2020年07月25日

高校物理「摩擦力」粗い斜面上の加速度を求める

高校物理「摩擦力」粗い斜面上の加速度を求める

◆問題

水平とのなす角がθのあらい斜面があり、この斜面上に質量mの物体を置く。斜面と物体との動摩擦係数がμ、重力加速度がgのとき、斜面を滑り落ちる物体の加速度を求めよ。


解答解説はこのページ下


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。2020年7月現在、平日昼間に授業可能な既卒生・社会人を若干名募集しています。
従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

まずは力を一つ一つ図示しましょう!

斜面上に物体を描き、物体の重心から鉛直下向きに適当な長さの矢印を書きます。これが重力です。
力はF=maであり、重力加速度はgなので、重力W=mgとなります。

この重力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解します。
重力が対角線となるような平行四辺形(この場合は長方形)を描き、平行四辺形の辺に沿って、物体の重心から伸びる矢印とします。

水平と斜面とのなす角はθで、重力の対角線で分割された平行四辺形は相似なので、対応する角がθになります。

すると、重力の斜面に平行な方向の成分はmgsinθ,垂直な成分はmgcosθであることがわかります。
これは三角形を回転して、θを左下、直角を右下に移動した三角形を描いてみれば、わかりやすいと思います。

まずはここまでで、重力とその分力を表しました。


続いて、斜面に垂直な成分と垂直抗力はつり合っているので、N=mgcosθがわかります。

問題の設定より、物体は斜面を滑り落ちるので、摩擦力はその反対向きつまり、斜面を登る方向にはたらきます。

摩擦力はF=μNで、これにN=mgcosθを代入すると、F=μmgcosθが得られます。

重力によって斜面を滑り落ちようとする力は先ほどのmgsinθで、それを妨げる力がμmgcosθだから、物体を加速させる力はこれらの合力で(mgsinθ−μmgcosθ)となります。

これで物体にはたらく力を全て表すことができました。


物体はこれらの力を受けて斜面を滑り落ちているので、このときの加速度をaとして運動方程式ma=Fを適用すると、

ma=mgsinθ−μmgcosθ
 a=gsinθ−μgcosθ   ←両辺をmで割った
  =g(sinθ−μcosθ)   ←gでくくった


ということで、この斜面上の物体は、g(sinθ−μcosθ)の加速度で加速することがわかりました。


◆関連問題
「滑車でつながれた物体」「斜面」「摩擦力」


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 16:00| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「直線の式」y−y1=m(x−x1)

高校数学「直線の式」y−y1=m(x−x1)

直線の式は、中学数学ではy=ax+bのみを使いました。
高校数学でも、もちろんそれでもかまわないのですが、もう少し便利な公式が登場します。

直線が通る点の座標を(x1,y1),傾きをmとすると、
y=mxという比例の式を、(x1,y1)だけ平行移動したと考えて、

y−y1=m(x−x1)

この形で表すことができます。

この式を使うと、連立方程式にしなくても、代入して整理するだけで直線の式が完成します。
y=ax+bよりも、少しだけ手間が少なくなるので、できるだけ覚えて使えるようにした方がいいです!


◆関連項目
変化の割合1次関数2点を通る直線の式(中学)


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 10:44| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「微分」「接線」y=x^3−2xのx=2における接線の方程式

高校数学「微分」「接線」y=x^3−2xのx=2における接線の方程式

■ 問題

 「y=x^3−2xのx=2における接線の方程式を求めよ」


このときやるべき事は何でしょうか?(複数選択)



■ 選択肢

 @ y=0で解く

 A 与式にx=2を代入する

 B y'=0で解く

 C y'の式にx=2を代入する



解答解説はこのページ下に


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。2020年7月現在、平日昼間に授業可能な既卒生・社会人を若干名募集しています。
従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答・解説

 A 与式にx=2を代入する
 C y'の式にx=2を代入する

 接線の方程式を求めるためには、接点の座標と、その場合の接線の傾きが必要です。
 x=2における接線を求めたいので、まず「A与式にx=2を代入」して、接点のy座標を求めます。
 次に、与式を微分して導関数を求め、x=2を代入します。これがx=2における微分係数であり、x=2における接線の傾きです。
 接点の座標と接線の傾きがわかれば、★直線の公式y−y1=m(x−x1)に代入し、まとめれば接線の方程式の完成!というわけです。


■ 計算式

まずはx=2を代入してy座標を求めます。

y=2^2−2×2
 =8−4=4
よって、接点の座標は(2,4)

次にx=2における微分係数を求めます。

y'=3x^2−2
 =3×2^2−2
 =12−2=10
よって、接線の傾きは10

あとはy−y1=m(x−x1)に、(2,4)とm=10を代入して、
y−4=10(x−2)
  y=10x−20+4
  y=10x−16


今回の問題は、この書籍のP25にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
y=x^3−xの、x=3における微分係数


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 07:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
江間淳の書籍一覧 → http://amzn.to/2m9LTvN