2020年09月15日

本日配信のメルマガ。2020年センター数学2B第4問

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学2B第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
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■ 問題

2020年大学入試センター試験数学2Bより

第4問

 点Oを原点とする座標空間に2点

  A(3,3,−6),B(2+2√3,2−2√3,−4)

をとる。3点O,A,Bの定める平面をαとする。また、αに含まれる点Cは

  →OA⊥→OC,→OB・→OC=24  ……{1}

を満たすとする。

(1) |→OA|=[ア]√[イ],|→OB|=[ウ]√[エ]であり、
→OA・→OB=[オカ]である。


(2) 点Cは平面α上にあるので、実数s,tを用いて、
→OC=s・→OA+t・→OBと表すことができる。
このとき、{1}からs=[キク]/[ケ],t=[コ]である。
したがって、|→OC|=[サ]√[シ]である。


(3) →CB=([ス],[セ],[ソタ])である。したがって、平面α上の
四角形OABCは[チ]。[チ]に当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから一つ
選べ。ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

{0} 正方形である
{1} 正方形でないが、長方形である
{2} 長方形でないが、平行四辺形である
{3} 平行四辺形でないが、台形である
{4} 台形ではない

→OA⊥→OCであるので、四角形OABCの面積は[ツテ]である。


(4) →OA⊥→OD,→OC・→OD=2√6かつz座標が1であるような点Dの
座標は

  ([ト]+√[ナ]/[ニ],[ヌ]−√[ネ]/[ノ],1)である。
このとき∠COD=[ハヒ]°である。

 3点O,C,Dの定める平面をβとする。αとβは垂直であるので、
三角形ABCを底面とする四面体DABCの高さは√[フ]である。したがって、
四面体DABCの体積は[ヘ]√[ホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ
 ◆2 ベクトルの足し算とかけ算
 ◆3 絶対値は三平方の定理
 ◆4 内積は「掛けて足す」

(以下略)

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■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 絶対値は三平方の定理

では今回の問題です。

まず最初は、→OAと→OBの絶対値を求める問題となっています。

ベクトルの絶対値は、要するにその長さなので、◆1でも触れたように、三平方の
定理から求めることができます。

→OA=(3,3,−6)なので、

|→OA|=√{3^2+3^2+(−6)^2}
    =√(9+9+36)
    =√54
    =3√6

→OBも同様に、→OB=(2+2√3,2−2√3,−4)なので、

|→OB|=√{(2+2√3)^2+(2−2√3)^2+(−4)^2}
    =√(4+8√3+12+4−8√3+12+16)
    =√48
    =4√3

よって、[ア]=3,[イ]=6,[ウ]=4,[エ]=3


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 ◆4 内積は「掛けて足す」

続いて、→OA・→OBを求めます。

◆1でも述べたように、「内積はそれぞれの成分の積を合計する」ので、ここでも
→OAと→OBのx成分、y成分、z成分をそれぞれかけて合計します。

→OA=(3,3,−6),→OB=(2+2√3,2−2√3,−4)だから・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
posted by えま at 17:00| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校物理「小球と壁との衝突」点Rの位置

高校物理「小球と壁との衝突」点Rの位置

◆問題

水平な床の点Pから水平距離Sだけ離れた鉛直な壁に向かって、初速度v0(水平成分をvx,鉛直成分をvyとする)で小球を発射したところ、小球は床から高さhの点Qで壁に垂直に衝突して跳ね返り、点Rに落下した。重力加速度をg,小球と壁の間の反発係数を0.60として、次の問いに答えよ。

(1) 小球が点Pから点Qに達するまでの時間tをvy,gを用いて表せ。

(2) vx,vyをh,g,Sを用いて表せ。

(3) 壁から点Rまでの距離を、Sを用いて表せ。


このページでは(3)を解説します。


★★ お知らせ ★★

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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

「小球と壁との間の反発係数は0.60」なので、跳ね返った後の水平方向の速さは衝突前の0.60倍になります。

(2)で求めたように、vx=S√g/√(2h)なので、衝突後の速さvは、この0.60倍つまり、v=0.60・S√g/√(2h)となります。

この運動は斜方投射で、小球は最高点で壁と衝突するので、PQの時間とQRの時間は同じになります。
つまり、tQR=√(2h)/√gです。

空中では水平方向には力を受けないので、水平方向の速度は一定です。

ということは、

v=0.60・S√g/√(2h)の速さで、

tQR=√(2h)/√gの時間だけ

進んだとき、点Rに到達する。

のですね!

あとはいわゆる「みはじ」と考えてもかまいません。求める距離は「速さ×時間」なので、

 {0.60・S√g/√(2h)}・{√(2h)/√g}
=0.60S


水平方向の速さが0.6倍になるのだから、距離も0.6倍ですね!


この問題の最初に戻る


◆関連問題
「反発係数」「ボールと床の衝突」


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posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校地学「地球楕円体」「扁平率」

高校地学「地球楕円体」「扁平率」

◆問題

地球は、自転による(@)のために、赤道半径の方が長くなっている。赤道半径と極半径をもつ楕円を(A)で回転させてできる回転楕円体を(B)という。赤道半径をa,極半径をbとすると、(B)の扁平率は(C)で求めることができる。


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◆解答解説

@遠心力,A自転軸,B地球楕円体,C(a−b)/a

地球は、自転による遠心力のために、赤道半径の方が長くなっている。赤道半径と極半径をもつ楕円を自転軸で回転させてできる回転楕円体を地球楕円体という。赤道半径をa,極半径をbとすると、地球楕円体の扁平率は(a−b)/aで求めることができる。


地球楕円体の扁平率は、約1/300です。


関連問題
地球の大きさ


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posted by えま at 09:00| Comment(0) | 高校地学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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