高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

■問題
ｚ1＝ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)，ｚ2＝ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)とするとき、ｚ1／ｚ2を計算せよ。


「積の極形式」の場合と同様に、「商の極形式」として、意味不明のまま公式として暗記してしまう人も多いと思いますが、ちゃんと計算して導けるようにしておいた方が良いです。


数学３の勉強でも、みんなが使っているチャート式


個人的には、このシリーズもおすすめです。



■解説

「導く」と言っても、これはただ単に計算するだけです。やってみましょう！

ｚ1／ｚ2＝{ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)}／{ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)}
　　　＝(ｒ1／ｒ2){(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)／(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)}

ここで、いわゆる「有理化」をするため、(ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ2)／(ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ2)を掛けると、

　　　＝(ｒ1／ｒ2){(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)／(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)}{(ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ2)／(ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ2)}
　　　＝(ｒ1／ｒ2)(ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2−ｃｏｓθ1・ｉｓｉｎθ2＋ｉｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2−ｉｓｉｎθ1・ｉｓｉｎθ2)／{(ｃｏｓθ2)^2−ｉ^2・(ｓｉｎθ2)^2}
　　　＝(ｒ1／ｒ2)(ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2−(ｉ^2)ｓｉｎθ1・ｓｉｎθ2＋ｉｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2−ｉｃｏｓθ1・ｓｉｎθ2)／{(ｃｏｓθ2)^2＋(ｓｉｎθ2)^2}
　　　＝(ｒ1／ｒ2){ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1・ｓｉｎθ2＋ｉ(ｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2−ｃｏｓθ1・ｓｉｎθ2)}
　　　＝(ｒ1／ｒ2){ｃｏｓ(θ1−θ2)＋ｉｓｉｎ(θ1−θ2)}


ちなみに、三角関数の加法定理より、

ｃｏｓθ1・ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1・ｓｉｎθ2＝ｃｏｓ(θ1−θ2)
ｓｉｎθ1・ｃｏｓθ2−ｃｏｓθ1・ｓｉｎθ2＝ｓｉｎ(θ1−θ2)

ですね。


関連問題
「積の極形式」
「極形式」「ｚ＝√３＋ｉ」
サインの加法定理
コサインの加法定理


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本日配信のメルマガ。2020年センター数学２Ｂ第２問 完成

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学２Ｂ第２問を解説します。


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■　問題

2020年センター試験数２Ｂより

第２問

　ａ＞０とし、ｆ(ｘ)＝ｘ^2−(４ａ−２)ｘ＋４ａ^2＋１とおく。座標平面上で、
放物線ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋１をＣ，放物線ｙ＝ｆ(ｘ)をＤとする。また、ｌをＣとＤ
の両方に接する直線とする。

(1) ｌの方程式を求めよう。
　ｌとＣは点(ｔ，ｔ^2＋２ｔ＋１)において接するとすると、ｌの方程式は

　ｙ＝([ア]ｔ＋[イ])ｘ−ｔ^2＋[ウ]　……{1}

である。また、ｌとＤは点(ｓ，ｆ(ｓ))において接するとすると、ｌの方程式は

　ｙ＝([エ]ｓ−[オ]ａ＋[カ])ｘ−ｓ^2＋[キ]ａ^2＋[ク]　……{2}

である。ここで、{1}と{2}は同じ直線を表しているので、ｔ＝[ケ]，ｓ＝[コ]ａが
成り立つ。
　したがって、ｌの方程式はｙ＝[サ]ｘ＋[シ]である。

(2) ２つの放物線Ｃ，Ｄの交点のｘ座標は[ス]である。
　Ｃと直線ｌ，および直線ｘ＝[ス]で囲まれた図形の面積をＳとすると、
Ｓ＝(ａ^[セ])／[ソ]である。

(3) ａ≧１／２とする。二つの放物線Ｃ，Ｄと直線ｌで囲まれた図形の中で
０≦ｘ≦１を満たす部分の面積Ｔは，ａ＞[タ]のとき、ａの値によらず

　Ｔ＝[チ]／[ツ]

であり、１／２≦ａ≦[タ]のとき

　Ｔ＝−[テ]ａ^3＋[ト]ａ^2−[ナ]ａ＋[ニ]／[ヌ]

である。

(4) 次に、(2), (3)で定めたＳ，Ｔに対して、Ｕ＝２Ｔ−３Ｓとおく。ａが
１／２≦ａ≦[タ]の範囲を動くとき、Ｕはａ＝[ネ]／[ノ]で最大値[ハ]／[ヒフ]を
とる。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■　解説目次

　◆１　導関数は傾きを表す
　◆２　極値では導関数の値(＝微分係数)が０
　◆３　積分は微分の逆
　◆４　接線なら微分

(以下略)

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■　解説

◆１〜３は省略します。


それでは今回の問題を確認してみましょう！

　「ａ＞０」という条件で、「ｆ(ｘ)＝ｘ^2−(４ａ−２)ｘ＋４ａ^2＋１」が
与えられています。さらに、

「放物線ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋１をＣ，放物線ｙ＝ｆ(ｘ)をＤ」としています。
そして、「ＣとＤの両方に接する直線をｌ」としているようです。

最初の設問では、ｌとＣの接点を(ｔ，ｔ^2＋２ｔ＋１)として、このｔを使って
接線ｌの方程式を求めます。

◆１でも触れたように、導関数は接線の傾きを表す関数です。
だから「接線の方程式を求めたければ、まずは微分」と考えます。

Ｃ：ｙ＝ｘ^2＋２ｘ＋１を微分してみると・・・


(以下略)


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高校化学「化学反応式と量的関係」「０．２０ｍｏｌのＺｎと０．５０ｍｏｌのＨＣｌ」

高校化学「化学反応式と量的関係」「０．２０ｍｏｌのＺｎと０．５０ｍｏｌのＨＣｌ」

■問題

亜鉛Ｚｎと塩酸(ＨＣｌ水溶液)の反応について、次の問いに答えよ。
Ｚｎ＋２ＨＣｌ→ＺｎＣｌ2＋Ｈ2

(2) ０．２０ｍｏｌのＺｎと０．５０ｍｏｌのＨＣｌを反応させると、どちらが何ｍｏｌ残るか？


化学反応式から、それぞれの物質の反応する比率がわかりますね。


化学も「精講」シリーズは良いと思います。



■解説

化学反応式の係数は、反応する粒子の個数の比を表します。
問題で与えられた化学反応式は

Ｚｎ＋２ＨＣｌ→ＺｎＣｌ2＋Ｈ2

ですね。
この反応式から、ＺｎとＨＣｌは１：２の割合で反応することがわかります。


今回の問題では、Ｚｎは０．２０ｍｏｌなので、このＺｎが全て反応するためには、この２倍の０．４０ｍｏｌのＨＣｌが必要です。
ＨＣｌは０．５０ｍｏｌあるので、０．５０−０．４０＝０．１０ｍｏｌ残る。というわけです。


もし、ＨＣｌが全て反応したとすると、０．５０÷２＝０．２５ｍｏｌのＺｎが必要です。
Ｚｎの用意された量は０．２０だから足りないので、ＨＣｌは全て反応し終わる前になくなってしまうことがわかります。


このように、「Ｚｎが全て反応した場合」と「ＨＣｌが全て反応した場合」の両方をやってみて比較すると、より確実に自信を持って答えられるようになると思います。
めんどくさがらずに、きちんと整理して考えるように心がけましょう！


次の問題→(3) ２．６ｇの亜鉛と０．１０ｍｏｌ／Ｌの塩酸５００ｍＬを反応させると、どちらが何ｍｏｌ残るか？

前の問題→(1) １．０ｍｏｌのＺｎと４．０ｍｏｌのＨＣｌを含む塩酸とを反応させると、Ｚｎが全て溶けた。残ったＨＣｌは何ｍｏｌか？


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