2020年09月16日

高校数学「複素数」z=(2+2i)/(√3+i)のとき、zを極形式で表せ

高校数学「複素数」z=(2+2i)/(√3+i)のとき、zを極形式で表せ

■ 問題

z=(2+2i)/(√3+i)のとき、zを極形式で表せ。


解答解説はこのページ下に


★★ お知らせ ★★

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■ 解答解説

極形式とは、複素数をz=r(cosθ+isinθ)の形で表したものです。

詳しくは別記事で解説したいと思いますが、rは複素数の絶対値、実部がcosθ,虚部がisinθです。
与えられた複素数は(2+2i)/(√3+i)で、少し複雑な形なので、有理化をしてシンプルな形に直すのも一つの方法です。
しかし、この場合は、有理化してもあまり簡単にならないので、別な方法を採った方がよいです。

「分子と分母それぞれを極形式にすると、商の極形式を利用することができるな〜」「それぞれ直すなら簡単にできるな〜」

ってことで、まずは分子と分母それぞれを極形式にしてみます。

まずは分子について。
2+2iの絶対値は2√2なので、2√2でくくって、
2+2i=2√2(1/√2+i/√2)
    =2√2{cos(π/4)+isin(π/4)}

次に分母。
√3+iの絶対値は2なので、2でくくって、
√3+i=2(√3/2+i/2)
   =2{cos(π/6)+isin(π/6)}

よって、

z=2√2{cos(π/4)+isin(π/4)}/2{cos(π/6)+isin(π/6)}
 =√2{cos(π/4−π/6)+isin(π/4−π/6)}
 =√2{cos(π/12)+isin(π/12)}


関連問題
複素数を極形式で表す商の極形式


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ラベル:数学
posted by えま at 18:33| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

本日配信のメルマガ。2016年センター英語第6問

本日配信のメルマガでは、2016年大学入試センター試験英語第6問を解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

第6問 次の文章を読み、下の問い(A・B)に答えよ。なお、文章の左にある
(1)〜(6)はパラグラフ(段落)の番号を表している。

(1) Opera is an art form that celebrates the human voice at its highest
level of expression. No other art form creates excitement and moves the
heart in the way that opera does, especially when performed by a great
singer. Such singers are trained to present some of the greatest and most
challenging music that has ever been composed for the human voice.

(2) Opera is an important part of the Western classical music tradition.
It uses music, words, and actions to bring a dramatic story of life. Opera
started in Italy at the end of the 16th century and later became popular
throughout Europe. Over the years, it has responded to various musical and
theatrical developments around the world and continues to do so. In recent
decades, much wider audiences have been introduced to opera through modern
recording technology. Some singers have become celebrities thanks to
performing on radio, on television, and in the cinema.

(3) However, in recent years, opera has been facing serious challenges.
The causes of some of these are beyond its control. One current challenge
to opera is economic. The current world economic slowdown has meant that
less money is available for cultural institutions and artists. This
shortage of money raises the broader question of how much should be paid
to support opera singers and other artists. Society seems to accept the
large salaries paid to business managers and the multi-million-dollar
contracts given to sports athletes. [But what about opera singers?]
Somehow, people have the idea that artists can be creative only if they
suffer in poverty, but this is unrealistic: If artists, including opera
singers, lack the support they need, valuable talent is wasted.

(4) Not only the shortage of money, but also the way money is managed in
the opera world has led to hardships. Principal singers are generally paid
performance fees once they complete a show. They typically receive nothing
during the many weeks of rehearsal before a show starts. To prepare for
a role, they must pay the costs of lessons and coaching sessions. If they
become ill or cancel their performance, they lose their performance fee.
The insecurity of this system puts the future of opera at risk.

(5) Another problem faced by opera is how to meet the demands of audiences
who are influenced by popular entertainment. Pop singers are often judged
as much on the basis of how they look as how they sound. Therefore, opera
singers, performing to audiences influenced by this popular culture, are
now expected to be "models who sing." These demands may be unrealistic and
possibly harmful. Opera singers simply cannot make a sound big enough to
fill a large theater or concert hall without microphone if their body
weight is too low. Emphasizing physical appearance over singing ability
may cause audiences to miss out on the human voice at its best.

(6) There are no easy solutions to opera's problems and there are many
different opinions about the value of opera. However, every year many
young people register for music courses with hopes and dreams of
developing their talents in this special art form. The fact that opera has
survived many obstacles and continues to attract the rising generation
demonstrates that it remains a respected art form full of value.

A 次の問い(問1〜5)の[ 47 ]〜[ 51 ]に入れるのに最も適当なものを、
それぞれ下の{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

問1 Which of these statement is true according to paragraph (2)? [ 47 ]
{1} Opera develops by adapting to new conditions.
{2} Opera fans thank celebrities for performing.
{3} Opera singers avoid singing on TV and in films.
{4} Opera singers' life stories are dramatic.

問2 In paragraph (3), what is another way of asking the question
"[But what about opera singers?]" [ 48 ]
{1} How do opera singers prepare?
{2} How should we use opera singers?
{3} What are opera singers worth?
{4} What sums do opera singers pay?

問3 According to paragraph (3) and (4), which statement is true? [ 49 ]
{1} Opera singers are financially unstable.
{2} Opera singers ask only the wealthy to attend.
{3} Opera singers get paid before the show.
{4} Opera singers perform better if they are poor.

問4 Which statement best expresses the author's opinion in paragraph (5)?
[ 50 ]
{1} Audiences know best how opera should be performed.
{2} Microphones should be used to make opera more enjoyable.
{3} Opera singers' voices should be valued more than their looks.
{4} Popular culture has had a positive influence on opera.

問5 What would be the best title for this passage? [ 51 ]
{1} How to Make Money in Opera
{2} Opera as a Part of Popular Culture
{3} The Difficulties Facing Opera
{4} The Historical Context of Opera


B 次の表は、本文のパラグラフ(段落)ごとの内容をまとめたものである。
[ 52 ]〜[ 55 ]に入れるのに最も適当なものを、下の{1}〜{4}のうちから一つ
ずつ選び、表を完成させよ。ただし、同じものを繰り返し選んではいけない。

−−−−−−−−−−−−−−−−−
| Paragraph |    Content    |
−−−−−−−−−−−−−−−−−
|  (1)  | Introducing opera |
|  (2)  |    [ 52 ]    |
|  (3)  |    [ 53 ]    |
|  (4)  |    [ 54 ]    |
|  (5)  |    [ 55 ]    |
|  (6)  | Prospects for opera |
−−−−−−−−−−−−−−−−−

{1} Effect of world finance on opera
{2} Impact of popular culture on opera
{3} Opera from the past to the present
{4} Problems in money management


※マーク部分の□は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、2021年1月に実施される新試験
「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。好評につき定員間近ですので、
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合わせて授業を行います。

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まずは「j@a-ema.com」までご相談ください。

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■ 解答・解説

2016年も第6問は長文問題でした。
概ね段落1つにつき設問が1つなので、設問で示された段落をしっかり読めば、
確実に正解できるはずです。



問1 Which of these statement is true according to paragraph (2)? [ 47 ]
問1 パラグラフ(2)によると、これらの陳述のうちどれが本当ですか?

{1} Opera develops by adapting to new conditions.
{1} オペラは新しい状況に適応することにより発展する

{2} Opera fans thank celebrities for performing.


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html


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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

(1) オペラとは、最高のレベルの人間の声で表現される一つの芸術の形です。
素晴らしい歌手によって演じられるときは特に、他のどの形態の芸術でも、オペラ
がするように興奮を創り出し心を動かすものはありません。そのような歌手は、

(以下略)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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ラベル:英語
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高校地学「地球の構成物質」

高校地学「地球の構成物質」

◆問題

地殻は火成岩・堆積岩・変成岩で構成されている。海洋地殻は主に(@)質の岩石で薄く、密度は比較的(A)。大陸地殻は主に(B)質の岩石で厚く、密度は比較的小さい。
マントルは深さが約(C)kmあり、地球の体積の約83%を占め、地殻より密度が大きい。深さ約670kmを境にかんらん岩質の岩石からなる(D)と(E)に区分される。
核の主成分は(F)で、外核は液体、内核は固体でできている。


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◆解答解説

@玄武岩,A大きい,B花こう岩,C2900,D上部マントル,E下部マントル,F鉄

地殻は火成岩・堆積岩・変成岩で構成されている。海洋地殻は主に玄武岩質の岩石で薄く、密度は比較的大きい。大陸地殻は主に花崗岩質の岩石で厚く、密度は比較的小さい。
マントルは深さが約2900kmあり、地球の体積の約83%を占め、地殻より密度が大きい。深さ約670kmを境にかんらん岩質の岩石からなる上部マントル下部マントルに区分される。
核の主成分はで、外核は液体、内核は固体でできている。


大陸地殻は30〜50km程度、海洋地殻は6〜8km程度の厚さがあります。中心に近い層ほど圧力が高いので密度の大きい物質で構成されていると理解しておくと覚えやすいと思います。


関連問題
地球の層構造「地球楕円体」「扁平率」地球の大きさ


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高校地学「地球の層構造」

高校地学「地球の層構造」

◆問題

地球の内部は、表面から地殻、(@)、(A)、内核に区分される。地殻と(@)は岩石でできている。(A)と内核の主成分は(B)であり、(A)は液体である。地殻と(@)の境界は(C)と呼ばれる。


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◆解答解説

@マントル,A外核,B鉄,Cモホロビチッチ不連続面

地球の内部は、表面から地殻、マントル外核、内核に区分される。地殻とマントルは岩石でできている。外核と内核の主成分はであり、外核は液体である。地殻とマントルの境界はモホロビチッチ不連続面と呼ばれる。


モホロビチッチ不連続面は略して「モホ不連続面」とも呼ばれます。


関連問題
地球の構成物質、「地球楕円体」「扁平率」地球の大きさ


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高校物理(用語)「斜方投射」

高校物理(用語)「斜方投射」

★斜方投射(projectile motion)

物体を一定の初速度をもって空中に投げ出す動作のこと。

初速度v0,仰角θとして、初速度の水平成分v0x=v0cosθ,初速度の鉛直成分v0y=v0sinθとすることが多い。


さらに、空中を飛んでいる間は

・水平方向には力を受けないとみなして、等速度運動をする。
・鉛直方向には重力のみを受けるとみなして、等加速度運動をする。

と考えて式を作る場合が多いです。


◆関連項目
等速直線運動等加速度運動


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こんなヤツです
名前:江間淳
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職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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