2020年10月07日

高校数学(用語)「商の微分法」

高校数学(用語)「商の微分法」

★商の微分法(quotient rule)

「y=f(x)/g(x)」の形で表される関数を微分すると、

y'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

という式が得られます。

これはy=f(x)・g(x)の微分、つまり積の微分法「y'=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)」のg(x)を1/g(x)に置き換えただけです。

置き換えてみると、y'=f'(x)・1/g(x)+f(x)・{1/g(x)}'ですね。

{1/g(x)}'=−1/{g(x)}^2なので、y'=f'(x)・1/g(x)+f(x)・[−1/{g(x)}^2]となります。あとは通分すると、

y'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

が得られる。というわけです。


◆関連項目
積の微分法


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2015年センター英語第4問A

本日配信のメルマガでは、2015年大学入試センター試験英語第4問Aを解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

第4問 次の問い(A・B)に答えよ。
A 次の文章はある説明文の一部である。この文章とグラフを読み、下の問い
(問1〜4)の[ 35 ]〜[ 38 ]に入れるのに最も適当なものを、それぞれ下の
{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

Social Networking Services(SNS), online services that allow users to
communicate with others, are used by a growing number of young people to
keep in touch with friends and family. However, this rise in the use of
SNS by young people has been accompanied by increasing anxiety among
parents and teachers. They are concerned about whether young users are
prepared for the risks that come with using SNS, including privacy issues
and unwelcome contact.
A 2011 survey asked Australian parents, students, and teachers about
their perceptions of the degree of risk when using SNS -- specifically,
whether they felt it to be "safe," "a little risky," "very risky," or
"risky but what everyone does." Figure 1 shows that over a quarter of
students chose "safe," in other words, that they felt SNS use was without
risk. In addition, 19.6% of students reported that, though they knew the
dangers, they still used SNS because that is "what everyone does." In
contrast with the students' responses, their parents and teachers were
more cautious about the risk associated with SNS use, with teachers
slightly more likely to see high risk.

http://www.a-ema.com/img/center2015eng4a1.png

Figure 1. Perceptions of SNS risk by parents, students, and teachers.

http://www.a-ema.com/img/center2015eng4a2.png

Figure 2. Perceptions of SNS risk by student year level.

Interestingly, not all students had the same perception of risk. Figure 2
shows a comparison between students by year -- "Year 7" refers to
first-year junior high school students and "Year 10" refers to first-year
high school students. While the percentage of students who responded that
SNS usage is "safe" was almost the same regardless of year, there was a
drop by year in the percentage of students who chose "a little risky,"
and a rise in those who chose "risky but what everyone does."
Furthermore, the study asked students about information security. It
found that students from years 7 to 10 were increasingly cautious about
privacy, becoming more careful by year about who could see their personal
information online. Because Year 7 students, in addition to being the
least cautious about information security, also tended to see SNS use as
either "safe" or only "a little risky," they were believed to be at the
greatest risk.
The study then examined whether adults were discussing SNS risks with
young people. However, the results here were not clear. While the study
found that over 91% of parents and 68% of teachers said they discuss SNS
issues with students, almost half of the students (46.1%) responded they
do not talk with their parents, and almost three-quarters of the students
(74.6%) responded that they do not talk with teachers. There are several
possible explanations for this gap.

(Melissa de Zwart 他(2011) Teenagers, Legal Risks & Social Networking
Sitesを参考に作成)

問1 In Figure1, which of the following do (A), (B), and (C) refer to?
[ 35 ]
{1} (A) Parents  (B) Students  (C) Teachers
{2} (A) Parents  (B) Teachers  (C) Students
{3} (A) Students  (B) Parents  (C) Teachers
{4} (A) Students  (B) Teachers  (C) Parents

問2 Which of the following is mentioned as one of the reasons that Year
7 students are thought to have the highest risk? [ 36 ]
{1} They are the least careful about security when using SNS.
{2} They are the least likely to think SNS is "safe."
{3} They are the most likely to think SNS is "very risky."
{4} They are the most likely to use SNS to contact friends.

問3 The main purpose of this passage is to [ 37 ].
{1} describe the various dangers of using SNS
{2} discuss differences in awareness of SNS risk
{3} explain why students are using SNS more
{4} suggest solutions for the problems with SNS

問4 What topic might follow the last paragraph? [ 38 ]
{1} Examples of the different risks students face in using SNS
{2} Reasons for the different responses from students and adults
{3} Trends in how students and adults use the Internet
{4} Ways to reduce the number of younger students using SNS


※マーク部分の□は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

2015年も第4問Aは、グラフとその説明の英文に関する問題でした。
最近のトレンドを反映して、SNSに関する話題となっています。

問1 In Figure1, which of the following do (A), (B), and (C) refer to?
[ 35 ]
問1 図1では、(A), (B)および(C)は、次のうちどれに当てはまりますか。[ 35 ]

{1} (A) Parents  (B) Students  (C) Teachers
{2} (A) Parents  (B) Teachers  (C) Students
{3} (A) Students  (B) Parents  (C) Teachers
{4} (A) Students  (B) Teachers  (C) Parents

図1は、親、生徒、教師によるリスクの認識についてのグラフです。
本文の第2段落に、これについての記述がありますね。

Figure 1 shows that over a quarter of students chose "safe," in other
words, that they felt SNS use was without risk.

などとあります。
1/4以上"safe"と答えているのは(A)なので・・・


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

 ソーシャルネットワークサービス(SNS)、他人とのコミュニケーションを可能に
するオンラインサービスは、ますます多くの若い人々が友達や家族と連絡を取り
続けるために使われています。しかしながら、若者によるこのSNSの利用の拡大…

(以下略)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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高校地学「島弧−海溝系の火山」

高校地学「島弧−海溝系の火山」

◆問題

島弧−海溝系には、(@)質マグマによる火山が多く、様々な性質をもったマグマが噴出する。マグマができるためには、(A)プレートが一定の深さまで沈み込む必要があるため、火山は海溝から100〜300km(B)側でなければ発生しない。島弧−海溝系で、最も海溝に近い火山を連ねた線を(C)という。


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◆解答解説

@安山岩,A海洋,B大陸,C火山前線(火山フロント)

島弧−海溝系には、安山岩質マグマによる火山が多く、様々な性質をもったマグマが噴出する。マグマができるためには、海洋プレートが一定の深さまで沈み込む必要があるため、火山は海溝から100〜300km大陸側でなければ発生しない。島弧−海溝系で、最も海溝に近い火山を連ねた線を火山前線(火山フロント)という。


安山岩でグラスを作った人もいるそうですね!



関連問題
火成岩の種類@火成岩の造岩鉱物マグマの性質と噴火様式

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高校数学「2次方程式」x^2+ax+b=0の解が3,−2のとき

高校数学「2次方程式」x^2+ax+b=0の解が3,−2のとき

■ 問題

x^2+ax+b=0の解が3,−2のとき、a,bの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

方程式の解はxの値なので、「解が3,−2」ならば、x=3またはx=−2である。というわけです。

xの値がわかっているので、その値を代入することができますね。

x=3を代入すると、9+3a+b=0 ・・・@
x=−2を代入すると、4−2a+b=0 ・・・A

式ができたので、これらを連立して解けばOK!

@−Aより
9+3a+b−(4−2a+b)=0
9+3a+b−4+2a−b=0

同類項をまとめると、

5+5a=0
  5a=−5
   a=−1 ・・・B

Bを@に代入すると、

9−3+b=0
    b=−6

よって、a=−1,b=−6


◆関連問題
2次方程式x^2−8x+k=0の解の1つが4−√3であるとき


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2020年10月06日

高校物理(用語)「向心力」

高校物理(用語)「向心力」

★向心力(centripetal force)

円運動において、回転の中心に向かう方向の力のこと。
物体の速度は接線方向であるのに対して、向心力(と加速度)は円の中心方向になる。

公式としては

F=mrω^2

です。
さらに、v=rωよりω=v/rで、これを代入すると、

F=mr(v/r)^2=m(v^2/r)

となります。


◆関連項目
等速円運動角速度単振動


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学1A第2問[2]

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学1A第2問[2]を解説します。


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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第2問
[2] 全国各地の気象台が観測した「ソメイヨシノ(桜の種類)の開花日」や、
「モンシロチョウの初見日(初めて観測した日)」、「ツバメの初見日」などの日付
を気象庁が発表している。気象庁発表の日付は普通の月日形式であるが、この問題
では該当する年の1月1日を「1」とし、12月31日を「365」(うるう年の
場合は「366」)とする「年間通し日」に変更している。例えば、2月3日は、
1月31日の「31」に2月3日の3を加えた「34」となる。

(1) 図1は全国48地点で観測しているソメイヨシノの2012年から2017年までの
6年間の開花日を、年ごとに箱ひげ図にして並べたものである。

 図2はソメイヨシノの開花日の年ごとのヒストグラムである。ただし、順番は
年の順に並んでいるとは限らない。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の
数値を含み、右側の数値を含まない。

 次の[ソ]、[タ]に当てはまるものを、図2の{0}〜{5}のうちから一つずつ選べ。

 ・2013年のヒストグラムは[ソ]である。
 ・2017年のヒストグラムは[タ]である。

(図はここでは省略します)

(2) 図3と図4は、モンシロチョウとツバメの両方を観測している41地点に
おける、2017年の初見日の箱ひげ図と散布図である。散布図の点には重なった点が
2点ある。なお、散布図には原点を通り傾き1の直線(実線)、切片が−15および
15で傾きが1の2本の直線(破線)を付加している。

 次の[チ],[ツ]に当てはまるものを、下の{0}〜{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、解答の順序は問わない。

 図3,図4から読み取れることとして[正しくないもの]は、[チ],[ツ]である。

{0} モンシロチョウの初見日の最小値はツバメの初見日の最小値と同じである。
{1} モンシロチョウの初見日の最大値はツバメの初見日の最大値より大きい。
{2} モンシロチョウの初見日の中央値はツバメの初見日の中央値より大きい。
{3} モンシロチョウの初見日の四分位範囲はツバメの初見日の四分位範囲の3倍
より小さい。
{4} モンシロチョウの初見日の四分位範囲は15日以下である。
{5} ツバメの初見日の四分位範囲は15日以下である。
{6} モンシロチョウとツバメの初見日が同じ所が少なくとも4地点ある。
{7} 同一地点でのモンシロチョウの初見日とツバメの初見日の差は15日以下
である。

(図はここでは省略します)
                                _
(3) 一般にn個の数値x1,x2,…,xnからなるデータXの平均値をx,分散を
s^2,標準偏差をsとする。各xiに対して、
      _
x'i=(xi−x)/s (i=1,2,…,n)

と変換したx'1,x'2,…,x'nをデータX'とする。ただし、n≧2,s>0と
する。

 次の[テ],[ト],[ナ]に当てはまるものを、下の{0}〜{8}のうちから一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
         _    _      _
 ・Xの偏差x1−x,x2−x,…,xn−xの平均値は[テ]である。
 ・X'の平均値は[ト]である。
 ・X'の標準偏差は[ナ]である。

{0} 0  {1} 1  {2} −1  {3} xの平均  {4} s
{5} 1/s  {6} s^2  {7} 1/s^2  {8} xの平均/s

 図4で示されたモンシロチョウの初見日のデータMとツバメの初見日のデータT
について上の変換を行ったデータをそれぞれM',T'とるする。

 次の[ニ]に当てはまるものを、図5の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。

 変換後のモンシロチョウの初見日のデータM'と変換後のツバメの初見日のデータ
T'の散布図は、M'とT'の標準偏差の値を考慮すると[ニ]である。

(図はここでは省略します)


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 2019年も第2問は「三角比」「データの分析」
 ◆2 前置きの内容もよく読み取って
 ◆3 箱ひげ図の「箱」は四分位数、「ひげ」は最大最小

(以下略)

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■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 箱ひげ図の「箱」は四分位数、「ひげ」は最大最小

では、(1)の問題です。

(1) 図1は全国48地点で観測しているソメイヨシノの2012年から2017年までの
6年間の開花日を、年ごとに箱ひげ図にして並べたものである。

 図2はソメイヨシノの開花日の年ごとのヒストグラムである。ただし、順番は
年の順に並んでいるとは限らない。なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の
数値を含み、右側の数値を含まない。

(図はここでは省略します)

ということで、まずはソメイヨシノの開花日のヒストグラムと箱ひげ図の相関を
見る問題です。

ヒストグラムは中学でも習っている通りに、一定の間隔で区切られたデータの数を
棒グラフの形で表したものです。

箱ひげ図は、「箱」の部分が第1四分位数〜第3四分位数で、「ひげ」の部分が…


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校地学「海嶺・ホットスポット上の火山」

高校地学「海嶺・ホットスポット上の火山」

◆問題

海嶺では(@)質マグマが噴出している。海中で噴出したマグマによって(A)がつくられる。

ホットスポットでは、(@)質マグマが噴出していて、海洋プレート上に火山島をつくる。(B)が移動してもホットスポットは移動しない。


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◆解答解説

@玄武岩,A枕状溶岩,Bプレート

海嶺では玄武岩質マグマが噴出している。海中で噴出したマグマによって枕状溶岩がつくられる。

ホットスポットでは、玄武岩質マグマが噴出していて、海洋プレート上に火山島をつくる。プレートが移動してもホットスポットは移動しない。


玄武岩は例えばこんなものです。



関連問題
火成岩の種類@火成岩の造岩鉱物マグマの性質と噴火様式

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高校数学「位置ベクトル」ABを1:2に内分

高校数学「位置ベクトル」ABを1:2に内分

■ 問題

2点A(→a),B(→b)を結ぶ線分ABを、1:2に内分するの位置ベクトル→pを求めよ。


解答解説はこのページ下


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

位置ベクトルとは、座標をベクトルの形で表したものです。

実質的に座標と同じなので、座標で扱った内分の公式を、位置ベクトルでもそのまま使うことができます。
つまり、

→p=(n・→a+m・→b)/(m+n)

ですね。

今回の問題では、ABを1:2に内分するので、

→p=(2・→a+1・→b)/(1+2)
  =(2・→a+→b)/3

これで終わりで特に問題ありませんが、さらにばらばらの分数に分けて、

  =(2/3)→a+(1/3)→b

このように直すことも多いです。


◆関連問題
1:4に外分、t:1−tとおくとき三角形内部の点


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2020年10月05日

中学数学「素因数分解」140

中学数学「素因数分解」140

■ 問題

140を素因数分解しなさい。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

素因数分解とは、素数の因数に分解することです。

因数とは、かけ算でその数を構成するもとになる数です。例えば6=2×3なので、6の素因数は2と3です。

というわけで、素因数分解をするときは、素数で割っていけばOK!ですね。

今回は140を素因数分解します。
まずはもっとも小さい素数の2で割っていきます。次のような書き方をするのがノーマルです。

2)140
 ――――
   70

まだ2で割れますね。

2)140
 ――――
2) 70
 ――――
   35

もう2では割れないので、次は3を考えます。
3でも割れないので、次は5で割ります。

2)140
 ――――
2) 70
 ――――
5) 35
 ――――
    7

わった結果、素数が出てきたのでこれでおしまいです。
つまり、140を素因数分解すると、

140=2^2×5×7

となります。


◆関連問題
a√bに直す


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2015年センター英語第3問C

本日配信のメルマガでは、2015年大学入試センター試験英語第3問Cを解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

第3問 次の問い(A〜C)に答えよ。

C 次の会話は、「迷信」をテーマとして、日本のある大学において行われた
公開講座でのやりとりの一部である。[ 32 ]〜[ 34 ]に入れるのに最も適当な
ものを、それぞれ下の{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

Moderator: The title of today's discussion is "Superstitions -- what they
are, and why people believe in them." Our guest speakers are Joseph Grant,
a university professor who lives here in Japan, and Lily Nelson, a visiting
professor from Canada. Joseph, can you explain what a superstition is?
Joseph: Superstitions are beliefs for which there is no obvious rational
basis. For example, there are various dates and numbers that people are
superstitious about. In many places, "Friday the 13th" is thought to be
unlucky. In contrast, 7 is known as "Lucky 7." A superstitious person
believes that actions such as choosing or avoiding certain numbers can
influence future events even though there is no direct connection between
them. Believing in superstitions is one of the ways humans can make sense
of a set of unusual events which cause someone to feel lucky or unlucky.
This seems to have been true throughout history, regardless of race or
cultural background.
Moderator: So, it is your view that [ 32 ].

{1} superstitions are traditionally based on certain dates and numbers
{2} superstitions can be used to explain strange happenings around us
{3} superstitious people believe race and culture are related to luck
{4} superstitious people tend to have identical beliefs regarding history

Joseph: That's right. Superstitions tend to come from a combination of
primitive belief systems and coincidence -- things that happened by chance.
Moderator: Could you tell us more about that?
Joseph: A primitive belief system develops from the natural human tendency
to look for patterns in the world around us. Noticing patterns allow us to
learn things quickly. However, sometimes chance or coincidental events are
mistaken for a pattern, like passing a series of tests using the same
pencil every time. The pencil is unrelated to passing the tests, but
becomes a "lucky" pencil because of the coincidental connection. So, we
may come to believe that one event causes another without any natural
process linking the two events. I experienced this myself when I was
called "Ame-otoko" or "Rain-man" by Japanese friends. By coincidence, I
was present on occasions when it was raining and so gained a "rainy
reputation." Rationally speaking, we know that nobody can make rain fall
from the sky, but our primitive belief system, combined with coincidence,
creates a superstition around the "Rain-man."
Moderator: How interesting! So, you are saying that [ 33 ].

{1} an "Ame-otoko" or "Rain-man" causes rain to fall from the sky
{2} coincidental events or chance patterns can create superstitions
{3} looking for patterns is in an unnatural action for humans
{4} primitive belief systems create coincidental events

Moderator: How about you, Lily? Do you agree with Joseph?
Lily: Yes, I do, especially regarding the notion of coincidence or chance.
In an attempt to better understand human behavior, an American psychologist
conducted a famous experiment called "Superstition in the Pigeon" on a
group of hungry birds. The pigeons were in cages and a feeding machine
automatically delivered small amounts of food at regular time intervals.
The psychologist observed that the pigeons began to repeat the specific
body movements that they had been making whenever the food was delivered.
He believed that the pigeons were trying to influence the machine to
deliver food by their repeated movements. He assumed that we humans also
do the same and try to influence future events by performing non-logical
actions, associate an action with an outcome even though there is no
logical connection.
Moderator: So, that psychologist thought from the experiment that [ 34 ].

{1} pigeons and humans both perform superstitious actions
{2} pigeons and humans both tend to influence machines
{3} the pigeons knew when the food would be delivered
{4} the pigeons' repeated actions influenced the food delivery

Lily: Yes, that's exactly right.
Moderator: Thank you, Joseph and Lily, for sharing your knowledge on
superstitions and why people are superstitious. Let's take a quick break
here before we move on with the discussion.


※マーク部分の□や下線部は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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来年度のご予約も受付中です!

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■ 解答・解説

2015年第3問Cは、インタービューを題材とした対話文でした。
要所要所で司会者がコメンテーターの発言をまとめ、そのまとめを選択肢から
選ぶ形式です。
内容がしっかりわかれば難しくはありませんが、文章がちょっと長めなので、
文意を誤解しない程度に速読していきたい問題です。

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Moderator: So, it is your view that [ 32 ].
司会者:つまり、あなたの考えは[ 32 ]ですね。

最初の問いでは、そこまでのJosephの発言をまとめています。
発言のまとめとなる選択肢は、

{1} superstitions are traditionally based on certain dates and numbers
{1} 迷信は伝統的に特定の日付や数字に基づく

{2} superstitions can be used to explain strange happenings around us


(以下略)


(有料版では、解説の続きや語句コーナー、解答一覧も掲載しています)
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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

司会者:今日の議論のタイトルは「迷信--それは何なのか。そして人々はなぜ
それを信じるのか」です。私達のゲストスピーカーは、ここ日本に住む大学教授の
Joseph Grantさん、カナダからの客員教授Lily Nelsonさんです。Josephさん…

(以下略)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

【高校英語】過去問攻略!センター英語
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書き換え英作文問題「疑問文」「否定文」「疑問詞」My favorite sport is...

書き換え英作文問題「疑問文」「否定文」「疑問詞」


指示に従って書き換えよ。
My favorite sport is basketball.

1. 疑問文に

─────────────────────────────────────── 
2. 否定文に

─────────────────────────────────────── 
3. 「favorite」を使わずだいたい同じ内容に

─────────────────────────────────────── 
4. 「あなたの大好きなスポーツは何ですか」となるように

─────────────────────────────────────── 
5. 下線部を問う疑問文に

─────────────────────────────────────── 


解答解説はこちら


◆文法事項の説明
疑問文否定文疑問詞を使った疑問文


今回の問題は、次の書籍のP.105にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



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高校地学「火成岩の種類A」

高校地学「火成岩の種類A」

◆問題

火成岩に関する次の表の空欄に適語を入れよ。

―――――――――――――――――――――――――――――
|SiO2% |   〜45|45〜52 |52〜66 |66〜   |
―――――――――――――――――――――――――――――
|岩石の種類|超苦鉄質岩|苦鉄質岩|中間質岩|珪長質岩 |
―――――――――――――――――――――――――――――
| 火山岩 | −−  |玄武岩 |安山岩 |@・流紋岩|
―――――――――――――――――――――――――――――
| 深成岩 |かんらん岩| A  | B  |花こう岩 |
―――――――――――――――――――――――――――――


火成岩の種類@と行き来して練習してみてください。


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◆解答解説

@デーサイト,A斑れい岩,B閃緑岩

―――――――――――――――――――――――――――――
|SiO2% |   〜45|45〜52 |52〜66 |66〜   |
―――――――――――――――――――――――――――――
|岩石の種類|超苦鉄質岩|苦鉄質岩|中間質岩|珪長質岩 |
―――――――――――――――――――――――――――――
| 火山岩 | −−  |玄武岩 |安山岩 |デーサイト・流紋岩|
―――――――――――――――――――――――――――――
| 深成岩 |かんらん岩|斑れい岩|閃緑岩 |花こう岩 |
―――――――――――――――――――――――――――――


この図では「酸性岩(珪長質)」に書きましたが、デーサイトは安山岩と流紋岩の中間の性質をもつ火山岩です。
また、この表で右にある岩石ほど白っぽくなります。例えば花崗岩は石材としても用いられているアレです。


こういったものは、やはり実物を見てみると印象に残って覚えやすいです。手触りや微妙な色の違いなどもわかります。



関連問題
火成岩の種類@火成岩の造岩鉱物マグマの性質と噴火様式


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2020年10月04日

高校数学「平面のベクトル」「大きさの最小値」→a=(4,−3),→b=(−1,2),|→a+t・→b|

高校数学「平面のベクトル」「大きさの最小値」→a=(4,−3),→b=(−1,2),|→a+t・→b|

■ 問題

→a=(4,−3),→b=(−1,2),tは実数のとき、|→a+t・→b|の最小値とそのときのtの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

|→a+t・→b|について考えるので、まずは→a+t・→bを求めます。

→a=(4,−3),→b=(−1,2)なので、

→a+t・→b=(4,−3)+t(−1,2)
      =(4−t,−3+2t)

これの絶対値について考えるので、このベクトルの大きさを表します。

|→a+t・→b|=√{(4−t)^2+(−3+2t)^2}
       =√(16−8t+t^2+9−12t+4t^2)
       =√(5t^2−20t+25)

この式の値が最小になるのは、ルートの中身が最小になるときだから、2次関数の最小のときと同様に平方完成して、

 5t^2−20t+25
=5(t^2−4)+25
=5{(t−2)^2−4}+25
=5(t−2)^2−20+25
=5(t−2)^2+5

最小になるのはt=2で、|→a+t・→b|=√(5t^2−20t+25)だから、そのとき最小値は√5


◆関連問題
→a=(10,5),→b=(1,2)のとき


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高校物理(用語)「周期」「振動数」

高校物理(用語)「周期」「振動数」

★周期(period)

等速円運動単振動、波において、1回回転または振動するのにかかる時間のこと。


★振動数(frequency)

単振動や波において、1秒間に振動する回数のこと。
等速円運動の回転数に対応する。


周期Tは「1回振動するのにかかる時間」で、振動数fは「1秒に振動する回数」だから、

T=1/f

という関係式が成り立つことを理解しておきましょう!
さらにこの式を変形すれば、

f=1/T

も得られます。


◆関連項目
等速円運動単振動角速度
、波


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2020年10月03日

本日配信のメルマガ。2015年センター英語第3問B

本日配信のメルマガでは、2015年大学入試センター試験英語第3問Bを解説します。


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■ 問題

第3問 次の問い(A〜C)に答えよ。

B 次の問い(問1〜3)のパラグラフ(段落)には、まとまりをよくするために
[取り除いた方がよい文]が一つある。取り除く文として最も適当なものを、
それぞれ下線部{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。

問1[ 29 ]
Stamp collecting is an educational hobby that can be inexpensive and
enjoyed whenever you want. {1}[It provides a nice and practical way of
learning about history, geography, famous people, and customs of various
countries worldwide.] {2}[This hobby began soon after the world saw the
first postage stamp issued in Great Britain in 1840.] {3}[You can also get
started without spending money by saving the stamps on envelopes you
receive.] {4}[In addition, you are able to work on your collection any
time, rain or shine.] If you are looking for a new hobby, stamp collecting
might be right for you!

問2[ 30 ]
Until relatively recently, people in some parts of the world continued
to use salt as a form of cash. There are several reasons why salt was used
as money. Salt was given an economic value because there were so few places
that produced it in large quantities. {1}[Another reason is that salt is
fairly light and easy to carry for trading purposes.] {2}[Additionally,
salt can be measured, so we can easily calculate its value based on its
weight.] {3}[Furthermore, salt stays in good condition for a very long
period of time, so it holds its value.] {4}[Last but not least, salt has
many other uses such as melting ice on roads in snowy regions.] In short,
salt has certain characteristics that make it suitable as a form of money.

問3[ 31 ]
In the past, most Japanese TV shows started and ended exactly on the hour.
{1}[While TV shows vary from station to station, on the whole, early
morning hours are dominated by news programs and evening hours by variety
shows.] {2}[Because of competition, some networks tried to gain an
advantage over their rivals by starting their programs a little earlier.]
{3}[Many people start channel surfing near the end of a program, and the
networks thought that if their show started a couple of minutes earlier,
people start watching it.] {4}[Another strategy was to end a popular show
a little after the hour so that people would stick to one channel and miss
the beginning of shows on other channels.] Now that many stations have
adopted these strategies, the advantage for any one station is lost. Even
so, they continue this practice because they are afraid of losing viewers.

※マーク部分の□や下線部は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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です。マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」
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■ 解答・解説

2015年第3問Bは、文章の中から文脈に合わない文を指摘する問題でした。
ちゃんと読み取れれば特に難しくはないのですが、あいまいな点が少しでも
あると、間違ったところを選んでしまいそうです。

気をつけながらも、できるだけ素早く内容を読み取っていきましょう!

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

問1[ 29 ]

全体的に、読者に切手収集を勧める内容となっています。

Stamp collecting is / an educational hobby / that can be inexpensive
/ and enjoyed / whenever you want.
切手収集は〜だ / 教育的な趣味 / それは高価でない
/ そして楽しまれる / やりたいときはいつでも

{1}[It provides / a nice and practical way / of learning / about history,
/ geography, / famous people, / and customs / of various countries
/ worldwide.]
それは供給する / すてきで実用的な方法を / 学習の / 歴史について
/ 地理 / 有名な人々 / そして習慣 / 様々な国の
/ 世界中の

{2}[This hobby / began soon / after / the world saw
/ the first postage stamp / issued / in Great Britain / in 1840.]


(以下略)


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■ 全文訳(基本的に直訳ですが、一部意訳しています)

問1[ 29 ]
 切手収集は、費用がかからずいつでも好むときに楽しめる教育的な趣味です。
{1}[それは、歴史、地理、有名な人々、そして世界中の様々な国々の習慣について
学べる良い実用的な方法を提供します。] {2}[この趣味は、1840年大英帝国で…

(以下略)

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
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ラベル:英語
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高校物理「ケプラーの第3法則」木星の公転周期

高校物理「ケプラーの第3法則」木星の公転周期

◆問題

木星と太陽の距離は、地球と太陽の距離の5.2倍である。木星の公転周期は何年か求めよ。ただし、木星と地球はともに円軌道を描き、地球の公転周期は1年、√5.2=2.28とする。


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、学校の授業の補習、定期テスト対策だけでなく、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。
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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

惑星の公転周期について考えるときは、ケプラーの第3法則を用います。

「惑星の公転周期の2乗と楕円軌道の半長軸の3乗の比は全ての惑星で同じである」という法則ですね。
これを公転周期T,半長軸a,定数kとして式で表すと、

T^2/a^3=k

となります。

地球の半長軸を1とすると、地球の公転周期は1年なので、1^2/1^3=kよりk=1です。

このとき木星の半長軸は5.2なので、

T^2/5.2^3=1

という式を立てることができます。
あとはこれを解けばOKですね!

T^2=5.2^3
 T=5.2^(3/2)
  =(√5.2)^3
  =2.28^3
  ≒11.8

有効数字を2桁とすれば、12年


◆関連問題
人工衛星の運動惑星の運動


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高校化学(用語)「水素結合」

高校化学(用語)「水素結合」

★水素結合(hydrogen bond)

分子間力のうち、電気陰性度の大きいF,O,Nなどと水素原子が介在し、静電気的な引力によって生じる結合のこと。
水素結合による引力は、極性分子間に働く引力やファンデルワールス力よりも強い。


水は分子量が小さいのに、融点・沸点が高いのは、水分子は水素結合を持っているからですね。
分子量が大きければ沸点が高い。という傾向があります。でも、水素結合を持っている分子同士は静電気的な引力が働くので、質量による引力よりもはるかに大きな引力が働き、その他の分子よりもはるかに高い沸点を示します。

例えば、構造が似ているH2OとH2Sを比べると、水素結合を持っている水は分子量18なのに沸点は100℃で、硫化水素は分子量34なのに−85.5℃です。
分子量は水が約半分なのに、沸点は水の方がはるかに高いですね。これは水素結合による静電気的な引力のせいであると考えられます。


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2020年10月02日

本日配信のメルマガ。2019年センター数学1A第2問[1]

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学1A第2問[1]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第2問

[1] △ABCにおいて、AB=3,BC=4,AC=2とする。
次の[エ]には、下の{0}〜{2}のうちから当てはまるものを一つ選べ。

 cos∠BAC=[アイ]/[ウ]であり、∠BACは[エ]である。また、
sin∠BAC=√[オカ]/[キ]である。

{0} 鋭角  {1} 直角  {2} 鈍角


 線分ACの垂直二等分線と直線ABの交点をDとする。

cos∠CAD=[ク]/[ケ]であるから、AD=[コ]であり、△DBCの面積は
([サ]√[シス])/[セ]である。


※分数は(分子)/(分母)、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 2019年も第2問は「三角比」「データの分析」
 ◆2 3辺がわかっているなら余弦定理
 ◆3 コサイン→サインなら相互関係

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 3辺がわかっているなら余弦定理

ではまず最初の設問を確認してみましょう!

[1] △ABCにおいて、AB=3,BC=4,AC=2とする。

とあります。
3辺の長さが3,4,2の三角形を考えるようです。

まず、このときのcos∠BACの値を聞いています。

3辺がわかっていて、コサインを聞いているのだから・・・

そんなときは、余弦定理が使えますね!

★ 余弦定理:a^2=b^2+c^2−2bc・cosA

余弦定理は「2辺とその挟む角」と覚えると使いやすいと思います。

∠BACなので、その対辺はa=BCです。
角の対辺が左辺にきて、右辺は「2辺とその挟む角」です。つまり、

BC^2=AB^2+AC^2−2×AB×AC×cos∠BAC

これにそれぞれ値を代入して、

4^2=3^2+2^2−2×3×2×cos∠BAC
16=9+4−12cos∠BAC
12cos∠BAC=9+4−16
12cos∠BAC=−3
  cos∠BAC=−1/4

コサインの値がマイナスということは、90度より大きいので、∠BACは鈍角
ですね。

よって、[アイ]=−1,[ウ]=4,[エ]=2


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 ◆3 コサイン→サインなら相互関係

cos∠BAC=−1/4がわかったので、sin∠BACもわかりますね。

コサインがわかっていて、サインを求めたいときは・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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高校数学「平面のベクトル」「内積」|→a|=2,|→b|=6,θ=45°

高校数学「平面のベクトル」「内積」|→a|=2,|→b|=6,θ=45°

■ 問題

|→a|=2,|→b|=6,→aと→bのなす角θ=45°のとき、内積→a・→bを求めよ。


解答解説はこのページ下


★★ お知らせ ★★

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■ 解答解説

ベクトルの大きさがわかっているときのベクトルの内積

→a・→b=|→a||→b|cosθ

で表されます。

今回の問題では、|→a|=2,|→b|=6,θ=45°と与えられているので、代入して、

→a・→b=2×6×cos45°
    =12×1/√2
    =6√2


◆関連問題
ひし形と内積|→a|=√3,|→b|=2で、→aと→bのなす角が30°のとき


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高校物理(用語)「角速度」

高校物理(用語)「角速度」

★角速度(angular velocity)

等速円運動において、一定時間に回転する角度のこと。
等速円運動における角速度は、単振動における角振動数に対応する。


周期Tと角速度ωの関係が、「T=2π/ω」であることは真っ先に覚えたほうが良いと思います。

一定時間に回転する角がωであることから、v=rω,a=rω^2などの公式も得られます。

身近な物体は長さの単位にはcmを使うことが多く、問題でも「半径10cmの円形をした板」などの条件が与えられる場合があるので、cmをmに直すのを忘れないように気をつけましょう!

F=maを用いて、力を求める。
→図形の性質を使って、力がはたらく面積を求める。
→「圧力=力÷面積」を計算する。

このような手順で圧力を求めることができます。


◆関連項目
等速円運動単振動運動方程式F=ma


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