高校数学「微分」「平均変化率」�@

高校数学「微分」「平均変化率」�@

■　問題

関数ｆ(ｘ)＝−ｘ^2において、ｘが１から１＋ｈまで増加するときの平均変化率を求めよ。


■　ひとこと

平均変化率は、要するに変化の割合ですね。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。




■　解答解説

平均変化率は「ｘの１増加に対するｙの増加の割合」です。つまり、「変化の割合」です。

「(変化の割合)＝(ｙの増加量)／(ｘの増加量)」だから「(平均変化率)＝(ｙの増加量)／(ｘの増加量)」です。

今回の問題では、ｘは１から１＋ｈまで増加するので、ｘの増加量は(１＋ｈ)−１です。

ｙの増加量は、このｘに対応するｙの座標の差です。つまり、ｆ(１＋ｈ)−ｆ(１)です。

ということで、

(平均変化率)＝{ｆ(１＋ｈ)−ｆ(１)}／{(１＋ｈ)−１}
　　　　　＝{−(１＋ｈ)^2−(−１^2)}／ｈ
　　　　　＝{−(１＋２ｈ＋ｈ^2)＋１}／ｈ
　　　　　＝(−１−２ｈ−ｈ^2＋１)／ｈ
　　　　　＝(−２ｈ−ｈ^2)／ｈ
　　　　　＝−２−ｈ　　　　　　←ｈで約分した


次の問題→−１から−１＋ｈのとき

関連項目
公式に従った微分
接線の方程式


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学１Ａ第４問

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学第４問を解説します。


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の冒頭部分を配信していきます。
まずはこのメルマガで雰囲気を掴んでいただければ幸いです。


リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2019年センター試験数１Ａより

第４問

(1) 不定方程式

　　４９ｘ−２３ｙ＝１

の解となる自然数ｘ，ｙの中で、ｘの値が最小のものは

　　ｘ＝[ア]，ｙ＝[イウ]

であり、すべての整数解は、ｋを整数として

　　ｘ＝[エオ]ｋ＋[ア]，ｙ＝[カキ]＋[イウ]

と表せる。

(2) ４９の倍数である自然数Ａと２３の倍数である自然数Ｂの組(Ａ，Ｂ)を考える。
ＡとＢの差の絶対値が１となる組(Ａ，Ｂ)の中で、Ａが最小になるのは

　　(Ａ，Ｂ)＝(４９×[ク]，２３×[ケコ])

である。また、ＡとＢの差の絶対値が２となる組(Ａ，Ｂ)の中で、Ａが最小になる
のは

　　(Ａ，Ｂ)＝(４９×[サ]，２３×[シス])

である。

(3) 連続する三つの自然数ａ，ａ＋１，ａ＋２を考える。

　　ａとａ＋１の最大公約数は１
　　ａ＋１とａ＋２の最大公約数は１
　　ａとａ＋２の最大公約数は１または[セ]

である。
　また、次の条件がすべての自然数ａで成り立つような自然数ｍのうち、最大の
ものはｍ＝[ソ]である。

　　条件：ａ(ａ＋１)(ａ＋２)はｍの倍数である。

(4) ６７６２を素因数分解すると

　　６７６２＝２×[タ]×７^[チ]×[ツテ]

である。
　ｂをｂ(ｂ＋１)(ｂ＋２)が６７６２の倍数となる最小の自然数とする。
このとき、ｂ，ｂ＋１，ｂ＋２のいずれかは７^[チ]の倍数であり、また、
ｂ，ｂ＋１，ｂ＋２のいずれかは[ツテ]の倍数である。したがって、
ｂ＝[トナニ]である。


※分数は(分子)／(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、ｘの２乗はｘ^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　全部解いてから選択が理想だが・・・
　◆２　特殊解はひたすら代入でもＯＫ！
　◆３　ｙが自然数になる場合を探して

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　特殊解はひたすら代入でもＯＫ！

では今回の問題です。

今回はまず最初に不定方程式の解を尋ねる問題が出題されました。

「４９ｘ−２３ｙ＝１の解となる自然数ｘ，ｙの中で、ｘの値が最小のもの」

を聞いていますね。

このような特定の解のことを「特殊解」と呼びます。
特殊解の求め方の一つは、「とにかくいろいろ代入してみる」です！(笑)

もちろん、ただ単に闇雲に代入してもなかなか解決しません。
まずここでは、闇雲にやるよりは少しだけ効率的に探す方法でやってみたいと
思います。

それは

「ｘ，ｙの係数で大きいのはｘの４９なので、ｘに１から順に数字を入れて
そのときのｙの値を求めてみる」

という方法です。
「そんな原始的な・・・」と思う人も多いと思いますが、特殊解を一つ出すだけ
なら、むしろコレが一番簡単な場合も多いです。


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　◆３　ｙが自然数になる場合を探して

では実際にやってみましょう！

ｘ＝１のとき
４９−２３ｙ＝１
　　−２３ｙ＝−４８
　　　　　ｙ＝４８／２３

問題の設定により、ｘ，ｙは自然数なので、ｙの解が自然数でない場合は不適です。
つまり、ｘ＝１のときはこの不定方程式を満たす解は得られない。ということが
できます。以下同様にやってみると・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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書き換え英作文問題「疑問文」「疑問詞」「間接疑問文」

書き換え英作文問題「疑問文」「疑問詞」「間接疑問文」


次の英文を指示に従って書き換えよ。
�@[He] went to �A[Australia] �B[last week].

1. yes/noで答える疑問文に

───────────────────────────────────────　
2. 下線部�@を問う疑問文に

───────────────────────────────────────　
3. 下線部�Aを問う疑問文に

───────────────────────────────────────　
4. 下線部�Bを問う疑問文に

───────────────────────────────────────　
5. 「私は彼がいつオーストラリアに行ったか知りません」となるように

───────────────────────────────────────　


解答解説はこちら


今回の問題は、次の書籍のP.70にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



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高校物理「気体の状態変化」「状態方程式」

高校物理「気体の状態変化」「状態方程式」

単原子分子からなる気体を容器に入れ、密封した。この気体の温度が２００[Ｋ]，体積は８．３×１０^(-3)[ｍ^3]，圧力は１．０×１０^5[Ｐａ]のとき、封入した気体の物質量を求めよ。ただし、気体定数を８．３[Ｊ／(ｍｏｌ・Ｋ)]とする。


温度、体積、圧力、気体定数がわかっているなら、化学でも登場する「状態方程式」が使えますね！


解き方の習得におすすめの問題集です。



理想気体の状態方程式は、

ｐＶ＝ｎＲＴ

です。
ｐは圧力、Ｖは体積、ｎは物質量、Ｒは気体定数、Ｔは絶対温度です。
気体はこのような関係が成り立つので、これら５つのパラメータのうち４つがわかれば残り１つがわかる。というわけです。

今回の問題では、Ｐ＝１．０×１０^5，Ｖ＝８．３×１０^(-3)，Ｒ＝８．３，Ｔ＝２００で、ｎを求めます。
まずはｎについて解いておくと、

ｎ＝ＰＶ／ＲＴ

ですね。これに値をそれぞれ代入して計算すればｎが出てきます。

ｎ＝{１．０×１０^5×８．３×１０^(-3)}／(８．３×２００)
　＝(８．３×１００)／(８．３×２００)
　＝１／２
　＝０．５０[ｍｏｌ]


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高校数学「ベクトル」「内分」「ｔ：１−ｔとおくとき」

高校数学「ベクトル」「内分」「ｔ：１−ｔとおくとき」

■　問題

△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢを２：１に内分する点をＤ，辺ＢＣの中点をＭとし、線分ＤＣと線分ＡＭの交点をＥとする。→ＡＢ＝→ｂ，→ＡＣ＝→ｃとするとき、→ＡＥを→ｂ，→ｃを用いて表せ。


■　選択肢

このとき普通は何をすればいいでしょうか？(複数選択)

�@ＥはＡＭ上にあるので、→ＡＥ＝ｋ・→ＡＭとおく
�AＥはＣＤをｔ：１−ｔに内分すると考えて、ＣＥ：ＥＤ＝ｔ：１−ｔとおく
�BＥはＣＤの真ん中なので、→ＡＥ＝(→ＡＤ＋→ＡＣ)／２とする
�C→ＡＥを２通りの方法で表して、イコールで結ぶ


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�@ＥはＡＭ上にあるので、→ＡＥ＝ｋ・→ＡＭとおく
�AＥはＣＤをｔ：１−ｔに内分すると考えて、ＣＥ：ＥＤ＝ｔ：１−ｔとおく
�C→ＡＥを２通りの方法で表して、イコールで結ぶ

三角形の頂点から対辺に直線を引き、交点を考える場合は、このように考えると解けることが多いです。


■　解答解説

まずは、点ＥはＡＭ上にあることから、→ＡＥ＝ｋ・→ＡＭと表すことができます。(選択肢�@)
さらに、点ＭはＢＣの中点なので、中点の公式(１：１に内分する場合)より、→ＡＭ＝(→ｂ＋→ｃ)／２と表すことができます。
これらを組み合わせると、

→ＡＥ＝ｋ(→ｂ＋→ｃ)／２


次に、点ＥはＣＤ上にあることから、ＣＤをｔ：１−ｔに内分すると考えて、内分の式を作ります。(選択肢�A)

→ＡＥ＝{(１−ｔ)・→ＡＣ＋ｔ・→ＡＤ}／(ｔ＋１−ｔ)

ＤはＡＢを１：２に内分するので、→ＡＤ＝(２／３)・→ＡＢ＝(２／３)・→ｂとして、整理すると、

→ＡＥ＝(１−ｔ)・→ｃ＋(２／３)ｔ・→ｂ


→ＡＥを２通りの方法で表しました。同じベクトルなので、イコールで結ぶことができます。(選択肢�C)

　　　　　ｋ(→ｂ＋→ｃ)／２＝(１−ｔ)・→ｃ＋(２／３)ｔ・→ｂ
(ｋ／２)・→ｂ＋(ｋ／２)・→ｃ＝(２／３)ｔ・→ｂ＋(１−ｔ)・→ｃ

両辺の係数を比較すると、

ｋ／２＝(２／３)ｔ，ｋ／２＝１−ｔ

よって、(２／３)ｔ＝１−ｔより、ｔ＝３／５

ｔ＝３／５を代入して、ｋ／２＝(２／３)・(３／５)より、ｋ＝４／５が得られます。


→ＡＥ＝ｋ(→ｂ＋→ｃ)／２にｋ＝４／５を代入して、

→ＡＥ＝(４／５)(→ｂ＋→ｃ)／２
　　　＝(２／５)・→ｂ＋(２／５)・→ｃ


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高校数学「対数」「底の変換」

高校数学「対数」「底の変換」

■　問題

ｌｏｇ[4](ｙ＋３)を底が２の対数に変換せよ。


■　選択肢

このときはどうすればいいでしょうか？

�@底を半分にするので、真数も半分にする
�A底から２を引くので、真数からも２を引く
�B底は自由に変えてよいから、底を２に変えるだけ
�Cどれでもない


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�Cどれでもない

底を変えたい場合は、底の変換公式を使います。
ｌｏｇ[a]ｂ＝ｌｏｇ[c]ｂ／ｌｏｇ[c]ａ
この公式を使えば、ｃの値は自由に変えることができます。


■　解答解説

底の変換公式を使えば、底を自由な値にすることができます。
今回の問題では、底を２にしたいので、ｌｏｇ[a]ｂ＝ｌｏｇ[c]ｂ／ｌｏｇ[c]ａにおいて、ｃ＝２とします。

　ｌｏｇ[4](ｙ＋３)
＝ｌｏｇ[2](ｙ＋３)／ｌｏｇ[2]４
＝ｌｏｇ[2](ｙ＋３)／２


ちなみにこれは2019年センター数学２Ｂ第１問[2]の冒頭の問題です。


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書き換え英作文解答「現在完了形」「受動態」

書き換え英作文解答「現在完了形」「受動態」


ここは「They use cars.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!


今回の問題は、次の書籍のP.63にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



They use cars. (彼らは車を使います)


1. 現在完了形に→動詞を「have ＋ 過去分詞」の形に
They have used cars. (彼らは車を使ったことがあります)など


2. 1番を否定文に(neverを使って)→haveとusedの間にneverを入れる
They have never used cars. (彼らは車を使ったことはありません)


3. 1番を疑問文に(everを使って)→haveを文頭に移動し、主語と動詞の間にeverを入れる
Have they ever used cars? (彼らは車を使ったことがありますか?)


4. 受動態の文に→carsを主語にして、動詞を「be動詞＋過去分詞」に
Cars are used by them. (車は彼らによって使われます)


5. 4番を疑問文に→be動詞があるので、be動詞を文頭に
Are cars used by them? (車は彼らによって使われますか?)


直接指導の授業、英語の通信添削利用者には、さらに詳しい解説や、他の解答例も示しています。
皆様もぜひ、えまじゅくのメール添削をご利用ください。

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本日配信のメルマガ。センター英語の特徴と取り組み方

本日配信のメルマガでは、センター英語の特徴と取り組み方を解説します。


まず今回は「センター試験の特徴」について述べていきたいと思います。

これを読んでいる皆さんは、すでに何年分もの過去問を解いていて、センター試験
の英語がどんな特徴があるかご存知かと思いますが、おさらいの意味も含めて
読んでもらえると嬉しいです。


[1] センター英語は時間が足りない

英語に限らずですが、センター試験は、時間に対して問題数が多めです。
80分で、長文問題を含めて55ヶ所程度マークしなければいけません。
文章も、80分の割には分量が多めだと思います。
じっくり文章を読んでから、丁寧に選択肢を検討して・・・というスタンスで
問題に取り組んでいると、まず間に合いません。

現役生は特に、「学校のテストなら楽勝だけど、センターは間に合わない」
という人が多いと思います。


[2] 問題や文章の難易度はそれほど高くない

文章や登場する語句、問題の難易度は、大学入試問題としては特に難しく
ありません。
文法問題、説明文の問題はやや難しいものも含まれますが・・・


━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

解説の続きは、本日21時配信予定の

【高校英語】過去問攻略！センター英語
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に掲載します！
文法セクションはもちろん、第６問の長文まで、翻訳も行っている著者が、
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月・水・土配信。\540/月。最初の１ヶ月は無料です。


ブログにもメルマガの記事を分割して掲載しています。

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高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�B

高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�B

■　問題

数列{ａn}の初項から第ｎ項までの和Ｓnと一般項ａnの関係式がａn＝２Ｓn＋２ｎ−３で表されるとき、次の問いに答えよ。
(1) ａ1を求めよ。
(2) ａn+1とａnの関係式を求めよ。

このページでは、次の問題について解説します。

ａnを求めよ。


■　選択肢

(1)でａ1＝１，(2)でａn+1＝−ａn−２がわかっているとき、ここからどうすればいいでしょうか？


�@この漸化式は等差数列なので、等差数列の一般項の公式を使う
�Aこの漸化式は等比数列なので、等比数列の一般項の公式を使う
�Bこの漸化式は群数列なので、群数列の一般項の公式を使う
�Cこの漸化式は等差数列と等比数列が複合しているので、ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)の形にする


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�Cこの漸化式は等差数列と等比数列が複合しているので、ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)の形にする

ａn+1＝−ａn−２は、ｎ項目からｎ＋１項目にいくときに、−１をかけて２を引くので、一度に等比と等差両方の操作をします。これを解決するには、ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)の形にするのがノーマルな解き方です。


■　解答解説

このタイプの漸化式の問題を解くときは、いくつかの方法が可能ですが、個人的にはａn+1−α＝ｐ(ａn−α)を与式と同じ形に変形することをおすすめしています。

ａn+1−α＝ｐ(ａn−α)
　ａn+1＝ｐ・ａn−ｐα＋α

この式と、ａn+1＝−ａn−２を比較すると、

ｐ＝−１，−ｐα＋α＝−２

が得られます。これらを連立して解くと、

−(−１)α＋α＝−２
　　　　２α＝−２
　　　　　α＝−１

よって、ａn+1−(−１)＝−１{ａn−(−１)}すなわちａn+1＋１＝−(ａn＋１)が得られます。

ここでａn＋１＝ｂnとおくと、ａn+1＋１＝ｂn+1なので、ａn+1＋１＝−(ａn＋１)に左右それぞれ置き換えると、

ｂn+1＝−ｂn

となります。
これは「次の項にいくたびに−１を掛ける」ことを意味するので、ｂnは公比が−１の等比数列です。

ａn＋１＝ｂnより、ｎ＝１のときａ1＋１＝ｂ1だから、ｂ1＝１＋１＝２です。

つまりｂnは、初項２，公比−１の等比数列です。等比数列の一般項の公式に代入すると、

ｂn＝２・(−１)^(n-1)

ａn＋１＝ｂnより、ａn＝ｂn−１だから、

ａn＝２・(−１)^(n-1)−１

となります。


前の問題→(2) ａn+1とａnの関係式を求めよ。

最初に戻る→(1) ａ1を求めよ。


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学１Ａ第３問

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■　問題

2019年センター試験数１Ａより

第３問

　赤い袋には赤球２個と白球１個が入っており、白い袋には赤球１個と白球１個が
入っている。
　最初に、さいころ１個を投げて、３の倍数の目が出たら白い袋を選び、それ以外
の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球を１個取り出して、球の色を確認して
その袋に戻す。ここまでの操作を１回目の操作とする。２回目と３回目の操作では、
直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を１個取り出して、球の色を確認して
その袋に戻す。

(1) １回目の操作で、赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は[ア]／[イ]であり、
白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は[ウ]／[エ]である。

(2) ２回目の操作が白い袋で行われる確率は[オ]／[カキ]である。

(3) １回目の操作で白球を取り出す確率をｐで表すと、２回目の操作で白球が
取り出される確率は([ク]／[ケ])ｐ＋１／３と表される。

よって、２回目の操作で白球が取り出される確率は[コサ]／[シスセ]である。

　同様に考えると、３回目の操作で白球が取り出される確率は[ソタチ]／[ツテト]
である。

(4) ２回目の操作で取り出した球が白球であったとき、その球を取り出した袋の
色が白である条件付き確率は[ナニ]／[ヌネ]である。

　また、３回目の操作で取り出した球が白球であったとき、はじめて白球が取り
出されたのが３回目の操作である条件付き確率は[ノハ]／[ヒフヘ]である。


※分数は(分子)／(分母)、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　全部解いてから選択が理想だが・・・
　◆２　内容をよく把握して
　◆３　連続して起こることは掛ける

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　内容をよく把握して

場合の数・確率の問題では、問題の設定を理解してから取り組むことが必要です。
内容がわからずに適当に数字を組み合わせても、まず当たりません。
逆に、内容がわかれば、とんでもなく簡単な場合もあります(笑)

今回の問題も、序盤は中学レベルと言っても良いくらいですね！
まずは内容をしっかり確認しましょう！


「赤い袋には赤球２個と白球１個が入っており、白い袋には赤球１個と白球１個が
入っている」

そうです。赤い袋と白い袋があり、それぞれ赤と白の球が入っているようですね。


「最初に、さいころ１個を投げて、３の倍数の目が出たら白い袋を選び、それ以外
の目が出たら赤い袋を選び、選んだ袋から球を１個取り出して、球の色を確認して
その袋に戻す」


という操作をするようです。
さらに、「ここまでの操作を１回目の操作とする」と言っています。

次に、


「２回目と３回目の操作では、直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を１個
取り出して、球の色を確認してその袋に戻す」


１回目の操作に続いて、このような操作をするようです。

ここまで、この問題でどのような操作をするか理解できましたか？
よく理解できたら、次へ行ってみましょう！


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　◆３　連続して起こることは掛ける

(1)の問題では、１回目の操作について考えます。

赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率を考えます。

操作の仕方は、「さいころ１個を投げ、３の倍数の目が出たら白い袋」から球を
取り出すので、赤い袋は３の倍数以外の目の場合ですね。

ということで、赤い袋が選ばれる確率は４／６＝２／３です。

「赤い袋には赤球２個と白球１個が入って」いるので・・・


つづく


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高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�A

高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�A

■　問題

数列{ａn}の初項から第ｎ項までの和Ｓnと一般項ａnの関係式がａn＝２Ｓn＋２ｎ−３で表されるとき、次の問いに答えよ。
(1) ａ1を求めよ。

このページでは、次の問題について解説します。

(2) ａn+1とａnの関係式を求めよ。


■　選択肢

このときまず最初にｎにｎ＋１を代入すると、ａn+1＝２Ｓn+1＋２(ｎ＋１)−３となります。
このあとはどうすればはいいでしょうか？(複数選択)

�@両辺から１をひく
�AＳn+1＝Ｓn＋ａn+1と置き換える
�Bａn+1の式とａnの式を差し引く
�C野となれ山となれ


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�AＳn+1＝Ｓn＋ａn+1と置き換える
�Bａn+1の式とａnの式を差し引く

「ａn+1とａnの関係式を求める」ということは、つまり「Ｓnを消去する」と考えます。


■　解答解説

ａn+1とａnの関係式を求めるので、何はともあれａn+1が登場しないことには始まりません。
まずは与式にｎ＝ｎ＋１を代入してみます。

ａn+1＝２Ｓn+1＋２(ｎ＋１)−３

問題の指示に合わせるためには、Ｓn+1(やＳn)を消去する必要があります。
Ｓn+1は「数列ａnの初項からｎ＋１項目までの和」なので、

Ｓn+1＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａn＋ａn+1

ですね。
Ｓnも同様に考えると、Ｓn＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａnなので、

Ｓn+1＝Ｓn＋ａn+1

ということができます。(選択肢�A)
これを用いて置き換えれば、

ａn+1＝２(Ｓn＋ａn+1)＋２(ｎ＋１)−３
ａn+1＝２Ｓn＋２ａn+1＋２(ｎ＋１)−３

とすることができます。
これから与式ａnを差し引けば、うまいことＳnが消えますね！(選択肢�B)

　　ａn+1＝２Ｓn＋２ａn+1＋２(ｎ＋１)−３
−）　ａn＝２Ｓn＋　　　　　　２ｎ　−３
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ａn+1−ａn＝２ａn+1＋２

あとは移項して整理すれば、ａn+1とａnの関係式が得られます。

ａn+1−２ａn+1＝ａn＋２
　　　−ａn+1＝ａn＋２
　　　　ａn+1＝−ａn−２


次の問題→ａnの一般項

前の問題→(1) ａ1を求めよ。


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高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�@

高校数学「数列」「Ｓnがわかっているとき」�@

■　問題

数列{ａn}の初項から第ｎ項までの和Ｓnと一般項ａnの関係式がａn＝２Ｓn＋２ｎ−３で表されるとき、次の問いに答えよ。
(1) ａ1を求めよ。


■　選択肢

このときはどうすればはいいでしょうか？

�@ａ1は書いてないから出せない
�Aａ1は初項で、数列は１から始まるからａ1＝１
�Bｎに１を代入する。Ｓ1は・・・書いてないので無視する
�Cｎに１を代入する。さらにＳ1＝ａ1に置き換える


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　選択肢の解答

�Cｎに１を代入する。さらにＳ1＝ａ1に置き換える

初項ａ1は、ｎ＝１のときなので、与式のｎに１を代入してみればＯＫです！


■　解答解説

与式ａn＝２Ｓn＋２ｎ−３にｎ＝１を代入すると、

ａ1＝２Ｓ1＋２−３

ここで、Ｓ1とは「第１項目までの和」だからすなわちａ1です。
Ｓ1に含まれる項はａ1しかありませんね。
だから、Ｓ1＝ａ1です。

ａ1＝２ａ1＋２−３
−ａ1＝−１
　ａ1＝１


ちなみに、「�Aａ1は初項で、数列は１から始まるからａ1＝１」の選択肢が、ａ1の値としては正しくなってしまったのは偶然です(笑)
初項だからといって、必ずしも１になるとは限りません。


次の問題→ａn+1とａnの関係式


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書き換え英作文問題「現在完了形」「受動態」

書き換え英作文問題「現在完了形」「受動態」


指示に従って書き換えよ。
They use cars.

1. 現在完了形に

───────────────────────────────────────　
2. 1番を否定文に(neverを使って)

───────────────────────────────────────　
3. 1番を疑問文に(everを使って)

───────────────────────────────────────　
4. 受動態の文に

───────────────────────────────────────　
5. 4番を疑問文に

───────────────────────────────────────　


解答解説はこちら


今回の問題は、次の書籍のP.63にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



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高校物理「気体の状態変化」「内部エネルギー」

高校物理「気体の状態変化」「内部エネルギー」

２．０ｍｏｌの単原子分子の理想気体の温度を２７３Ｋから３２３Ｋに上げたときの内部エネルギーの変化を求めよ。ただし、気体定数を８．３とする。


単原子分子の気体の内部エネルギーは、Ｕ＝(３／２)ｎＲＴで求めることができます。


解き方の習得におすすめの問題集です。



「内部エネルギーの変化」を求めるので、ΔＵ，ΔＴに置き換えると、

ΔＵ＝(３／２)ｎＲΔＴ

ですね。

今回の問題では、ｎ＝２．０，Ｒ＝８．３，Ｔ＝３２３−２７３＝５０を代入して、

ΔＵ＝(３／２)×２．０×８．３×５０
　＝１５０×８．３
　＝１２４５
　≒１．２５×１０^3[Ｊ]


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高校物理「気体の状態変化」「断熱変化」

高校物理「気体の状態変化」「断熱変化」

単原子分子の理想気体４．０ｍｏｌがシリンダーの中に入っている。熱の出入りがないようにして気体を膨張させたところ、気体は外部に３．６×１０^3Ｊの仕事をした。気体の内部エネルギーの変化と気体の温度変化を求めよ。ただし、Ｕ＝(３／２)ｎＲＴにおいて、Ｒ＝８．３とする。


仕事とエネルギーの単位は同じですね。
温度変化についてはＵ＝(３／２)ｎＲＴを用います。


解き方の習得におすすめの問題集です。



仕事事の単位とエネルギーの単位は同じで、Ｊ(ジュール)ですね。
だから、「仕事＝エネルギー」となることがあります。

気体が「外部に３．６×１０^3Ｊの仕事をした」ということは、それだけのエネルギーを消費したので、気体の内部エネルギーは３．６×１０^3Ｊだけ減少しているはずです。
よって、気体の内部エネルギーの変化は、−３．６×１０^3Ｊ


次に、気体の温度変化について考えます。
単原子分子の理想気体のエネルギーと温度に関しては、次の式が成り立つことが知られています。

Ｕ＝(３／２)ｎＲＴ

Ｕがエネルギーで、ｎが物質量、Ｒは気体定数、Ｔは絶対温度です。

エネルギーと温度の変化について考える場合、それぞれにΔをつけて、

ΔＵ＝(３／２)ｎＲΔＴ

と書き換えることができます。

今回の問題では、ΔＵ＝−３．６×１０^3，ｎ＝４．０，Ｒ＝８．３なので、

−３．６×１０^3＝(３／２)×４．０×８．３×ΔＴより、

ΔＴ＝(−３．６×１０^3)／(４．０×８．３)
　＝−(０．９×１０^3)／８．３
　＝−７２．２…
　≒−７２[Ｋ]


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学２Ｂ第４問

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問を解説します。


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リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2019年大学入試センター試験数学２Ｂより

第４問

　四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣＤを考える。四角形ＡＢＣＤは、
辺ＡＤと辺ＢＣが平行で、ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤを満たすとする。
　　　　 →　 →　 →　 →　 →　 →
さらに、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとして
　　 →　　　　→　　　　　→
　　|ａ|＝１，|ｂ|＝√３，|ｃ|＝√５
　　→　→　　　→　→　　　→　→
　　ａ・ｂ＝１，ｂ・ｃ＝３，ａ・ｃ＝０

であるとする。

(1) ∠ＡＯＣ＝[アイ]°により、三角形ＯＡＣの面積は√[ウ]／[エ]である。
　　 →　　→　　　　　　 →　　　　　　　→
(2) ＢＡ・ＢＣ＝[オカ]，|ＢＡ|＝√[キ]，|ＢＣ|＝√[ク]であるから、
∠ＡＢＣ＝[ケコサ]°である。さらに、辺ＡＤと辺ＢＣが平行であるから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　　　　　→
∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＣ＝[シス]°である。よって、ＡＤ＝[セ]・ＢＣであり
　　 →　 →　　　　→　　　　→
　　ＯＤ＝ａ−[ソ]・ｂ＋[タ]・ｃ

と表される。また、四角形ＡＢＣＤの面積は([チ]√[ツ])／[テ]である。

(3) 三角形ＯＡＣを底面とする三角錐ＢＯＡＣの体積Ｖを求めよう。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 →　 →　 →　 →
　３点Ｏ，Ａ，Ｃの定める平面α上に、点ＨをＢＨ⊥ａとＢＨ⊥ｃが成り立つ
　　　　　　　→
ようにとる。|ＢＨ|は三角錐ＢＯＡＣの高さである。Ｈはα上の点であるから、
　　　　　　　　　 →　　　 →　　　→
実数ｓ，ｔを用いてＯＨ＝ｓ・ａ＋ｔ・ｃの形に表される。
　 →　 →　　　　 →　 →
　ＢＨ・ａ＝[ト]，ＢＨ・ｃ＝[ト]により、ｓ＝[ナ]，ｔ＝[ニ]／[ヌ]である。
　　　　　→
よって、|ＢＨ|＝√[ネ]／[ノ]が得られる。したがって、(1)により、
Ｖ＝[ハ]／[ヒ]であることがわかる。

(4) (3)のＶを用いると、四角錐ＯＡＢＣＤの体積は[フ]Ｖと表せる。さらに、
四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣの高さは√[ヘ]／[ホ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　ベクトルの成分と大きさ
　◆２　ベクトルの足し算とかけ算
　◆３　まずは設定を確認
　◆４　内積がゼロ→９０°

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆３　まずは設定を確認

では今回の問題です。
まずは問題の内容を確認しましょう！


　四角形ＡＢＣＤを底面とする四角錐ＯＡＢＣＤを考える。四角形ＡＢＣＤは、
辺ＡＤと辺ＢＣが平行で、ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤを満たすとする。
　　　　 →　 →　 →　 →　 →　 →
さらに、ＯＡ＝ａ，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとして
　　 →　　　　→　　　　　→
　　|ａ|＝１，|ｂ|＝√３，|ｃ|＝√５
　　→　→　　　→　→　　　→　→
　　ａ・ｂ＝１，ｂ・ｃ＝３，ａ・ｃ＝０

であるとする。

四角錐ＯＡＢＣＤは、四角形ＡＢＣＤが底面で、Ｏが頂点ですね。
そして、ＡＤ平行ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤだそうです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　→　→　→
そして頂点Ｏから底面のＡ，Ｂ，Ｃへのベクトルをａ，ｂ，ｃとしているようです。

そしてこれらの３つのベクトルの内積が与えられている。という設定です。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　◆４　内積がゼロ→９０°

では、最初の設問です。

∠ＡＯＣの大きさを聞いています。

唐突のように見えるかも知れませんが、ここまでの設定から論理の飛躍なく、
求めることができるからまず最初に聞いている。と考えると、気づきやすいと
思います。

ベクトルに関して、角度を使う事柄は何があるかといえば・・・


(以下略)


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書き換え英作文解答「進行形」「現在完了形」「受動態」

書き換え英作文解答「進行形」「現在完了形」「受動態」


ここは「She studies English hard.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!


今回の問題は、次の書籍のP.63にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



She studies English hard. (彼女は英語を一生懸命に勉強します)

1. 現在進行形に→「be動詞＋〜ing」の形で、be動詞は現在形
She is studying English hard. (彼女は一生懸命に勉強しています)


2. 現在完了形に→「have＋過去分詞」の形。三単現なのでhaveはhasにする
She has studied English hard. (彼女は一生懸命に勉強したことがあります/したところです/し続けています)


3. 2番を否定文に→haveの後にnot
She hasn't studied English hard. (彼女は一生懸命に英語を勉強したことがありません)


4. 2番を疑問文に→haveを文頭に置き、文尾に？
Has she studied English hard? (彼女は一生懸命に英語を勉強しましたか)


5. 次の書き出しで受動態に→「英語は勉強される」とするので、「be動詞＋過去分詞」の形。意味上の主語は「by 〜」の形で表す
English is studied hard by her.


直接指導の授業、英語の通信添削利用者には、さらに詳しい解説や、他の解答例も示しています。
皆様もぜひ、えまじゅくのメール添削をご利用ください。

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中学数学「２次関数」「変化の割合」

中学数学「２次関数」「変化の割合」

■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘが−２から１まで変化するときの変化の割合を求めよ。


■選択肢

このとき適切な考え方はどれでしょうか？

�@変化の割合はａだから、２
�A変化の割合はｙ座標の増加量だから、ｘ＝１のときのｙの値からｘ＝−２のときのｙの値を引く
�B変化の割合はｘ座標の増加量だから、１から−２を引く
�C変化の割合は(ｙの増加量／ｘの増加量)だから、ｘ＝１，ｘ＝−２の差と、それらを代入した場合のｙ座標の差を求める


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�C変化の割合は(ｙの増加量／ｘの増加量)だから、ｘ＝１，ｘ＝−２の差と、それらを代入した場合のｙ座標の差を求める

変化の割合は、ｘが１増加したときのｙの増加量です。
だから、ｙの増加量をｘの増加量で割ると求められます。


■解答

ｘの増加量＝１−(−２)＝１＋２＝３

ｙの増加量＝２×１^2−{２×(−２)^2}＝２−８＝−６

「変化の割合＝ｘの増加量／ｙの増加量」だから、これらの値を割り算します。

３／(−６)＝−１／２


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書き換え英作文問題「進行形」「現在完了形」「受動態」

書き換え英作文問題「進行形」「現在完了形」「受動態」


指示に従って書き換えよ。
She studies English hard.

1. 現在進行形に

───────────────────────────────────────　
2. 現在完了形に

───────────────────────────────────────　
3. 2番を否定文に

───────────────────────────────────────　
4. 2番を疑問文に

───────────────────────────────────────　
5. 次の書き出しで受動態に
English is
───────────────────────────────────────　


解答解説はこちら


◆文法事項の説明
進行形、現在完了形、疑問文、否定文、受動態



今回の問題は、次の書籍のP.63にも掲載されています。
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