2020年09月03日

高校数学「定積分を含む方程式」f(x)=∫[0〜2]{3x^2−x・f(t)}dt

高校数学「定積分を含む方程式」f(x)=∫[0〜2]{3x^2−x・f(t)}dt

■ 問題

f(x)=∫[0〜2]{3x^2−x・f(t)}dtを満たす関数f(x)を求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

定積分は計算すると定数になるので、定積分の部分を一つの文字でおくと簡単な方程式を作ることができて、f(x)を求めることができる。と考えられるようにしておきましょう!

今回の問題は定積分を含む方程式f(x)=x・∫[0〜1] f(x)dx+1よりも少し複雑ですが、基本的な考え方は変わりません。

まずは定積分の部分をばらばらに分けます。

f(x)=∫[0〜2]3x^2dt−∫[0〜2]x・f(t)dt

tについて積分するのでxは定数とみなして、

f(x)=3x^2・∫[0〜2]dt−x・∫[0〜2]f(t)dt

ここで、∫[0〜2]f(t)dt=aとおくと、

f(x)=3x^2・(2−0)−ax
  =6x^2−ax

a=∫[0〜2]f(t)dtなので、

a=∫[0〜2](6t^2−at)dt
 =[2t^3−(1/2)at^2][0〜2]
 =2・2^3−(1/2)a・2^2−0
 =16−2a

a=16−2aだから、3a=16よりa=16/3

f(x)=6x^2−axなので、もとめる関数はf(x)=6x^2−(16/3)x


今回の問題の関連問題は、この書籍のP68にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
定積分を含む方程式f(x)=x・∫[0〜1] f(x)dx+1


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ラベル:数学
posted by えま at 22:42| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校地学「太陽系を構成する天体」

高校地学「太陽系を構成する天体」

◆問題

空欄に適語を入れてください。

太陽系は、銀河系の中に存在し、恒星である太陽、水星から(@)までの8個の惑星、(@)の外側の領域にある小天体群である(A)、惑星を周回する(B)、小惑星、細長い楕円軌道で公転する(C)などで構成されている。太陽系の質量の99.86%が太陽に集中している。


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◆解答解説

@海王星,A太陽系外縁天体,B衛星,C彗星

太陽系は、銀河系の中に存在し、恒星である太陽、水星から海王星までの8個の惑星、海王星の外側の領域にある小天体群である太陽系外縁天体、惑星を周回する衛星、小惑星、細長い楕円軌道で公転する彗星などで構成されている。太陽系の質量の99.86%が太陽に集中している。


今は太陽系外縁天体に分類される冥王星は、以前は「惑星」に分類されていました。かつては(今も?)太陽系の惑星は「水金地火木土天海冥」という覚え方をしたもので、「冥」が抜けると、すごく違和感があるという人も多いはず?


◆関連問題
地球型惑星と木星型惑星銀河系の構造宇宙の大規模構造


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posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校地学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校物理(用語)「弾性衝突」

高校物理(用語)「弾性衝突」

★弾性衝突(elastic collision)

反発係数e=1のときの衝突を(完全)弾性衝突という。

弾性衝突では力学的エネルギーが保存する。


内力のみがはたらく衝突では運動量が保存し、反発係数e=1のときは力学的エネルギーも保存する。という条件で式を立てることがあります。


e=1の弾性衝突に対して、

0≦e≦1のときは「非弾性衝突(inelastic collision)」、e=0のときは「完全非弾性衝突(completely inelastic collision)」といいます。
「非弾性衝突」では力学的エネルギーは減少し、「完全非弾性衝突」では2つの物体は一体となることも覚えておくといいでしょう!


◆関連項目
相対速度、反発係数


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posted by えま at 08:32| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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