2020年09月22日

高校数学「平面のベクトル」ひし形、内積

高校数学「平面のベクトル」ひし形、内積

■ 問題

1辺の長さが2、対角線ACの長さが√10のひし形ABCDについて考える。→AB=→a,→AD=→bとし、辺BC,辺CDをそれぞれ3:1に内分する点をE,Fとするとき、次の問いに答えよ。

(1) →EFを→a,→bで表せ。

(2) →a・→bを求めよ。


このページでは(2)を解説します。


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■ 解答解説

ベクトルの内積は基本的には次の公式で求めることができます。

→a・→b=|→a||→b|cosθ

「内積はベクトルの長さを掛けてなす角のコサインを掛ける。」という計算で求められます。

この問題でももちろんこの公式を使うことは可能ですが、cosθを求めるのがちょっと大変なので、別の方法を考えた方が良いです。

→a,→bは、ひし形の隣り合う2辺なので、「→a+→b=→AC」です。

問題文に「対角線ACの長さは√10」とあるので、この式の両辺を2乗してみると・・・

|→a+→b|^2=|→AC|^2
|→a|^2+2(→a・→b)+|→b|^2=|→AC|^2

|→a|と|→b|はひし形の1辺なので大きさは2,|→AC|は対角線なので大きさは√10だから、これらを代入すると、

2^2+2(→a・→b)+2^2=√10^2
  4+2(→a・→b)+4=10

→a・→b以外の文字は全て消えたので、あとは→a・→bについて解けば、内積の値がわかる。というわけですね!

2(→a・→b)=10−8
2(→a・→b)=2
 →a・→b=1


次の問題→|→EF|を求める。


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学1A第1問[1]

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学1A第1問[1]を解説します。


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■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第1問

[1] aを実数とする。

 9a^2−6a+1=([ア]a−[イ])^2である。次に

  A=√(9a^2−6a+1)+|a+2|

とおくと

  A=√([ア]a−[イ])^2+|a+2|

である。
 次の三つの場合に分けて考える。

・a>1/3のとき、A=[ウ]a+[エ]である。
・−2≦a≦1/3のとき、A=[オカ]a+[キ]である。
・a<−2のとき、A=−[ウ]a−[エ]である。

 A=2a+13となるaの値は

  [ク],[ケコ]/[サ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 計算方法は数学の基本
 ◆2 ただの因数分解

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 ただの因数分解

まず、aを実数として次のような式が与えられています。

9a^2−6a+1=([ア]a−[イ])^2

少し計算に慣れている人ならみんな気付くと思います。
展開・因数分解の2乗の公式の通りですね。

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

この公式において、a=3a,b=−1と考えれば・・・


つづく


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