2020年09月29日

高校数学「平面のベクトル」→c=s・→a+t・→b

高校数学「平面のベクトル」→c=s・→a+t・→b

■ 問題

→a=(−2,3),→b=(1,−2),→c=(1,−4)とする。
→cを→a,→bを用いて表せ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

「→cを→a,→bで表す」ことは、「→c=s・→a+t・→b」の形で表す。ということです。

平面上の2つのベクトルがあれば、その2つのベクトルを用いて、同一平面上のあらゆるベクトルを表すことができます。
それを実数s,tを用いて表せば、「→c=s・→a+t・→b」となります。
今回の問題の成分を使って表してみると、

(1,−4)=s(−2,3)+t(1,−2)
(1,−4)=(−2s+t,3s−2t)

このように書き換えることができます。
この式が成り立つためには、x成分同士、y成分同士がそれぞれ等しくなければいけないので、

−2s+t=1 ・・・@
3s−2t=−4 ・・・A

これらの式ができます。文字が2つ式が2つなので、もちろん連立方程式で解くことができますね!

@×2+Aより、−4s+2t+3s−2t=2−4
−s=−2
 s=2 ・・・B

Bを@に代入すると、−2×2+t=1
−4+t=1
   t=1+4=5

よって、→c=2・→a+5・→b


◆関連問題
座標とベクトルの成分表示


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ラベル:数学
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高校地学「火山噴出物」

高校地学「火山噴出物」

◆問題

空欄に適語を入れよ。

火山噴出物には、火山ガス、(@)、溶岩があり、火山ガスの主成分は(A)である。(@)は、小さいものから順に、火山灰、(B)、火山岩塊に分類される。さらに、(@)うち紡錘形のものを(C)、多孔質で白っぽいものを軽石、多孔質で黒っぽいものを(D)という。

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◆解答解説

@火砕物,A水蒸気,B火山礫,C火山弾,Dスコリア

火山噴出物には、火山ガス、火砕物、溶岩があり、火山ガスの主成分は水蒸気である。火砕物は、小さいものから順に、火山灰、火山礫、火山岩塊に分類される。さらに、火砕物のうち紡錘形のものを火山弾、多孔質で白っぽいものを軽石、多孔質で黒っぽいものをスコリアという。


さらに、高温の火砕物と火山ガスが混じったものが山の斜面を下る現象を火砕流といいます。


関連問題
マグマの性質と噴火様式火山の分布プレートの分布と区分

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本日配信のメルマガ。2019年センター数学1A第1問[3]

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学1A第1問[3]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第1問

[3] aとbはともに正の実数とする。xの2次関数

  y=x^2+(2a−b)x+a^2+1

のグラフをGとする。

(1) グラフGの頂点の座標は

  (b/[チ]−a,−b^2/[ツ]+ab+[テ])

である。

(2) グラフGが点(−1,6)を通るとき、bのとり得る値の最大値は[ト]であり、
そのときのaの値は[ナ]である。

 b=[ト],a=[ナ]のとき、グラフGは2次関数y=x^2のグラフをx軸方向に
[ニ]/[ヌ],y軸方向に[ネノ]/[ハ]だけ平行移動したものである。


※xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 2次関数は頂点が重要
 ◆2 オススメの平方完成の方法
 ◆3 1行飛ばして2乗

(以下略)

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■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 1行飛ばして2乗

では今回の問題です。

2次関数「y=x^2+(2a−b)x+a^2+1」をGとして、Gについて考えます。

まず最初は頂点を聞いています。
頂点なら、平方完成ですね。

少し難しい式ですが、基本は◆2のような簡単な関数と同様です。
落ち着いてひとつひとつやってみましょう!

まずは1行空けて、xの係数の半分を入れて2乗の式を書く。

y=x^2+(2a−b)x+a^2+1
 =
 ={x+(2a−b)/2}^2

次に・・・


つづく


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ラベル:数学
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高校物理(用語)「等速円運動」

高校物理(用語)「等速円運動」

★等速円運動(uniform circular motion)

一つの円周上を一定の速さでまわる運動のこと。

速さは一定でも、円周上だから常に向きが変わり続けるので、速度は変化し続けます。
速度が変化し続けるので、等速円運動をする物体は力を受け続けていることになり、その受ける力に応じた加速度が生じている。というわけです。

v=rω,a=rω^2,F=mrω^2,F=2π/ω

などの公式を使えるようにしておきましょう!

ちなみに、等速円運動の正射影が単振動です。


◆関連項目
単振動,運動方程式,向心力


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高校物理「単振動」「鉛直ばね振り子」「速さの最大値」

高校物理「単振動」「鉛直ばね振り子」「速さの最大値」

◆問題

ばね定数kの軽いばねの上端を天井に固定し、下端に質量mの小球を取り付けた。小球をつり合いの位置からdだけ引き下げて静かに離すと、小球は鉛直方向に単振動をした。重力加速度の大きさの大きさをgとして、次の問いに答えよ。

(1) 小球の単振動の周期をk,mを用いて表せ。

(2) 小球の速さの最大値をd,k,mを用いて表せ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

(1)の解説でも書きましたが、今回の問題はいわゆる「鉛直ばね振り子」です。

鉛直ばね振り子の場合は、つり合いの位置を振動の中心とする単振動をします。

単振動は振動の中心が最も速くなります。

今回は「振動の中心からdだけ引き下げて静かに離した」ので、振幅dの単振動をする。と考えられます。

単振動の速さはv=Aωcosωtで、A=d,ωtは振動の中心ではゼロです。
だから、v=dωcos0=dωとなります。

特に条件がなければ、速さの最大値はdωでOKですが、今回の問題では、d,k,mを使って表すので、ωを消去しなければいけません。

単振動の復元力はF=ma=−Kxで、ばねの弾性力は復元力としてはたらくから、F=−kx=−mxω^2より、k=mω^2です。
k=mω^2をωについて解くと、ω=√(k/m)が得られます。

これをdωに代入すると、

dω=d√(k/m)


前の問題→単振動の周期


◆関連問題
質量5.0kgの物体の単振動水平面内での円運動


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書き換え英作文問題「SVOO」「受動態」「疑問詞」My father bought...

書き換え英作文問題「SVOO」「受動態」「疑問詞」


次の英文を指示に従って書き換えよ。
My father bought me a pair of shoes.

1. 「me」と「a pair of shoes」を入れ替えて

─────────────────────────────────────── 
2. 「私」を主語にして受動態に

─────────────────────────────────────── 
3. 「靴」を主語にして受動態に

─────────────────────────────────────── 
4. 3番を否定文に

─────────────────────────────────────── 
5. 下線部を問う疑問文に

─────────────────────────────────────── 

解答解説はこちら


◆文法事項の説明
疑問文疑問詞を使った疑問文基本的な受け身の文第4文型(SVOO)


今回の問題は、次の書籍のP.104にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



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ラベル:英語
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高校物理「単振動」「鉛直ばね振り子」「周期」

高校物理「単振動」「鉛直ばね振り子」「周期」

◆問題

ばね定数kの軽いばねの上端を天井に固定し、下端に質量mの小球を取り付けた。小球をつり合いの位置からdだけ引き下げて静かに離すと、小球は鉛直方向に単振動をした。重力加速度の大きさの大きさをgとして、次の問いに答えよ。

(1) 小球の単振動の周期をk,mを用いて表せ。


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◆解説

今回の問題はいわゆる「鉛直ばね振り子」です。

鉛直ばね振り子の場合は、つり合いの位置を振動の中心とする単振動をします。

「鉛直ばね振り子」でも単振動は単振動なので、「水平ばね振り子」と同様に、周期はT=2π√(m/k)で表されます。

だから、求める周期Tは2π√(m/k)です。


次の問題→小球の速さの最大値


◆関連問題
質量5.0kgの物体の単振動水平面内での円運動


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