■ 問題
|→ａ|＝４，|→ｂ|＝２のとき、２(→ａ)＋３(→ｂ)と→ａ－５(→ｂ)が垂直であるとする。このとき→ａと→ｂのなす角θを求めよ。
解答解説はこのページ下に
みんなが使っているチャート式
個人的にはフォーカスゴールドの方が好きです
■ 解答解説
「垂直」と言っているので、ベクトルの垂直条件を考えます。
ベクトルの垂直条件は、「内積がゼロ」です。
→ａ・→ｂ＝|→ａ||→ｂ|ｃｏｓθ
なので、θ＝９０のときｃｏｓθ＝０だから、内積もゼロになる。というわけです。
今回の問題では、２(→ａ)＋３(→ｂ)と→ａ－５(→ｂ)が垂直なので、これらのベクトルの内積を表してみます。
{２(→ａ)＋３(→ｂ)}・{→ａ－５(→ｂ)}
＝２|→ａ|^2－１０(→ａ・→ｂ)＋３(→ａ・→ｂ)－１５|→ｂ|^2
＝２・４^2－７(→ａ・→ｂ)－１５・２^2
＝３２－７(→ａ・→ｂ)－６０
＝－７(→ａ・→ｂ)－２８
垂直条件より、この式の値がゼロなので、
－７(→ａ・→ｂ)－２８＝０
７(→ａ・→ｂ)＝－２８
→ａ・→ｂ＝－４
内積の公式より、→ａ・→ｂ＝|→ａ||→ｂ|ｃｏｓθだから、これに→ａ・→ｂ＝－４，|→ａ|＝４，|→ｂ|＝２を代入すると、
－４＝４・２・ｃｏｓθ
ｃｏｓθ＝－１／２
よって、θ＝１２０°＝(２／３)π
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ラベル：数学
