高校数学「ベクトル」「内積」(２，−１)とのなす角が４５°で、大きさが√１０のベクトル

高校数学「ベクトル」「内積」(２，−１)とのなす角が４５°で、大きさが√１０のベクトル

■　問題

→ａ＝(２，−１)とのなす角が４５°で、大きさが√１０のベクトル→ｂを求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　解答解説

未知のベクトル→ｂを求める問題です。
→ｂは今のところわかっていないので、文字でおいてみる。と考えます。

→ｂ＝(ｘ，ｙ)として、問題の設定の通りの式を作ってみましょう！

「→ａ＝(２，−１)とのなす角が４５°」とあるので、まずは内積の公式を使います。

→ａ・→ｂ＝２ｘ−ｙ

ですね。

→ａ・→ｂ＝|→ａ||→ｂ|ｃｏｓθだから、|→ａ|と|→ｂ|を求めます。

|→ａ|＝√{２^2＋(−１)^2}＝√(４＋１)＝√５
|→ｂ|＝√(ｘ^2＋ｙ^2)＝√１０

これらの値とθ＝４５°を代入して、

２ｘ−ｙ＝√５・√１０・ｃｏｓ４５°
２ｘ−ｙ＝５√２・１／√２
２ｘ−ｙ＝５　・・・�@

|→ｂ|＝√(ｘ^2＋ｙ^2)＝√１０なので、両辺を２乗して、

ｘ^2＋ｙ^2＝１０　・・・�A

これでｘ，ｙの式が２つできたので、�@，�Aを連立して解けばＯＫ！

�@より、−ｙ＝−２ｘ＋５すなわちｙ＝２ｘ−５・・・�B

�Bを�Aに代入して、

　　　　ｘ^2＋(２ｘ−５)^2＝１０
ｘ^2＋４ｘ^2−２０ｘ＋２５＝１０
５ｘ^2−２０ｘ＋２５−１０＝０
　　　　　　ｘ^2−４ｘ＋３＝０
　　　　　　(ｘ−１)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝１，３

ｘ＝１を�Bに代入すると、ｙ＝２−５＝−３
ｘ＝３を�Bに代入すると、ｙ＝６−５＝１

求めるベクトルは、→ｂ＝(１，−３)，(３，１)


◆関連問題
「内積」|→ａ|＝２，|→ｂ|＝６，θ＝４５°
、→ｃ＝ｓ・→ａ＋ｔ・→ｂ


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本日配信のメルマガ。2020年センター英語第２問後半

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■　問題

第２問
Ａ　次の問い(問１〜１０)の[ 8 ]〜[ 17 ]に入れるのに最も適当なものを、
それぞれ下の{1}〜{4}のうちから一つずつ選べ。ただし、[ 15 ]〜[ 17 ]に
ついては、( A )と( B )に入れるのに最も組合せを選べ。

問６　Our boss is a hard worker, but can be difficult to get [ 13 ].
{1} along with　　{2} around to　　{3} away with　　{4} down to

問７　When Ayano came to my house, [ 14 ] happened that nobody was at home.
{1} it　　{2} something　　{3} there　　{4} what

問８　We'll be able to get home on time as ( A ) as the roads are ( B ).
[ 15 ]
{1} A: far　B: blocked　　{2} A: far　B: clear
{3} A: long　B: blocked　　{4} A: long　B: clear

問９　I know you said you weren't going to the sports festival, but it is
an important event, so please ( A ) it a ( B ) thought. [ 16 ]
{1} A: give　B: first　　{2} A: give　B: second
{3} A: take　B: first　　{2} A: take　B: second

問10　I didn't recognize ( A ) of the guests ( B ) the two sitting in the
back now. [ 17 ]
{1} A: any　B: except for　　{2} A: any　B: rather than
{3} A: either　B: except for　　{4} A: either　B: rather than


※マーク部分の□や下線部は[ ]で、マル１は{1}で表記しています。

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■　解答・解説

問６　Our boss / is a hard worker, / but / can be difficult
/ to get [ 13 ].
私たちの上司は / ハードワーカーです / しかし / 難しいかも知れません
/ [ 13 ]するのは

{1} along with　　{2} around to　　{3} away with　　{4} down to

「上司は働き者ですが、[ 13 ]は難しい」的な内容ですね。

今回の問題は「get＋選択肢」でそれぞれ熟語になります。
意味が合いそうなものを選ぶタイプの問題です。

１番から入れてみると・・・


(以下略)


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問６　私たちの上司は働き者ですが、うまくやっていくのが難しいかも知れません。

(以下略)

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高校地学「侵食」

高校地学「侵食」

◆問題

砕屑物が風や流水で運ばれたり、波や(�@)が岩石を削ったりして、地表の状態が変化する作用を(�A)という。
山間部で河川の(�A)によって形成される、横断面がＶ字型の地形を(�B)という。(�@)による(�A)では、横断面がＵ字型の(�C)が形成される。


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◆解答解説

�@氷河、�A侵食、�BＶ字谷、�CＵ字谷

砕屑物が風や流水で運ばれたり、波や氷河が岩石を削ったりして、地表の状態が変化する作用を侵食という。
山間部で河川の侵食によって形成される、横断面がＶ字型の地形をＶ字谷という。氷河による侵食では、横断面がＵ字型のＵ字谷が形成される。


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ちなみに、Ｕ字谷に海水が入り込んでできた湾のことをフィヨルドといいますね。中学地理で習っていると思います。


関連問題
風化、堆積岩、火成岩


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高校物理「波動」「波の干渉」節の数

高校物理「波動」「波の干渉」節の数

◆問題

水面上で１０ｃｍ離れた２点Ａ，Ｂから、波長２．０ｃｍ，振幅１．０ｃｍの波が同位相で送り出されているとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ａから１３．５ｃｍ，点Ｂから９．５ｃｍ離れた点Ｐでの合成波の振幅を求めよ。

(2) 点Ａから１０．５ｃｍ，点Ｂから７．５ｃｍ離れた点Ｑでの合成波の振幅を求めよ。

(3) 線分ＡＢ上で、節はいくつできるか求めよ。


この記事では(3)を解説します。


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◆解説

２つの波の重ね合わせについては、(1) 点Ａから１３．５ｃｍ，点Ｂから９．５ｃｍ離れた点Ｐ、(2) 点Ａから１０．５ｃｍ，点Ｂから７．５ｃｍ離れた点Ｑの解説をご覧ください。

「節」とは２つの波が重なりあって、全く振動しない点のことです。
逆に強め合って、振幅が２倍になる点のことを「腹」といいます。
２つの波が重なり合うと、より大きく振動するところ(腹)と、全く振動しないところ(節)が交互に現れます。

ＡＢ間に点Ｒを定め、ＡＲ＝ｘｃｍとすると、ＢＲ＝１０−ｘとなります。

ＡＲとＢＲの差は、単純に引き算をして、|ＢＲ−ＡＲ|＝|１０−ｘ−ｘ|＝|１０−２ｘ|ｃｍです。
これが弱め合う条件に当てはまるときを考えます。

今回の問題では波長は２．０ｃｍなので、波長の奇数倍は１．０ｃｍ，３．０ｃｍ，５．０ｃｍ，・・・ですね。
それぞれの場合の値を求めてみると、

|１０−２ｘ|＝１．０
１０−２ｘ≧０のとき、１０−２ｘ＝１．０よりｘ＝４．５
１０−２ｘ＜０のとき、−１０＋２ｘ＝１．０よりｘ＝５．５

同様に、３．０ｃｍのとき、ｘ＝６．５，３．５
５．０ｃｍのとき、ｘ＝７．５，２．５
７．０ｃｍのとき、ｘ＝８．５，１．５
９．０ｃｍのとき、ｘ＝９．５，０．５

これ以上いくと、ｘの値は１０より大きいかマイナスになってしまうので、ここでおしまいです。

ということで、０．５ｃｍ〜９．５ｃｍまで１．０ｃｍ刻みで並んでいるので、合計１０個の節があることがわかりました。


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◆関連問題
気柱の共鳴、ヤングの実験、回折格子


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