2020年04月21日

高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

■問題
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)とするとき、z1/z2を計算せよ。


「積の極形式」の場合と同様に、「商の極形式」として、意味不明のまま公式として暗記してしまう人も多いと思いますが、ちゃんと計算して導けるようにしておいた方が良いです。


数学3の勉強でも、みんなが使っているチャート式


個人的には、このシリーズもおすすめです。



■解説

「導く」と言っても、これはただ単に計算するだけです。やってみましょう!

z1/z2={r1(cosθ1+isinθ1)}/{r2(cosθ2+isinθ2)}
   =(r1/r2){(cosθ1+isinθ1)/(cosθ2+isinθ2)}

ここで、いわゆる「有理化」をするため、(cosθ2−isinθ2)/(cosθ2−isinθ2)を掛けると、

   =(r1/r2){(cosθ1+isinθ1)/(cosθ2+isinθ2)}{(cosθ2−isinθ2)/(cosθ2−isinθ2)}
   =(r1/r2)(cosθ1・cosθ2−cosθ1・isinθ2+isinθ1・cosθ2−isinθ1・isinθ2)/{(cosθ2)^2−i^2・(sinθ2)^2}
   =(r1/r2)(cosθ1・cosθ2−(i^2)sinθ1・sinθ2+isinθ1・cosθ2−icosθ1・sinθ2)/{(cosθ2)^2+(sinθ2)^2}
   =(r1/r2){cosθ1・cosθ2+sinθ1・sinθ2+i(sinθ1・cosθ2−cosθ1・sinθ2)}
   =(r1/r2){cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)}


ちなみに、三角関数の加法定理より、

cosθ1・cosθ2+sinθ1・sinθ2=cos(θ1−θ2)
sinθ1・cosθ2−cosθ1・sinθ2=sin(θ1−θ2)

ですね。


関連問題
「積の極形式」
「極形式」「z=√3+i」
サインの加法定理
コサインの加法定理


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ラベル:数学
posted by えま at 22:01| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

本日配信のメルマガ。2020年センター数学2B第2問 完成

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学2B第2問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2020年センター試験数2Bより

第2問

 a>0とし、f(x)=x^2−(4a−2)x+4a^2+1とおく。座標平面上で、
放物線y=x^2+2x+1をC,放物線y=f(x)をDとする。また、lをCとD
の両方に接する直線とする。

(1) lの方程式を求めよう。
 lとCは点(t,t^2+2t+1)において接するとすると、lの方程式は

 y=([ア]t+[イ])x−t^2+[ウ] ……{1}

である。また、lとDは点(s,f(s))において接するとすると、lの方程式は

 y=([エ]s−[オ]a+[カ])x−s^2+[キ]a^2+[ク] ……{2}

である。ここで、{1}と{2}は同じ直線を表しているので、t=[ケ],s=[コ]aが
成り立つ。
 したがって、lの方程式はy=[サ]x+[シ]である。

(2) 2つの放物線C,Dの交点のx座標は[ス]である。
 Cと直線l,および直線x=[ス]で囲まれた図形の面積をSとすると、
S=(a^[セ])/[ソ]である。

(3) a≧1/2とする。二つの放物線C,Dと直線lで囲まれた図形の中で
0≦x≦1を満たす部分の面積Tは,a>[タ]のとき、aの値によらず

 T=[チ]/[ツ]

であり、1/2≦a≦[タ]のとき

 T=−[テ]a^3+[ト]a^2−[ナ]a+[ニ]/[ヌ]

である。

(4) 次に、(2), (3)で定めたS,Tに対して、U=2T−3Sとおく。aが
1/2≦a≦[タ]の範囲を動くとき、Uはa=[ネ]/[ノ]で最大値[ハ]/[ヒフ]を
とる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
 ◆3 積分は微分の逆
 ◆4 接線なら微分

(以下略)

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■ 解説

◆1〜3は省略します。


それでは今回の問題を確認してみましょう!

 「a>0」という条件で、「f(x)=x^2−(4a−2)x+4a^2+1」が
与えられています。さらに、

「放物線y=x^2+2x+1をC,放物線y=f(x)をD」としています。
そして、「CとDの両方に接する直線をl」としているようです。

最初の設問では、lとCの接点を(t,t^2+2t+1)として、このtを使って
接線lの方程式を求めます。

◆1でも触れたように、導関数は接線の傾きを表す関数です。
だから「接線の方程式を求めたければ、まずは微分」と考えます。

C:y=x^2+2x+1を微分してみると・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
posted by えま at 12:20| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校化学「化学反応式と量的関係」「0.20molのZnと0.50molのHCl」

高校化学「化学反応式と量的関係」「0.20molのZnと0.50molのHCl」

■問題

亜鉛Znと塩酸(HCl水溶液)の反応について、次の問いに答えよ。
Zn+2HCl→ZnCl2+H2

(2) 0.20molのZnと0.50molのHClを反応させると、どちらが何mol残るか?


化学反応式から、それぞれの物質の反応する比率がわかりますね。


化学も「精講」シリーズは良いと思います。



■解説

化学反応式の係数は、反応する粒子の個数の比を表します。
問題で与えられた化学反応式は

Zn+2HCl→ZnCl2+H2

ですね。
この反応式から、ZnとHClは1:2の割合で反応することがわかります。


今回の問題では、Znは0.20molなので、このZnが全て反応するためには、この2倍の0.40molのHClが必要です。
HClは0.50molあるので、0.50−0.40=0.10mol残る。というわけです。


もし、HClが全て反応したとすると、0.50÷2=0.25molのZnが必要です。
Znの用意された量は0.20だから足りないので、HClは全て反応し終わる前になくなってしまうことがわかります。


このように、「Znが全て反応した場合」と「HClが全て反応した場合」の両方をやってみて比較すると、より確実に自信を持って答えられるようになると思います。
めんどくさがらずに、きちんと整理して考えるように心がけましょう!


関連問題
(1) 1.0molのZnと4.0molのHClを含む塩酸とを反応させると、Znが全て溶けた。残ったHClは何molか?


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