2020年07月27日

高校数学(用語)「増減」

高校数学(用語)「増減」

★増減(increase and decrease)

xy平面上の関数において、

グラフが右上がり、すなわち接線の傾きがプラスなら「増加」
グラフが右下がり、すなわち接線の傾きがマイナスなら「減少」

と考えます。
どの区間で「増加」し、どの区間で「減少」するかが、「増減」です。

関数を微分すると接線の傾きがわかるので、関数の増減や最大最小を考えるときは、何はともあれ微分して導関数y'を求める。という方法が必要になることが多いです。

また、関数の増減が切り替わる点が「極値」です。
接線の傾きがゼロのとき、関数の増加・減少が切り替わるので、y'=0のときが極値です。


★増減表

関数の増減を表す表を「増減表」といいます。
基本的に、数学2以上の微分積分の単元で使用します。

x,yの関数ならば、一番上の段にx,真ん中の段にy',下の段にyの値を示します。

増減表の書き方は、別のページで解説します。


◆関連問題
y=x^3−3xの増減


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ラベル:数学
posted by えま at 15:09| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「微分」「関数の増減」y=x^3−3xの増減

高校数学「微分」「関数の増減」y=x^3−3xの増減

■ 問題

 「y=x^3−3xの増減を調べよ」


このときやるべき事は何でしょうか?(複数選択)



■ 選択肢

 @ 参考書で調べる

 A ネットで調べる

 B 詳しい人に聞いて調べる

 C 与式を微分して、増減表を書き、導関数の符号の変化を調べる


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 C 与式を微分して、増減表を書き、導関数の符号の変化を調べる

 「関数の増減を調べる」というのは、グラフが右上がりか右下がりかを調べることです。つまりは、接線の傾きの符号によって増加か減少かわかります。
 このブログでも何度か触れたことがありますが、接線の傾きは導関数の式の値つまり微分係数の値です。
 そして、増減を調べるときは(極値を求めたり、最大最小を考えたりのときも)、増減表を書くのが標準的です。


■ 計算式

 関数の増加減少は接線の傾きによって、つまり、y'の値によってわかります。だから、まずは微分ですね!微分すると「y'=3x^2−3」です。

この式の値がゼロのときが、増減が切り替わるところなので、y'=0で解きます。
   3x^2−3=0
    x^2−1=0
(x+1)(x−1)=0
∴x=−1,1
xの3乗の係数がプラスなので、全体として右上がりだから、増減表は次のようになります。x=−1,1のときのy座標を先に出して、比較しても良いと思います。

│ x│ …│−1│ …│ 1│ …│
│ y'│ +│ 0│ −│ 0│ +│
│ y│ ↗ │ 2│ ↘ │−2│ ↗ │

よって、x<−1,x>1で増加、−1<x<1で減少


今回の問題は、この書籍のP33にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
y=x^3−xの、x=3における微分係数


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