2020年10月13日

高校数学(用語)「ベクトルの内積」

高校数学(用語)「ベクトルの内積」

★内積(inner product)

ベクトルのかけ算のこと。

→a・→b=|→a||→b|cosθ

で表される。

この内積の公式は、片方のベクトルをもう片方のベクトルと同じ直線上に投影して、かけ算をした形の式になっています。
「内積=それぞれの絶対値の積×コサイン」というイメージです。
ここから、内積とそれぞれの絶対値がわかっていれば、コサインの値がわかり、2つのベクトルのなす角もわかる。という使い方をすることもできます。

ちなみに、内積を求めるにはコサインをかけるので、θ=90°つまり直角のときは、内積の値がゼロになります。

このことから、→a・→b=0はベクトルの垂直条件である。ということもできます。


◆関連項目
ベクトルの絶対値,ベクトルの垂直条件、ベクトルの平行条件


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ラベル:数学
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高校物理「波動」「正弦波の式」y=0.5・sin2π(t/2−x/6)

高校物理「波動」「正弦波の式」y=0.5・sin2π(t/2−x/6)

◆問題

位置x[m]における媒質の変位y[m]が、y=0.5・sin2π(t/2−x/6)で表される波がある。
この波の、振幅A、周期T、波長λ、波の速さvをそれぞれ求めよ。


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◆解説

正弦波の式y=Asin2π(t/T−x/λ)は、y=A・sin2π(t/T−x/λ)で表されます。
(これは原点における媒質の変位y=Asinωtから導くことができます)

今回の問題は、ちょうど都合良く(?)この正弦波の式と同じ形で与えられているので、A,T,λは、それぞれの文字の値を読み取ればOKですね!

A=0.5,T=2,λ=6

さらに、v=fλ=λ/Tに代入すれば、vも求めることができます。

v=6/2=3

ということで、振幅A=0.5m,周期T=2s,波長λ=6m,波の速さv=3m/s


◆関連問題
10Hz,20m/sのとき


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高校数学「微分」「極値」y=x^3−12x−1

高校数学「微分」「極値」y=x^3−12x−1

■ 問題

関数y=x^3−12x−1の極値を求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

極値ではy'=0となるので、まずはy'の式を求めます。

y'=3x^2−12

これを=0で解きます。

 3x^2−12=0
   x^2−4=0
(x+2)(x−2)=0

よって、x=±2

つまり、x=2,−2のときが極値になります。

x=2のとき、y=2^3−12×2−1=8−24−1=−17
x=−2のとき、y=(−2)^3−12×(−2)−1=−8+24−1=15

よって、x=2のとき極小値−17,x=−2のとき極大値15


◆関連問題
y=x^3−3xの極値f(x)=x^3−3a^2・x


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2019年センター数学1A第4問

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学1A第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数1Aより

第4問

(1) 不定方程式

  49x−23y=1

の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のものは

  x=[ア],y=[イウ]

であり、すべての整数解は、kを整数として

  x=[エオ]k+[ア],y=[カキ]+[イウ]

と表せる。

(2) 49の倍数である自然数Aと23の倍数である自然数Bの組(A,B)を考える。
AとBの差の絶対値が1となる組(A,B)の中で、Aが最小になるのは

  (A,B)=(49×[ク],23×[ケコ])

である。また、AとBの差の絶対値が2となる組(A,B)の中で、Aが最小になる
のは

  (A,B)=(49×[サ],23×[シス])

である。

(3) 連続する三つの自然数a,a+1,a+2を考える。

  aとa+1の最大公約数は1
  a+1とa+2の最大公約数は1
  aとa+2の最大公約数は1または[セ]

である。
 また、次の条件がすべての自然数aで成り立つような自然数mのうち、最大の
ものはm=[ソ]である。

  条件:a(a+1)(a+2)はmの倍数である。

(4) 6762を素因数分解すると

  6762=2×[タ]×7^[チ]×[ツテ]

である。
 bをb(b+1)(b+2)が6762の倍数となる最小の自然数とする。
このとき、b,b+1,b+2のいずれかは7^[チ]の倍数であり、また、
b,b+1,b+2のいずれかは[ツテ]の倍数である。したがって、
b=[トナニ]である。


※分数は(分子)/(分母)、上付き・下付きの数字は半角で、xの2乗はx^2で、
マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 全部解いてから選択が理想だが・・・
 ◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 特殊解はひたすら代入でもOK!

では今回の問題です。

今回はまず最初に不定方程式の解を尋ねる問題が出題されました。

「49x−23y=1の解となる自然数x,yの中で、xの値が最小のもの」

を聞いていますね。

このような特定の解のことを「特殊解」と呼びます。
特殊解の求め方の一つは、「とにかくいろいろ代入してみる」です!(笑)

もちろん、ただ単に闇雲に代入してもなかなか解決しません。
まずここでは、闇雲にやるよりは少しだけ効率的に探す方法でやってみたいと
思います。

それは・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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高校数学(用語)「位置ベクトル」

高校数学(用語)「位置ベクトル」

★位置ベクトル(position vector)

原点を始点としたベクトルのことで、座標をベクトルの形で表したもの。

例えば座標平面上の(2,1)という点Aは、原点Oから横に2,縦に1進んだ点なので、原点を始点とするベクトルOAの成分表示は(2,1)となります。
位置(=座標)をベクトルで表すと、例えば内分や外分を求めるときに、座標ならx座標,y座標を別々に計算しなければいけませんが、ベクトルならそれらをひとまとめに計算することができるので、簡便に計算したり表したりすることができます。

今まで「図形と方程式」の単元などで登場した公式は、基本的に全て位置ベクトルでも成り立つので、ベクトルをしっかりマスターした人はベクトルの考え方で解き直してみるのも良い練習になると思います。


◆関連問題
1:2に内分t:1−tとおくとき三角形内部の点


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ラベル:数学
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中学英語「不定詞まとめ」

中学英語「不定詞まとめ」

to不定詞(to-infinitive)とは「to do」の形で「〜すること」「〜するための」「〜するために」などの意味を表す準動詞です。

中学レベルのto不定詞に関する様々な項目をこのページにまとめました。
解説・問題は随時追加していきます。


高校レベルの不定詞はこちら


◆解説
不定詞の名詞的用法
不定詞の形容詞的用法
不定詞の副詞的用法
want to do
too 〜 to do
It is 〜 for/of 人 to do.

◆問題
I hope (to stay / staying) here forever.
I finished (to read / reading) this book last night.
He will ( hear / excited / be / that / to ).
They used washi to ( needed / make / they / in / things ) their life.
I'm ( that / to / happy / you / are / hear ) in good health.
I came here. I wanted to watch the game.


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高校地学「地震波」「大森公式」

高校地学「地震波」「大森公式」

◆問題

地球内部を伝わる地震波には(@)と(A)がある。(@)は最初に到達し、細かい揺れの初期微動として観測される。(A)は2番目に到達し、大きな揺れの主要動として観測される。観測点に(@)が到達してから(A)が到達するまでの時間を(B)という。震源の浅い地震では、観測点から震源までの距離Dと(B)tは比例し、D=ktの式で表される。この式を(C)という。


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◆解答解説

@P波,AS波,B初期微動継続時間,C大森公式

地球内部を伝わる地震波にはP波S波がある。P波は最初に到達し、細かい揺れの初期微動として観測される。S波は2番目に到達し、大きな揺れの主要動として観測される。観測点にP波が到達してからS波が到達するまでの時間を初期微動継続時間という。震源の浅い地震では、観測点から震源までの距離Dと初期微動継続時間tは比例し、D=ktの式で表される。この式を大森公式という。


アマゾンで大森公式を検索してみたら、アイドルの写真がズラリ。なんでかな〜と思ったら「大森美優」さんの「公式生写真」で「大森公式」ですね(笑)


関連問題
震度とマグニチュード地震の発生と断層


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