2020年01月10日

高校数学「微分」「平均変化率」@

高校数学「微分」「平均変化率」@

■ 問題

関数f(x)=−x^2において、xが1から1+hまで増加するときの平均変化率を求めよ。


■ ひとこと

平均変化率は、要するに変化の割合ですね。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。




■ 解答解説

平均変化率は「xの1増加に対するyの増加の割合」です。つまり、「変化の割合」です。

「(変化の割合)=(yの増加量)/(xの増加量)」だから「(平均変化率)=(yの増加量)/(xの増加量)」です。

今回の問題では、xは1から1+hまで増加するので、xの増加量は(1+h)−1です。

yの増加量は、このxに対応するyの座標の差です。つまり、f(1+h)−f(1)です。

ということで、

(平均変化率)={f(1+h)−f(1)}/{(1+h)−1}
     ={−(1+h)^2−(−1^2)}/h
     ={−(1+2h+h^2)+1}/h
     =(−1−2h−h^2+1)/h
     =(−2h−h^2)/h
     =−2−h      ←hで約分した


次の問題→−1から−1+hのとき

関連項目
公式に従った微分
接線の方程式


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2019年センター数学1A第4問

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学第4問を解説します。


このメルマガでは、まぐまぐ!様より月額540円(初月無料)で配信中の

【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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の冒頭部分を配信していきます。
まずはこのメルマガで雰囲気を掴んでいただければ幸いです。


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第4問

(1) 不定方程式

  49x−23y=1

の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のものは

  x=[ア],y=[イウ]

であり、すべての整数解は、kを整数として

  x=[エオ]k+[ア],y=[カキ]+[イウ]

と表せる。

(2) 49の倍数である自然数Aと23の倍数である自然数Bの組(A,B)を考える。
AとBの差の絶対値が1となる組(A,B)の中で、Aが最小になるのは

  (A,B)=(49×[ク],23×[ケコ])

である。また、AとBの差の絶対値が2となる組(A,B)の中で、Aが最小になる
のは

  (A,B)=(49×[サ],23×[シス])

である。

(3) 連続する三つの自然数a,a+1,a+2を考える。

  aとa+1の最大公約数は1
  a+1とa+2の最大公約数は1
  aとa+2の最大公約数は1または[セ]

である。
 また、次の条件がすべての自然数aで成り立つような自然数mのうち、最大の
ものはm=[ソ]である。

  条件:a(a+1)(a+2)はmの倍数である。

(4) 6762を素因数分解すると

  6762=2×[タ]×7^[チ]×[ツテ]

である。
 bをb(b+1)(b+2)が6762の倍数となる最小の自然数とする。
このとき、b,b+1,b+2のいずれかは7^[チ]の倍数であり、また、
b,b+1,b+2のいずれかは[ツテ]の倍数である。したがって、
b=[トナニ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
 ◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!
 ◆3 yが自然数になる場合を探して

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!

では今回の問題です。

今回はまず最初に不定方程式の解を尋ねる問題が出題されました。

「49x−23y=1の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のもの」

を聞いていますね。

このような特定の解のことを「特殊解」と呼びます。
特殊解の求め方の一つは、「とにかくいろいろ代入してみる」です!(笑)

もちろん、ただ単に闇雲に代入してもなかなか解決しません。
まずここでは、闇雲にやるよりは少しだけ効率的に探す方法でやってみたいと
思います。

それは

「x,yの係数で大きいのはxの49なので、xに1から順に数字を入れて
そのときのyの値を求めてみる」

という方法です。
「そんな原始的な・・・」と思う人も多いと思いますが、特殊解を一つ出すだけ
なら、むしろコレが一番簡単な場合も多いです。


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 ◆3 yが自然数になる場合を探して

では実際にやってみましょう!

x=1のとき
49−23y=1
  −23y=−48
     y=48/23

問題の設定により、x,yは自然数なので、yの解が自然数でない場合は不適です。
つまり、x=1のときはこの不定方程式を満たす解は得られない。ということが
できます。以下同様にやってみると・・・


つづく


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ラベル:数学
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書き換え英作文問題「疑問文」「疑問詞」「間接疑問文」

書き換え英作文問題「疑問文」「疑問詞」「間接疑問文」


次の英文を指示に従って書き換えよ。
@[He] went to A[Australia] B[last week].

1. yes/noで答える疑問文に

─────────────────────────────────────── 
2. 下線部@を問う疑問文に

─────────────────────────────────────── 
3. 下線部Aを問う疑問文に

─────────────────────────────────────── 
4. 下線部Bを問う疑問文に

─────────────────────────────────────── 
5. 「私は彼がいつオーストラリアに行ったか知りません」となるように

─────────────────────────────────────── 


解答解説はこちら


今回の問題は、次の書籍のP.70にも掲載されています。
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ラベル:英語
posted by えま at 11:25| Comment(0) | 書き換え英作文 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校物理「気体の状態変化」「状態方程式」

高校物理「気体の状態変化」「状態方程式」

単原子分子からなる気体を容器に入れ、密封した。この気体の温度が200[K],体積は8.3×10^(-3)[m^3],圧力は1.0×10^5[Pa]のとき、封入した気体の物質量を求めよ。ただし、気体定数を8.3[J/(mol・K)]とする。


温度、体積、圧力、気体定数がわかっているなら、化学でも登場する「状態方程式」が使えますね!


解き方の習得におすすめの問題集です。



気体の状態方程式は、

pV=nRT

です。
pは圧力、Vは体積、nは物質量、Rは気体定数、Tは絶対温度です。
気体はこのような関係が成り立つので、これら5つのパラメータのうち4つがわかれば残り1つがわかる。というわけです。

今回の問題では、P=1.0×10^5,V=8.3×10^(-3),R=8.3,T=200で、nを求めます。
まずはnについて解いておくと、

n=PV/RT

ですね。これに値をそれぞれ代入して計算すればnが出てきます。

n={1.0×10^5×8.3×10^(-3)}/(8.3×200)
 =(8.3×100)/(8.3×200)
 =1/2
 =0.50[mol]


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