなので、これらがともに正の数でなければいけません。
つまり、ｘ＋３＞０，ｘ＞０です。これらの共通範囲はｘ＞−３なので、ｘ＝−４，１のうちｘ＝−４は不適です。

よって、この方程式の解はｘ＝１ですね！

ｌｏｇ[2](ｘ＋１)＝３は、２^3＝ｘ＋１と書き直すことができますね。
あとはこれを普通に解けばＯＫです。

２^3＝ｘ＋１
　８＝ｘ＋１
　ｘ＝８−１
　ｘ＝７


次の問題→対数の２次方程式
前の問題→ｌｏｇ[2](ｘ＋１)＝３


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書き換え英作文問題「比較級」「最上級」「原級」「疑問文」

書き換え英作文問題「比較級」「最上級」「原級」「疑問文」


指示に従って書き換えよ。
I learned many things.

1. 「than he did」を加えて、比較級の文に

───────────────────────────────────────　
2. 「in our group」を加えて、最上級の文に

───────────────────────────────────────　
3. 「as possible」を加えて、原級の文に

───────────────────────────────────────　
4. 「私はできるだけたくさんのことを学びたいです」となるように

───────────────────────────────────────　
5. 「あなたはどれくらいたくさんのことを学びたいですか」となるように

───────────────────────────────────────　



解答解説はこちら


今回の問題は、次の書籍のP.39にも掲載されています。
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高校数学「対数方程式」�A

高校数学「対数方程式」�A

対数方程式ｌｏｇ[2](ｘ＋１)＝３を解け。


前回の問題より少し難しいですが、やはり、対数と指数の関係がわかっていれば簡単な問題です。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


指数と対数の間には、

ａ^b＝ｃならばｌｏｇ[a]ｃ＝ｂ
(ａのｂ乗はｃ)　(底がａ，真数がｃの対数はｂ)

という関係が成り立ちます。

ｌｏｇ[2](ｘ＋１)＝３は、２^3＝ｘ＋１と書き直すことができますね。
あとはこれを普通に解けばＯＫです。

２^3＝ｘ＋１
　８＝ｘ＋１
　ｘ＝８−１
　ｘ＝７


次の問題→対数の足し算を含む方程式
前の問題→ｌｏｇ[5]ｘ


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高校数学「対数方程式」�@

高校数学「対数方程式」�@

対数方程式ｌｏｇ[5]ｘ＝２を解け。


対数と指数の関係がわかっていれば簡単な問題です。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


指数と対数の間には、

ａ^b＝ｃならばｌｏｇ[a]ｃ＝ｂ
(ａのｂ乗はｃ)　(底がａ，真数がｃの対数はｂ)

という関係が成り立ちます。

ｌｏｇ[a]ｃはすなわち、「ａをｃにするには何乗か？」を意味します。

今回の問題の「ｌｏｇ[5]ｘ＝２」は、「５をｘにするには２乗する」を意味します。

だから、ｘ＝２５ですね。

または、指数と対数の関係より、

ｘ＝５^2＝２５

と考えることもできます。


次の問題→ｌｏｇ[2](ｘ＋１)＝３


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高校数学「対数関数」�A

高校数学「対数関数」�A

関数ｙ＝(ｌｏｇ[2]ｘ)^2−ｌｏｇ[2](ｘ^4)＋６について、次の問いに答えよ。
(1) ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘとして、与式をｔで表せ。
(2) １≦ｘ≦８のとき、ｙの最大値・最小値を求めよ。


１≦ｘ≦８のとき、ｔの範囲がどうなるかに気をつけて、普通に最大最小をやればＯＫです。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


(1)から、ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘとすると、ｙ＝ｔ^2−４ｔ＋６であることがわかっています。
この関数の最大最小を求めたい。という問題です。

ｙ＝ｔ^2−４ｔ＋６は、ｔの２次関数になっているので、２次関数の最大最小を普通にやればＯＫ！というわけです。
すなわち、まずは平方完成ですね！

ｙ＝ｔ^2−４ｔ＋６
　＝(ｔ−２)^2−４＋６
　＝(ｔ−２)^2＋２

よって、ｔ＝２のときｙ＝２が頂点です。

１≦ｘ≦８なので、０≦ｌｏｇ[2]ｘ≦３すなわち０≦ｔ≦３です。
ｔ＝２はこの範囲に入っていて、ｔ^2の係数はプラスなので、下に凸の放物線だから、頂点が最小値です。

さらに、ｔ＝ｌｏｇ[2]ｘより、ｌｏｇ[2]ｘ＝２すなわち、ｘ＝４のとき最小値２

定義域の両端のうち、頂点から遠い方が最大値なので、ｔ＝０すなわち、ｘ＝１のとき、最大値６

となります。


前の問題→ｌｏｇ[2]ｘをｔで表す


指数・対数まとめ


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