高校数学「三角関数」「ｔａｎ２２．５°」

高校数学「三角関数」「ｔａｎ２２．５°」

■　問題

ｔａｎ２２．５°の値を求めよ。


タンジェントの場合も、サインやコサインの場合ど同様に、もちろん半角の公式を使います。


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１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

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■　解答解説

サインの半角の公式は

{ｓｉｎ(θ／２)}^2＝(１−ｃｏｓθ)／２

コサインの半角の公式は

{ｃｏｓ(θ／２)}^2＝(１＋ｃｏｓθ)／２

でしたね。

これらと相互関係ｔａｎθ＝ｓｉｎθ／ｃｏｓθを組み合わせると、簡単にタンジェントの半角の公式を導く事ができます。

ｔａｎθ＝ｓｉｎθ／ｃｏｓθの両辺を２乗すると、

(ｔａｎθ)^2＝(ｓｉｎθ)^2／(ｃｏｓθ)^2

ここでθにθ／２を代入すると、

{ｔａｎ(θ／２)}^2＝{ｓｉｎ(θ／２)}^2／{ｃｏｓ(θ／２)}^2

右辺の分子と分母それぞれに半角の公式を代入すれば、

{ｔａｎ(θ／２)}^2＝{(１−ｃｏｓθ)／２}／{(１＋ｃｏｓθ)／２}

右辺の分子と分母それぞれに２を掛けると、

{ｔａｎ(θ／２)}^2＝(１−ｃｏｓθ)／(１＋ｃｏｓθ)

このように、タンジェントの半角の公式を導くことができました。

θ／２＝２２．５°とするとθ＝４５°なので、

(ｔａｎ２２．５°)^2＝(１−ｃｏｓ４５°)／(１＋ｃｏｓ４５°)
　　　　　　　　　＝(１−√２／２)／(１＋√２／２)
　　　　　　　　　＝(２−√２)／(２＋√２)
　　　　　　　　　＝(２−√２)^2／(４−２)　　←有理化した
　　　　　　　　　＝(４−４√２＋２)／２
　　　　　　　　　＝(６−４√２)／２
　　　　　　　　　＝３−２√２

よって、ｔａｎ２２．５°＝√(３−２√２)


関連問題
ｓｉｎ２２．５°の場合
ｃｏｓ２２．５°の場合


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■　問題

2020年センター試験数２Ｂより

第２問

　ａ＞０とし、ｆ(ｘ)＝ｘ^2−(４ａ−２)ｘ＋４ａ^2＋１とおく。座標平面上で、
放物線ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋１をＣ，放物線ｙ＝ｆ(ｘ)をＤとする。また、ｌをＣとＤ
の両方に接する直線とする。

(1) ｌの方程式を求めよう。
　ｌとＣは点(ｔ，ｔ^2＋２ｔ＋１)において接するとすると、ｌの方程式は

　ｙ＝([ア]ｔ＋[イ])ｘ−ｔ^2＋[ウ]　……{1}

である。また、ｌとＤは点(ｓ，ｆ(ｓ))において接するとすると、ｌの方程式は

　ｙ＝([エ]ｓ−[オ]ａ＋[カ])ｘ−ｓ^2＋[キ]ａ^2＋[ク]　……{2}

である。ここで、{1}と{2}は同じ直線を表しているので、ｔ＝[ケ]，ｓ＝[コ]ａが
成り立つ。
　したがって、ｌの方程式はｙ＝[サ]ｘ＋[シ]である。

(2) ２つの放物線Ｃ，Ｄの交点のｘ座標は[ス]である。
　Ｃと直線ｌ，および直線ｘ＝[ス]で囲まれた図形の面積をＳとすると、
Ｓ＝(ａ^[セ])／[ソ]である。

(3) ａ≧１／２とする。二つの放物線Ｃ，Ｄと直線ｌで囲まれた図形の中で
０≦ｘ≦１を満たす部分の面積Ｔは，ａ＞[タ]のとき、ａの値によらず

　Ｔ＝[チ]／[ツ]

であり、１／２≦ａ≦[タ]のとき

　Ｔ＝−[テ]ａ^3＋[ト]ａ^2−[ナ]ａ＋[ニ]／[ヌ]

である。

(4) 次に、(2), (3)で定めたＳ，Ｔに対して、Ｕ＝２Ｔ−３Ｓとおく。ａが
１／２≦ａ≦[タ]の範囲を動くとき、Ｕはａ＝[ネ]／[ノ]で最大値[ハ]／[ヒフ]を
とる。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■　解説目次

　◆１　導関数は傾きを表す
　◆２　極値では導関数の値(＝微分係数)が０
　◆３　積分は微分の逆
　◆４　接線なら微分

(以下略)

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■　解説

◆１〜３は省略します。


それでは今回の問題を確認してみましょう！

　「ａ＞０」という条件で、「ｆ(ｘ)＝ｘ^2−(４ａ−２)ｘ＋４ａ^2＋１」が
与えられています。さらに、

「放物線ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋１をＣ，放物線ｙ＝ｆ(ｘ)をＤ」としています。
そして、「ＣとＤの両方に接する直線をｌ」としているようです。

最初の設問では、ｌとＣの接点を(ｔ，ｔ^2＋２ｔ＋１)として、このｔを使って
接線ｌの方程式を求めます。

◆１でも触れたように、導関数は接線の傾きを表す関数です。
だから「接線の方程式を求めたければ、まずは微分」と考えます。

Ｃ：ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋１を微分してみると・・・


(以下略)


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高校数学「三角関数」「ｃｏｓ２２．５°」

高校数学「三角関数」「ｃｏｓ２２．５°」

■　問題

ｃｏｓ２２．５°の値を求めよ。


半角の公式を使う最も基本的な問題ですね。


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■　解答解説

ｓｉｎ２２．５°の場合と同じく、ｃｏｓ２２．５°でも半角の公式を使うのがよいです。

まずはコサインの２倍角より、ｃｏｓ２θ＝(ｃｏｓθ)^2−(ｓｉｎθ)^2

相互関係より(ｓｉｎθ)^2＝１−(ｃｏｓθ)^2を代入すると、

ｃｏｓ２θ＝(ｃｏｓθ)^2−{１−(ｃｏｓθ)^2}
　　　　＝(ｃｏｓθ)^2−１＋(ｃｏｓθ)^2
　　　　＝２(ｃｏｓθ)^2−１

２(ｃｏｓθ)^2＝１＋ｃｏｓ２θ
(ｃｏｓθ)^2＝(１＋ｃｏｓ２θ)／２

ここで、θにθ／２を代入すれば、

{ｃｏｓ(θ／２)}^2＝(１＋ｃｏｓθ)／２

これでコサインの半角の公式完成です。
このように、サインでもコサインでも半角の公式はコサインの２倍角から求めることができます。

θ／２＝２２．５°とするとθ＝４５°なので、

(ｃｏｓ２２．５°)^2＝(１＋ｃｏｓ４５°)／２
　　　　　　　　　＝(１＋√２／２)／２
　　　　　　　　　＝(２＋√２)／４
ｃｏｓ２２．５°＝√{(２＋√２)／４}　　　←ｃｏｓ２２．５°＞０
　　　　　　　＝√(２＋√２)／２　　　　←分子は二重根号


関連問題
ｓｉｎ２２．５°の場合
ｔａｎ２２．５°の場合


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