2020年02月04日

高校数学「積分」「部分積分法」

高校数学「積分」「部分積分法」

この記事では、部分積分法の式の導き方を解説します。

部分積分法の式は、積の微分法から導くことができます。

まず積の微分法は

{f(x)・g(x)}'=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)

ですね。

ここからf'(x)・g(x)を移項すると、

{f(x)・g(x)}'−f'(x)・g(x)=f(x)・g'(x)

さらに両辺を入れ替えれば

f(x)・g'(x)={f(x)・g(x)}'−f'(x)・g(x)

こんな式が得られます。
ここまでは、積の微分法の式を移項しただけです。

そして、この式の両辺を積分してみると、部分積分法の式になってしまいます。

∫f(x)・g'(x)dx=∫{f(x)・g(x)}'dx−∫f'(x)・g(x)dx

微分したものを積分するともとに戻るので、

∫f(x)・g'(x)dx=f(x)・g(x)−∫f'(x)・g(x)dx

これで、教科書等に載っている部分積分法の公式になりました。


関連項目→積の微分法


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2020年センター数学1A第1問[3] [ヌ]まで

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学1A第1問[3]のヌまでを解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2020年センター試験数1Aより

第1問

[3] cを定数とする。2次関数y=x^2のグラフを2点(c,0),(c+4,0)を
通るように平行移動して得られるグラフをGとする。

(1) Gをグラフにもつ2次関数は、cを用いて

 y=x^2−2(c+[ツ])+c(c+[テ])

と表せる。

 2点(3,0),(3,−3)を両端とする線分とGが共有点をもつようなcの値の
範囲は

 −[ト]≦c≦[ナ],[ニ]≦c≦[ヌ]

である。

(2) [ニ]≦c≦[ヌ]の場合を考える。Gが点(3,−1)を通るとき、Gは2次関数
y=x^2のグラフをx軸方向に[ネ]+√[ノ],y軸方向に[ハヒ]だけ平行移動した
ものである。また、このときGとy軸との交点のy座標は[フ]+[ヘ]√[ホ]である。


※xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 y座標がゼロならx軸上
 ◆2 x軸との交点は2次方程式の解

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 y座標がゼロならx軸上

2020年も第1問[3]は、2次関数の問題でした。
問題の配置としては、例年通りでしたが、問われた内容は少し珍しいものでした。
普段通り「まずは平方完成して・・・」とやろうとして戸惑ってしまった人も多い
と思います。
とは言っても、まずは問題の設定を確実に読み取り、どんなときに何をするか
しっかり把握していれば特に難しい問題ではなかったと思います。

というわけで、まずは問題の設定を確認してみましょう!

「cを定数とする。2次関数y=x^2のグラフを2点(c,0),(c+4,0)を
通るように平行移動して得られるグラフをGとする。」

とあります。Gのグラフが通る2点はどちらもy座標がゼロなので、これらの点は
ともにx軸上の点であることが読み取れるはずです。


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 ◆2 x軸との交点は2次方程式の解

最初の設問では、このGの式を求めます。

たとえばy=(x−1)(x−2)という2次関数ならば、x軸との交点は(1,0),
(2,0)ですね。
2次方程式(x−1)(x−2)=0の解がx軸との交点のx座標となります。

つまり、式が決まればx軸との交点が決まり、x軸との交点が決まれば式が決まる
という関係が成り立ちます。

Gは(c,0),(c+4,0)を通り、これら2点はx軸上の点であることが
わかっています。

さらに、y=x^2を平行移動したので、xの2乗の係数はそのまま1です。

ということは・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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2020年02月03日

本日配信のメルマガ。2020年センター英語第2問B完成

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験英語第2問Bを解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

第2問

B 次の問い(問1〜3)において、それぞれ下の{1}〜{6}の語句を並べかえて
空所を補い、最も適当な文を完成させよ。解答は[ 18 ]〜[ 23 ]に入れるものの
番号のみを答えよ。

問1
Tony: Those decorations in the hall look great, don't they? I'm glad we
finished on time.
Mei: Yes, thank you so much. Without your help, the preparations
__ [ 18 ] __ __ [ 19 ] __ all the guests arrive this afternoon.

{1} been  {2} by  {3} completed
{4} have  {5} the time  {6} would not


問2
Ichiro: Mr. Smith has two daughters in school now, right?
Natasha: Actually, he has three, the __ [ 20 ] __ __ [ 21 ] __
London. I don't think you've met her yet.

{1} in  {2} is studying  {3} music
{4} of  {5} whom  {6} youngest


問3
Peter: It might rain this weekend, so I wonder if we should still have
the class barbecue in the park.
Hikaru: Yeah, we have to decide now whether to hold it
__ [ 22 ] __ __ [ 23 ] __ until some day next week.
We should have thought about the chance of rain.

{1} as  {2} it  {3} off
{4} or  {5} planned  {6} put


※マーク部分の□は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

2020年も第2問Bは並べ替え問題でした。
並べ替え問題は、英文法の知識が充分で、慣れていれば最も確実に得点できる
問題形式です。逆に言えば、ここを「難しい」と感じているうちは、まだ英語力が
足りないと判断できると言えます。
「簡単に」「すばやく」正解できるよう、しっかり意味と論理構造を理解して
いきましょう!

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

問1
Tony: Those decorations / in the hall / look great, / don't they?
/ I'm glad / we finished / on time.
それらの飾りは / そのホールの / 素晴らしい / ですよね?
/ 嬉しいです / 終えて / 時間通りに

Mei: Yes, / thank you so much. / Without your help, / the preparations
/ __ [ 18 ] __ __ [ 19 ] __ / all the guests arrive / this afternoon.
はい / どうもありがとう / あなたの助けがなければ / その準備は
/ __ [ 18 ] __ __ [ 19 ] __ / 全ての客は到着する / 今日の午後

{1} been  {2} by  {3} completed
{4} have  {5} the time  {6} would not

まずTonyが「ホールの飾りは素晴らしい。間に合ってよかった」と言っています。
それに対しMeiは「ありがとう。あなたの助けがなければ間に合わなかったでしょう」
的なことを言っていると推測できると思います。

「Without 〜」は、仮定法の「If it had not been for 〜」などの代用として…


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html


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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

問1
Tony: ホールのそれらの飾りは素晴らしいですね。時間通りに終わって嬉しい
です。
Mei: はい、ありがとうございます。あなたの助けがなければ、今日の午後に…

(以下略)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

■ 今回の高校レベルの単語・熟語など

decoration:カタカナの「デコレーション」からわかるはず。「飾り」
without:ここでは仮定法の内容で「〜がなければ」
preparation:prepare(準備する)の名詞形。「準備」

(以下略)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

解説の続きは、本日21時配信予定の

【高校英語】過去問攻略!センター英語
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html

に掲載します!
文法セクションはもちろん、第6問の長文まで、翻訳も行っている著者が、
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書き換え英作文解答「現在完了」「進行形」「未来」「助動詞」

書き換え英作文解答「現在完了」「進行形」「未来」「助動詞」


ここは「He walks to school.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!


今回の問題は、次の書籍のP.95にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



He walks to school. (彼は学校へ歩いて行きます)

1. 現在完了形に→動詞を「have+過去分詞」にする
He has walked to school. (彼は学校へ歩いて行ったところです)など


2. 過去進行形に→動詞を「be動詞+〜ing」にする。be動詞は過去形に
He was walking to school. (彼は学校へ歩いて行っていました)


3. 未来形に→動詞の前にwillを入れる
He will walk to school. (彼は学校へ歩いて行くでしょう)


4. 「彼は歩いて学校に行くべきではない」となるように→「〜すべき」は助動詞should
He should not walk to school.
など


5. だいたい同じ内容になるように次の書き出しで→動詞がwalkからgoに変わっているので、「歩いて」を意味する表現を付け足す
He goes to school on foot.
など


関連項目
未来の助動詞will


直接指導の授業、英語の通信添削利用者には、さらに詳しい解説や、他の解答例も示しています。
皆様もぜひ、えまじゅくのメール添削をご利用ください。


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2020年02月01日

本日配信のメルマガ。2020年センター英語第2問B

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■ 問題

第2問

B 次の問い(問1〜3)において、それぞれ下の{1}〜{6}の語句を並べかえて
空所を補い、最も適当な文を完成させよ。解答は[ 18 ]〜[ 23 ]に入れるものの
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問1
Tony: Those decorations in the hall look great, don't they? I'm glad we
finished on time.
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__ [ 18 ] __ __ [ 19 ] __ all the guests arrive this afternoon.

{1} been  {2} by  {3} completed
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問2
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London. I don't think you've met her yet.

{1} in  {2} is studying  {3} music
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問1
Tony: Those decorations / in the hall / look great, / don't they?
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まずTonyが「ホールの飾りは素晴らしい。間に合ってよかった」と言っています。
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問1
Tony: ホールのそれらの飾りは素晴らしいですね。時間通りに終わって嬉しい
です。
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■ 今回の高校レベルの単語・熟語など

(次回以降に掲載します)

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高校数学「複素数」「2次方程式」「極形式」A

高校数学「複素数」「2次方程式」「極形式」A

■ 問題

2次方程式x^2+2x+2=0の解のうち、虚部が正であるものをx1とするとき、(x1)^2を求めよ。


■ 選択肢

2次方程式を解いて極形式に直すと、x1=√2{cos(3/4)π+isin(3/4π)}となります。この式をどうすれば(x1)^2になるでしょうか?

@とにかく2乗の計算をすればいい
Aド・モルガンの法則を使う
Bド・モアブルの定理を使う
Cドルアーガの塔を思い出す


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■ 選択肢の解答

Bド・モアブルの定理を使う

(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)という関係式が成り立ちます。


■ 解答解説

ド・モアブルの定理より、
 {cos(3/4)π+isin(3/4)π}^2
=cos(6/4)π+isin(6/4)π
=cos(3/2)π+isin(3/2)π

だから、

(x1)^2=(√2)^2・{cos(3/2)π+isin(3/2)π}
   =2{cos(3/2)π+isin(3/2)π}
   =2×{0+i(−1)}
   =−2i

ちなみに、「@とにかく2乗の計算」でもやることができます。


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職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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