高校数学(用語)「数列の和」

高校数学(用語)「数列の和」

★数列の和(sum of progression)

数列において、全ての項を足した値のこと。普通は初項から第ｎ項までの和Ｓnで表す。

等差数列の和はＳn＝(ｎ／２){２ａ＋(ｎ−１)ｄ}
等比数列の和はＳn＝ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)

で表される。

数列の種類によって、和の求め方は異なります。
これら以外にも、Σの公式を使ったり、部分分数分解を使ったり、数列の和同士の差を用いたりと、いくつかの方法があります。
数列の単元は、その種類によって別々の解き方が必要になるところが難しいポイントの一つだと思います。


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本日配信のメルマガ。2018年センター英語第２問Ｃ

本日配信のメルマガでは、2018年大学入試センター試験英語第２問Ｃを解説します。


【高校英語】過去問攻略！センター英語
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■　問題

第２問

Ｃ　次の問い(問１〜３)の会話の[ 24 ]〜[ 26 ]において、二人目の発言が最も
適当な応答となるように文を作るには、それぞれ(A)と(B)をどのように
組み合わせればよいか、下の{1}〜{8}のうちから一つずつ選べ。

問１
Shelly: I can't wait till next Tuesday.
Lisa: What's happening next Tuesday?
Shelly: Don't you remember? There's going to be a jazz concert after
school.
Lisa: Really? I thought it [ 24 ]

[(A) was going to be]／[(B) was planning to be]
→[(A) on Thursday,]／[(B) on Tuesday,]
→[(A) because I'm wrong.]／[(B) but maybe I'm wrong.]

{1} (A)→(A)→(A)　　{2} (A)→(A)→(B)　　{3} (A)→(B)→(A)
{4} (A)→(B)→(B)　　{5} (B)→(A)→(A)　　{6} (B)→(A)→(B)
{7} (B)→(B)→(A)　　{8} (B)→(B)→(B)


問２
Tomohiro: Hi, Casey. I'm glad you made it in time. Our flight's scheduled
to depart soon.
Casey: Thank you for telling me not to take the bus. I never thought the
traffic would be so heavy at this time of day.
Tomohiro: I always check traffic and railroad conditions when I have
a plane to catch.
Casey: You're so helpful. [ 25 ]

[(A) I wouldn't have taken]／[(B) I wouldn't take]
→[(A) the bus]／[(B) the train]
→[(A) with your suggestion.]／[(B) without your suggestion.]

{1} (A)→(A)→(A)　　{2} (A)→(A)→(B)　　{3} (A)→(B)→(A)
{4} (A)→(B)→(B)　　{5} (B)→(A)→(A)　　{6} (B)→(A)→(B)
{7} (B)→(B)→(A)　　{8} (B)→(B)→(B)


問３
Hoang: The typhoon over the weekend was pretty strong, wasn't it?
Nao: Yeah, and my club's soccer match in Fukuoka Park was canceled.
Hoang: We can never predict what the weather will bring.
Nao: I agree. Did the typhoon also go through Shizuoka?
Hoang: Yes, it did. [ 26 ] I hope we get another chance to do it.

[(A) It's because]／[(B) That's why]
→[(A) we didn't cancel our trip to Mt. Fuji,]
　／[(B) we had to cancel our trip to Mt. Fuji,]
→[(A) fortunately.]／[(B) unfortunately.]

{1} (A)→(A)→(A)　　{2} (A)→(A)→(B)　　{3} (A)→(B)→(A)
{4} (A)→(B)→(B)　　{5} (B)→(A)→(A)　　{6} (B)→(A)→(B)
{7} (B)→(B)→(A)　　{8} (B)→(B)→(B)

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■　解答・解説

問１
Shelly: I can't wait till next Tuesday.
Lisa: What's happening next Tuesday?
Shelly: Don't you remember? There's going to be a jazz concert after
school.
Lisa: Really? I thought it [ 24 ]

Shelly「次の火曜まで待てません。」
Lisa「次の火曜に何がありますか？」
Shelly「覚えてませんか？放課後にジャズコンサートがあります。」
Lisa「本当に？それは[ 24 ]と思いました。」

Lisaは「ジャズコンサート」の開催日を忘れていたようですね。
それを踏まえて選択肢を見ていくと・・・


(以下略)


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■　全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

問１
Shelly「次の火曜まで待てません。」
Lisa「次の火曜に何がありますか？」
Shelly「覚えてませんか？放課後にジャズコンサートがあります。」

(以下略)

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高校数学(用語)「一般項」

高校数学(用語)「一般項」

★一般項(general term)

数列において、全ての項を表す式のこと。普通は第ｎ項ａnを一般項とする。

等差数列の一般項はａn＝ａ＋(ｎ−１)ｄ
等比数列の一般項はａn＝ａｒ^(n-1)

で表される。

一般項を求めることができれば、ｎに数字を代入することで、特定の項の値を求めることができます。


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書き換え英作文問題「疑問文」「否定文」「助動詞」She left the room.

書き換え英作文問題「疑問文」「否定文」「助動詞」


指示に従って書き換えよ。
She left the room.

1. 疑問文に

───────────────────────────────────────　
2. 否定文に

───────────────────────────────────────　
3. 「彼女はその部屋を立ち去ることができます」となるように

───────────────────────────────────────　
4. 3と同じ内容になるようにかっこに適切な語を入れよ
She (　　　　　)(　　　　　　)(　　　　　　) leave the room.
───────────────────────────────────────　
5. 「彼女はその部屋を立ち去るべきです」となるように

───────────────────────────────────────　


解答解説はこちら


◆文法事項の説明
疑問文、否定文、助動詞



今回の問題は、次の書籍のP.29にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



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本日配信のメルマガ。2020年センター数学２Ｂ第４問 完成

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問を解説します。


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リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2020年大学入試センター試験数学２Ｂより

第４問

　点Ｏを原点とする座標空間に２点

　　Ａ(３，３，−６)，Ｂ(２＋２√３，２−２√３，−４)

をとる。３点Ｏ，Ａ，Ｂの定める平面をαとする。また、αに含まれる点Ｃは

　　→ＯＡ⊥→ＯＣ，→ＯＢ・→ＯＣ＝２４　　……{1}

を満たすとする。

(1) |→ＯＡ|＝[ア]√[イ]，|→ＯＢ|＝[ウ]√[エ]であり、
→ＯＡ・→ＯＢ＝[オカ]である。


(2) 点Ｃは平面α上にあるので、実数ｓ，ｔを用いて、
→ＯＣ＝ｓ・→ＯＡ＋ｔ・→ＯＢと表すことができる。
このとき、{1}からｓ＝[キク]／[ケ]，ｔ＝[コ]である。
したがって、|→ＯＣ|＝[サ]√[シ]である。


(3) →ＣＢ＝([ス]，[セ]，[ソタ])である。したがって、平面α上の
四角形ＯＡＢＣは[チ]。[チ]に当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから一つ
選べ。ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

{0} 正方形である
{1} 正方形でないが、長方形である
{2} 長方形でないが、平行四辺形である
{3} 平行四辺形でないが、台形である
{4} 台形ではない

→ＯＡ⊥→ＯＣであるので、四角形ＯＡＢＣの面積は[ツテ]である。


(4) →ＯＡ⊥→ＯＤ，→ＯＣ・→ＯＤ＝２√６かつｚ座標が１であるような点Ｄの
座標は

　　([ト]＋√[ナ]／[ニ]，[ヌ]−√[ネ]／[ノ]，１)である。
このとき∠ＣＯＤ＝[ハヒ]°である。

　３点Ｏ，Ｃ，Ｄの定める平面をβとする。αとβは垂直であるので、
三角形ＡＢＣを底面とする四面体ＤＡＢＣの高さは√[フ]である。したがって、
四面体ＤＡＢＣの体積は[ヘ]√[ホ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　ベクトルの成分と大きさ
　◆２　ベクトルの足し算とかけ算
　◆３　絶対値は三平方の定理

(以下略)

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■　解説

◆１，２は省略します。


　◆３　絶対値は三平方の定理

では今回の問題です。

まず最初は、→ＯＡと→ＯＢの絶対値を求める問題となっています。

ベクトルの絶対値は、要するにその長さなので、◆１でも触れたように、三平方の
定理から求めることができます。

→ＯＡ＝(３，３，−６)なので、

|→ＯＡ|＝√{３^2＋３^2＋(−６)^2}
　　　　＝√(９＋９＋３６)
　　　　＝√５４
　　　　＝３√６

→ＯＢも同様に・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校生物(用語)「真核細胞」

高校生物(用語)「真核細胞」

★真核細胞(eukaryotic cell)
核を持つ細胞で、細胞内には特定の働きをもつ細胞小器官が見られる。一般に、真核細胞は原核細胞よりも大きい。
真核細胞からなる生物を真核生物という。
動物、植物、菌類、原生生物が真核生物に含まれる。


生物の進化について楽しく読めそうですね！



関連問題
「共生説」「葉緑体」「ミトコンドリア」


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書き換え英作文解答「疑問文」「否定文」「疑問詞」「ＳＶＯＣの文」「接続詞」

書き換え英作文解答「疑問文」「否定文」「疑問詞」「ＳＶＯＣの文」「接続詞」


ここは「Her words made me happy.」の書き換え英作文の解答ページです。


直接このページに来た人はまずは問題ページへgo!


今回の問題は、次の書籍のP.18にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



Her words made me happy.　(彼女の言葉は私を幸せにしました)

1. 疑問文に→一般動詞の文なので、文頭にdoを適切な形にして置き、動詞を原形に。文尾に？
Did her words make me happy? (彼女の言葉は私を幸せにしましたか？）


2. 否定文に→一般動詞の文なので、動詞の前にdo notを適切な形にして入れ、動詞を原形に
Her words didn't make me happy. (彼女の言葉は私を幸せにしませんでした)


3. 「彼女の手紙で私は嬉しくなりました」となるように→wordsをletterにする
Her letter made me happy.


4. 次の書き出しで、もとの文とだいたい同じ内容に→「彼女の言葉を聞いたとき、私は幸せでした」などとする
I was happy when I heard her words.
など


5. 下線部を問う疑問文に→「何が私を幸せにしましたか？」とする。主語をwhatに変える
What made me happy?


◆文法事項の説明
疑問文、否定文、ＳＶＯＣの文、接続詞、疑問詞を使った疑問文


直接指導の授業、英語の通信添削利用者には、さらに詳しい解説や、他の解答例も示しています。
皆様もぜひ、えまじゅくのメール添削をご利用ください。

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中学英語「接続詞」

中学英語「接続詞」

２つの文をつなぐはたらきをする語が接続詞です。
接続詞は中学レベルでもたくさん登場しますが、

if, when, and, but, as

などが代表例です。
接続詞を使った文では、基本的に

「ＳＶが２つ以上ある」

ことを意識しておくと、文法問題でも読解でも理解しやすくなります。
英語では文を作るためにはＳＶが必要で、２つの文をつなげるならば、必然的にＳＶは２つ(以上)になる。というわけですね。


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高校数学(用語)「等比数列」

高校数学(用語)「等比数列」

★等差数列(arithmetical progression)

隣り合う項の比が一定の数である数列のこと。
数列の最初の項を「初項ａ」、次の項に行く度に掛ける数を「公比ｒ」と表す。

主な公式は

一般項ａn＝ａｒ^(n-1)
和Ｓn＝ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)＝ａ(１−ｒ^n)／(１−ｒ)

これら２つ。
他の数列と同様に、ｎは項数なので、例えば「第１００項目」ならばｎ＝１００を代入する。


関連項目
初項、公差、公比


いらないけど欲しい(笑)



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中学英語「ＳＶＯＣの文」

中学英語「ＳＶＯＣの文」

「ＳＶＯＣの文」と言っても、中学英語では文の要素について詳しくやらないので、代表例を覚えて使えるようにすればＯＫです。
詳しい文の要素を理解し覚える必要はありません。

例えば、

「私を幸せにする」→「 make me happy」
「犬をジョンと名付ける」→「name the dog John」
「彼をビルと呼ぶ」→「call him Bill」

などの表現を覚えればＯＫです。

ちなみに、これらの例のmake, name, callは動詞なので、主語や時制によってsがついたり、過去形になったりします。


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高校数学(用語)「等差数列」

高校数学(用語)「等差数列」

★等差数列(arithmetical progression)

隣り合う項の差が一定の数である数列のこと。
数列の最初の項を「初項ａ」、次の項に行く度に加える数を「公差ｄ」と表す。

主な公式は

一般項ａn＝ａ＋(ｎ−１)ｄ
和Ｓn＝(ｎ／２){２ａ＋(ｎ−１)ｄ}

これら２つ。
ｎは項数なので、例えば「第１００項目」ならばｎ＝１００を代入する。


関連項目
初項、公差、公比


いらないけど欲しい(笑)



関連問題
初項が３，公差が２の場合



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中学英語「疑問詞を使った疑問文の具体例」

中学英語「疑問詞を使った疑問文の具体例」

中学英語「疑問詞を使った疑問文」の作り方の続きとなります。

アマゾンで好評発売中の拙著「プロ家庭教師／翻訳者が教える「秘密の」中学英文法練習帳」より、疑問詞を使った疑問文の作り方の具体例を掲載してみたいと思います。



下線部を問う疑問文にする問題です。

�@主語以外を疑問詞にする場合
P.70より
He went to Australia last week.　(彼は先週オーストラリアに行きました)

下線部を問う疑問文にすると、「彼はいつオーストラリアに行きましたか？」という意味になります。
last weekは時間を表していて、「いつ」という意味なので疑問詞は「when」を使います。
文頭に疑問詞を置いて、その後は普通に疑問文にします。過去時制であること、didを入れたら動詞は原形になることに注意して書き換えてみると、

→When did he go to Australia?


�A主語を疑問詞にする場合
P.18より
Her words made me happy.　(彼女の言葉は私を嬉しくさせました)

下線部の「Her words」は主語で、これを疑問詞に置き換えます。「何が私は嬉しくさせましたか？」という意味になります。
主語が疑問詞になる場合は、語順は普通の文のままです。

→What made me happy?


疑問詞を使った疑問文の基本的な作り方は、以上の２パターンです。
疑問詞で表現したい語句が、主語なのか主語以外なのかによって、後ろに続く語句が変わることは理解しておいた方がいいと思います。
法則をしっかり把握した上で、文法や読解の練習をし、実用にも活かしていってください。


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高校数学「等差数列」「和」１，４，７，１０，１３，・・・

高校数学「等差数列」「和」１，４，７，１０，１３，・・・

■　問題

次の数列の和Ｓnを求めよ。
１，４，７，１０，１３，・・・


このときは何をすれば良いでしょうか？


■　選択肢

　�@　等差数列だからａn＝ａ＋(ｎ−１)ｄに代入する

　�A　等比数列だからａn＝ａｒ^(n-1)に代入する

　�B　等差数列だからＳn＝(ｎ／２){２ａ＋(ｎ−１)ｄ}に代入する

　�C　等比数列だからＳn＝ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)に代入する


解答解説はこのページ下に


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■　選択肢の解答・解説

　�B　等差数列だからＳn＝(ｎ／２){２ａ＋(ｎ−１)ｄ}に代入する

　次の項に行く度に一定の数を足しているので、等差数列です。等差数列の和は、「初項と末項を足して２で割りｎ倍する」ことから表されています。


■　計算式

等差数列の和の公式Ｓn＝(ｎ／２){２ａ＋(ｎ−１)ｄ}に、ａ＝１，ｄ＝３を代入して、

Ｓn＝(ｎ／２){２×１＋(ｎ−１)×３}
　＝(ｎ／２)(２＋３ｎ−３)
　＝(ｎ／２)(３ｎ−１)

基本的にはここで終わりで大丈夫ですが、マークなどの解答の形式次第では、さらに括弧を外して、

　＝(３ｎ^2−ｎ)／２

などとする必要があるかも知れません。


関連問題
等差数列の一般項１，４，７，…
初項が３，公差が２の場合


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書き換え英作文問題「疑問文」「否定文」「ＳＶＯＣの文」「接続詞」「疑問詞」

書き換え英作文問題「疑問文」「否定文」「疑問詞」「ＳＶＯＣの文」「接続詞」


指示に従って書き換えよ。
Her words made me happy.

1. 疑問文に

───────────────────────────────────────　
2. 否定文に

───────────────────────────────────────　
3. 「彼女の手紙で私は嬉しくなりました」となるように

───────────────────────────────────────　
4. 次の書き出しで、もとの文とだいたい同じ内容に
I was happy when
───────────────────────────────────────　
5. 下線部を問う疑問文に

───────────────────────────────────────　


解答解説はこちら


◆文法事項の説明
疑問文、否定文、ＳＶＯＣの文、接続詞、疑問詞を使った疑問文


今回の問題は、次の書籍のP.18にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



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本日配信のメルマガ。2020年センター数学２Ｂ第４問[ハヒ]

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問の[ハヒ]までを解説します。


【高校数学】読むだけでわかる！センター数学の考え方
　http://www.mag2.com/m/0001641004.html

の冒頭部分を配信していきます。
まずはこのメルマガで雰囲気を掴んでいただければ幸いです。


リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2020年大学入試センター試験数学２Ｂより

第４問

　点Ｏを原点とする座標空間に２点

　　Ａ(３，３，−６)，Ｂ(２＋２√３，２−２√３，−４)

をとる。３点Ｏ，Ａ，Ｂの定める平面をαとする。また、αに含まれる点Ｃは

　　→ＯＡ⊥→ＯＣ，→ＯＢ・→ＯＣ＝２４　　……{1}

を満たすとする。

(1) |→ＯＡ|＝[ア]√[イ]，|→ＯＢ|＝[ウ]√[エ]であり、
→ＯＡ・→ＯＢ＝[オカ]である。


(2) 点Ｃは平面α上にあるので、実数ｓ，ｔを用いて、
→ＯＣ＝ｓ・→ＯＡ＋ｔ・→ＯＢと表すことができる。
このとき、{1}からｓ＝[キク]／[ケ]，ｔ＝[コ]である。
したがって、|→ＯＣ|＝[サ]√[シ]である。


(3) →ＣＢ＝([ス]，[セ]，[ソタ])である。したがって、平面α上の
四角形ＯＡＢＣは[チ]。[チ]に当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから一つ
選べ。ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

{0} 正方形である
{1} 正方形でないが、長方形である
{2} 長方形でないが、平行四辺形である
{3} 平行四辺形でないが、台形である
{4} 台形ではない

→ＯＡ⊥→ＯＣであるので、四角形ＯＡＢＣの面積は[ツテ]である。


(4) →ＯＡ⊥→ＯＤ，→ＯＣ・→ＯＤ＝２√６かつｚ座標が１であるような点Ｄの
座標は

　　([ト]＋√[ナ]／[ニ]，[ヌ]−√[ネ]／[ノ]，１)である。
このとき∠ＣＯＤ＝[ハヒ]°である。


つづく


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　ベクトルの成分と大きさ
　◆２　ベクトルの足し算とかけ算
　◆３　絶対値は三平方の定理

(以下略)

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■　解説

◆１，２は省略します。


　◆３　絶対値は三平方の定理

では今回の問題です。

まず最初は、→ＯＡと→ＯＢの絶対値を求める問題となっています。

ベクトルの絶対値は、要するにその長さなので、◆１でも触れたように、三平方の
定理から求めることができます。

→ＯＡ＝(３，３，−６)なので、

|→ＯＡ|＝√{３^2＋３^2＋(−６)^2}
　　　　＝√(９＋９＋３６)
　　　　＝√５４
　　　　＝３√６

→ＯＢも同様に・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校生物(用語)「葉緑体」

高校生物(用語)「葉緑体」

★葉緑体(chloroplast)

光合成の場であり、緑色の光合成色素クロロフィルを多く含む細胞小器官。
粒状で、二重膜からなり、内部の袋状の構造をチラコイド、チラコイドが重なった部分をグラナ、そのほかの部分をストロマという。
独自のDNAなどを持ち、シアノバクテリアなどを起源とする共生体と考えられている。
ミトコンドリアとともに、細胞内共生説の根拠の一つとなっている。


葉緑体について調べていたら、こんなバンド見つけました(笑)結構良いかも。ジャンル違いだけどいつか対バンしたいな〜



関連問題
「共生説」「葉緑体」「ミトコンドリア」


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高校数学「等差数列」「一般項」１，４，７，１０，１３，・・・

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■　問題

次の数列の一般項ａnを求めよ。
１，４，７，１０，１３，・・・


このときは何をすれば良いでしょうか？(複数選択)


■　選択肢

　�@　最初は１だから初項ａ＝１

　�A　第２項は４だから公差ｄ＝４

　�B　初項は１，第２項は４だから４倍になっているので公比ｒ＝４

　�C　次の項に進む度に３ずつ増えてるから公差は３


解答解説はこのページ下に


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■　選択肢の解答・解説

　�@　最初は１だから初項ａ＝１
　�C　次の項に進む度に３ずつ増えてるから公差は３

　高校数学の数列の最も基本的なタイプの問題です。実際に並べられた数字の列を見て、最初の項と増減の仕方を見抜くことが大切です。２つの項の間だけで判断すると、等差なのか等比なのかあるいはそれ以外なのかを勘違いしてしまう可能性があるので、少なくとも３つの項の関係を考えることが大切です。


■　計算式

初項ａ＝１，公差ｄ＝３を等差数列の一般項ａn＝ａ＋(ｎ−１)ｄに代入して、

ａn＝１＋(ｎ−１)×３
＝１＋３ｎ−３
　＝３ｎ−２


関連項目
初項が３，公差が２の場合


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高校生物(用語)「ミトコンドリア」

高校生物(用語)「ミトコンドリア」

★ミトコンドリア(mitochondrion，複数形: mitochondria)

呼吸の場であり、酸素を用いて有機物からエネルギーを取り出す働きの細胞小器官。
二重の生体膜からなり、内膜が内側に突出した部分をクリステ、内膜に囲まれた部分をマトリックスという。
独自のDNAをもつため、細胞内共生説の根拠の一つとなっている。


ミトコンドリアについて詳しく知りたい方は、こんな本を読んでみてはいかがでしょうか？



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中学英語「進行形」

中学英語「進行形」

進行形は「〜している」「〜していた」などの意味を表します。
英語で進行形の表現をするときは、「be動詞＋〜ing」の形にします。

・「〜ing」だけでは、述語動詞としての進行形にはならない。
・「be動詞＋〜ing」で「進行形」になる。

ことをしっかり覚えておいてください。

be動詞が現在形ならば「現在進行形」
be動詞が過去形ならば「過去進行形」

となります。

また、進行形には必ずbe動詞が入るので、進行形の疑問文・否定文は、be動詞がある場合の言い方になります。


◆関連項目
be動詞の過去形
現在分詞
進行形まとめ


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