2020年10月21日

高校数学「ベクトル」「内積」(2,−1)とのなす角が45°で、大きさが√10のベクトル

高校数学「ベクトル」「内積」(2,−1)とのなす角が45°で、大きさが√10のベクトル

■ 問題

→a=(2,−1)とのなす角が45°で、大きさが√10のベクトル→bを求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

未知のベクトル→bを求める問題です。
→bは今のところわかっていないので、文字でおいてみる。と考えます。

→b=(x,y)として、問題の設定の通りの式を作ってみましょう!

「→a=(2,−1)とのなす角が45°」とあるので、まずは内積の公式を使います。

→a・→b=2x−y

ですね。

→a・→b=|→a||→b|cosθだから、|→a|と|→b|を求めます。

|→a|=√{2^2+(−1)^2}=√(4+1)=√5
|→b|=√(x^2+y^2)=√10

これらの値とθ=45°を代入して、

2x−y=√5・√10・cos45°
2x−y=5√2・1/√2
2x−y=5 ・・・@

|→b|=√(x^2+y^2)=√10なので、両辺を2乗して、

x^2+y^2=10 ・・・A

これでx,yの式が2つできたので、@,Aを連立して解けばOK!

@より、−y=−2x+5すなわちy=2x−5・・・B

BをAに代入して、

    x^2+(2x−5)^2=10
x^2+4x^2−20x+25=10
5x^2−20x+25−10=0
      x^2−4x+3=0
      (x−1)(x−3)=0
よって、x=1,3

x=1をBに代入すると、y=2−5=−3
x=3をBに代入すると、y=6−5=1

求めるベクトルは、→b=(1,−3),(3,1)


◆関連問題
「内積」|→a|=2,|→b|=6,θ=45°
→c=s・→a+t・→b


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2020年センター英語第2問後半

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験英語第2問後半を解説します。


【高校英語】過去問攻略!センター英語
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

第2問
A 次の問い(問1〜10)の[ 8 ]〜[ 17 ]に入れるのに最も適当なものを、
それぞれ下の{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。ただし、[ 15 ]〜[ 17 ]に
ついては、( A )と( B )に入れるのに最も組合せを選べ。

問6 Our boss is a hard worker, but can be difficult to get [ 13 ].
{1} along with  {2} around to  {3} away with  {4} down to

問7 When Ayano came to my house, [ 14 ] happened that nobody was at home.
{1} it  {2} something  {3} there  {4} what

問8 We'll be able to get home on time as ( A ) as the roads are ( B ).
[ 15 ]
{1} A: far B: blocked  {2} A: far B: clear
{3} A: long B: blocked  {4} A: long B: clear

問9 I know you said you weren't going to the sports festival, but it is
an important event, so please ( A ) it a ( B ) thought. [ 16 ]
{1} A: give B: first  {2} A: give B: second
{3} A: take B: first  {2} A: take B: second

問10 I didn't recognize ( A ) of the guests ( B ) the two sitting in the
back now. [ 17 ]
{1} A: any B: except for  {2} A: any B: rather than
{3} A: either B: except for  {4} A: either B: rather than


※マーク部分の□や下線部は[ ]で、マル1は{1}で表記しています。

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■ 解答・解説

問6 Our boss / is a hard worker, / but / can be difficult
/ to get [ 13 ].
私たちの上司は / ハードワーカーです / しかし / 難しいかも知れません
/ [ 13 ]するのは

{1} along with  {2} around to  {3} away with  {4} down to

「上司は働き者ですが、[ 13 ]は難しい」的な内容ですね。

今回の問題は「get+選択肢」でそれぞれ熟語になります。
意味が合いそうなものを選ぶタイプの問題です。

1番から入れてみると・・・


(以下略)


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問6 私たちの上司は働き者ですが、うまくやっていくのが難しいかも知れません。

(以下略)

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高校地学「侵食」

高校地学「侵食」

◆問題

砕屑物が風や流水で運ばれたり、波や(@)が岩石を削ったりして、地表の状態が変化する作用を(A)という。
山間部で河川の(A)によって形成される、横断面がV字型の地形を(B)という。(@)による(A)では、横断面がU字型の(C)が形成される。


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◆解答解説

@氷河、A侵食、BV字谷、CU字谷

砕屑物が風や流水で運ばれたり、波や氷河が岩石を削ったりして、地表の状態が変化する作用を侵食という。
山間部で河川の侵食によって形成される、横断面がV字型の地形をV字谷という。氷河による侵食では、横断面がU字型のU字谷が形成される。


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ちなみに、U字谷に海水が入り込んでできた湾のことをフィヨルドといいますね。中学地理で習っていると思います。


関連問題
風化堆積岩火成岩


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高校物理「波動」「波の干渉」節の数

高校物理「波動」「波の干渉」節の数

◆問題

水面上で10cm離れた2点A,Bから、波長2.0cm,振幅1.0cmの波が同位相で送り出されているとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Aから13.5cm,点Bから9.5cm離れた点Pでの合成波の振幅を求めよ。

(2) 点Aから10.5cm,点Bから7.5cm離れた点Qでの合成波の振幅を求めよ。

(3) 線分AB上で、節はいくつできるか求めよ。


この記事では(3)を解説します。


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◆解説

2つの波の重ね合わせについては、(1) 点Aから13.5cm,点Bから9.5cm離れた点P(2) 点Aから10.5cm,点Bから7.5cm離れた点Qの解説をご覧ください。

「節」とは2つの波が重なりあって、全く振動しない点のことです。
逆に強め合って、振幅が2倍になる点のことを「腹」といいます。
2つの波が重なり合うと、より大きく振動するところ(腹)と、全く振動しないところ(節)が交互に現れます。

AB間に点Rを定め、AR=xcmとすると、BR=10−xとなります。

ARとBRの差は、単純に引き算をして、|BR−AR|=|10−x−x|=|10−2x|cmです。
これが弱め合う条件に当てはまるときを考えます。

今回の問題では波長は2.0cmなので、波長の奇数倍は1.0cm,3.0cm,5.0cm,・・・ですね。
それぞれの場合の値を求めてみると、

|10−2x|=1.0
10−2x≧0のとき、10−2x=1.0よりx=4.5
10−2x<0のとき、−10+2x=1.0よりx=5.5

同様に、3.0cmのとき、x=6.5,3.5
5.0cmのとき、x=7.5,2.5
7.0cmのとき、x=8.5,1.5
9.0cmのとき、x=9.5,0.5

これ以上いくと、xの値は10より大きいかマイナスになってしまうので、ここでおしまいです。

ということで、0.5cm〜9.5cmまで1.0cm刻みで並んでいるので、合計10個の節があることがわかりました。


この問題の最初に戻る


◆関連問題
気柱の共鳴、ヤングの実験、回折格子


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