2020年08月02日

高校数学「微分」「極値」y=x^3−3x

高校数学「微分」「極値」y=x^3−3x

■ 問題

 「y=x^3−3xの極値を求めよ」


このときは与式を微分しますが、他には何をすればいいでしょうか?
あまり悩みすぎず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ y=0で解く

 A y'=0で解く

 B x=0で解く

 C y'の式を平方完成する


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 A y'=0で解く

 極値とは、曲線のグラフの山や谷の部分の先端の値のことです。山や谷の先端では、関数の増減が切り替わるので、接線の傾きはゼロになります。つまり、y'=0となるのです。y'=0で解けば、極値のときのxの値がわかる。というわけです。


■ 計算式

 極値はy'=0のときのyの値のことです。だから、y'=0で解いて、求めたx座標からy座標を求めます。まず、微分するとy'=3x^2−3ですね。このy'がゼロのときが極値なので、y'=0で解きます。

  3x^2−3=0
   x^2−1=0
(x+1)(x−1)=0
∴x=−1,1

xがこれらの値のときのyの値が極値になります。

x=−1のとき、y=(−1)^3−3×(−1)=−1+3=2
x=1のとき、y=1^3−3×1=1−3=−2

増減表は
│ x│ …│−1│ …│ 1│ …│
│ y'│ +│ 0│ −│ 0│ +│
│ y│ ↗ │ 2│ ↘ │−2│ ↗ │

となります。極値のうち、大きい方が「極大値」、小さい方が「極小値」です。
よって、x=−1のとき極大値2,x=1のとき極小値2


今回の問題は、この書籍のP37にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
y=x^3−xの、x=3における微分係数
y=x^3−3xの増減


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posted by えま at 10:22| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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