【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題
2020年センター試験数2Bより
第3問
数列{an}は、初項a1が0であり、n=1,2,3,…のとき次の漸化式を
満たすものとする。
an+1={(n+3)/(n+1)}{3an+3^(n+1)−(n+1)(n+2)}……{1}
(1) a2=[ア]である。
(2) bn=an/{3^n・(n+1)(n+2)}とおき、数列{bn}の一般項を求めよう。
{bn}の初項b1は[イ]である。{1}の両辺を3^(n+1)・(n+2)(n+3)で割ると
bn+1=bn+[ウ]/{(n+[エ])(n+[オ])}−(1/[カ])^(n+1)
を得る。ただし[エ]<[オ]とする。
したがって
bn+1−bn=[キ]/(n+[エ])−[キ]/(n+[カ])−(1/[カ])^(n+1)
である。
nを2以上の自然数とするとき
Σ[k=1〜n-1]{[キ]/(k+[エ])−[キ]/(k+[オ])}
=(1/[ク]){(n−[ケ])/(n+[コ])}
Σ[k=1〜n-1](1/[カ])^(k+1)
=[サ]/[シ]−([ス]/[セ])(1/[カ])^n
が成り立つことを利用すると
bn=(n−[ソ])/{[タ](n+[チ])}+([ス]/[セ])(1/[カ])^n
が得られる。これはn=1のときも成り立つ。
(3) (2)により、{an}の一般項は
an=[ツ]^(n-[テ])・(n^2−[ト])+{(n+[ナ])(n+[ニ])}/[ヌ]
で与えられる。ただし、[ナ]<[ニ]とする。
このことから、すべての自然数nについて、anは整数となることがわかる。
(4) kを自然数とする。a3k,a3k+1,a3k+2を3で割った余りはそれぞれ[ネ],
[ノ],[ハ]である。また、{an}の初項から第2020項までの和を3で割った余りは
[ヒ]である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1〜n]k^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 等差数列と等比数列の用語・公式
◆2 an+1=a2だからn=1
(以下略)
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■ 解説
◆1は省略します。
◆2 an+1=a2だからn=1
では今回の問題です。
まず最初はa2を聞いています。
a2は「第2項目」でしたね。
今回考える式は、
an+1={(n+3)/(n+1)}{3an+3^(n+1)−(n+1)(n+2)}
これなので、an+1=a2すなわち、n+1=2よりn=1の場合を考えます。
n=1を代入すると、
(以下略)
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ラベル:数学