2020年08月14日

高校数学「定積分を含む方程式」f(x)=x・∫[0〜1] f(x)dx+1

高校数学「定積分を含む方程式」f(x)=x・∫[0〜1] f(x)dx+1

■ 問題


 「等式f(x)=x・∫[0〜1] f(x)dx+1を満たすf(x)を求めよ」


このときは何をすればいいでしょうか?
あまり悩みすぎず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢


 @ ∫[0〜1]f(x)dx=kとおいて、等式を微分する

 A ∫[0〜1]f(x)dx=kとおいて、与式に代入する

 B 与式にx=0を代入する

 C 与式にx=1を代入する


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 A ∫[0〜1]f(x)dx=kとおいて、与式に代入する

 定積分の部分は、最終的に「1を代入したやつから0を代入したやつを引く」ので、ある一つの定数になります。だから、kという一つの文字に置き換えることができるのです。
 定積分の部分を文字で置き換えると、最初の見た目と比べると遙かに簡単な式になり、kについての等式が得られるので、kの値もわかる。という流れです。


■ 計算式

 まずは∫[0〜1]f(x)dx=kとおくと、与式はf(x)=kx+1と書き換えられます。つまりf(x)とkx+1は等しいので、与式に代入すると、

kx+1=x・∫[0〜1] (kx+1)dx+1
  kx=x・[(k/2)x^2+x][0〜1]
   k=(k/2)+1
  2k=k+2
  k=2
f(x)=kx+1だから、f(x)=2x+1


今回の問題は、この書籍のP65にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
「微分」x^2+3x+2


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posted by えま at 10:45| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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