高校物理「波動」「正弦波の式」ｙ＝２．０ｓｉｎ２π(ｔ−０．５０ｘ)

高校物理「波動」「正弦波の式」ｙ＝２．０ｓｉｎ２π(ｔ−０．５０ｘ)

◆問題

時刻ｔ[ｓ]における位置ｘ[ｍ]での変位ｙ[ｍ]が、ｙ＝２．０ｓｉｎ２π(ｔ−０．５０ｘ)で表される波の、振幅Ａ，周期Ｔ，波長λ，速さｖをそれぞれ求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解説

与えられた式から必要な情報を読み取る問題です。

式は「ｙ＝２．０ｓｉｎ２π(ｔ−０．５０ｘ)」と決まっているので、公式ｙ＝Ａｓｉｎ２π(ｔ／Ｔ−ｘ／λ)と比較していきます。

まず、振幅Ａはサインの係数なので、Ａ＝２．０はすぐにわかりますね。

次に括弧の部分に注目します。

(ｔ−０．５０ｘ)が(ｔ／Ｔ−ｘ／λ)と等しいはずです。

ｔ−０．５０ｘを少し書き換えてみると、

ｔ／１−(１／２)ｘ＝ｔ／１−ｘ／２

このように直すことができますね。これで比較すれば、周期Ｔ＝１，波長λ＝２がわかります。

ここまでわかれば、ｖ＝ｆλ＝λ／Ｔに代入することで、ｖを求めることができます。

ｖ＝２／１＝２

有効数字を２桁とすれば、Ａ＝２．０，Ｔ＝１．０，λ＝２．０，ｖ＝２．０

となります。


◆関連問題
ｙ＝０．５・ｓｉｎ２π(ｔ／２−ｘ／６)のとき


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高校数学「位置ベクトル」→ＡＢ，→ＡＣを→ａ，→ｂで表す

高校数学「位置ベクトル」→ＡＢ，→ＡＣを→ａ，→ｂで表す

■　問題

→ＯＡ＝→ａ−３・→ｂ，→ＯＢ＝３・→ａ−５・→ｂ，→ＯＣ＝４・→ａ−６・→ｂのとき、次の問いに答えよ。ただし、→ａ≠→０，→ｂ≠→０，→ａと→ｂは平行でないものとする。

(1) →ＡＢ，→ＡＣを→ａ，→ｂで表せ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■　解答解説

ベクトルの基本的な表し方に従うと、「終点−始点」なので、

→ＡＢ＝→ＯＢ−→ＯＡ，→ＡＣ＝→ＯＣ−→ＯＡ

ですね。

今回の問題はこの通りに計算すればＯＫです！

→ＡＢ＝→ＯＢ−→ＯＡ
　　　＝３・→ａ−５・→ｂ−(→ａ−３・→ｂ)
　　　＝３・→ａ−５・→ｂ−→ａ＋３・→ｂ
　　　＝２・→ａ−２・→ｂ

→ＡＣ＝→ＯＣ−→ＯＡ
　　　＝４・→ａ−６・→ｂ−(→ａ−３・→ｂ)
　　　＝４・→ａ−６・→ｂ−→ａ＋３・→ｂ
　　　＝３・→ａ−３・→ｂ


次の問題→３点Ａ，Ｂ，Ｃが一直線上にあることを示す


◆関連問題
３・→ａ＋→ｘ＝２・→ｂ、位置ベクトル


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学２Ｂ第２問

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■　問題

2019年センター試験数２Ｂより

第２問

　ｐ，ｑを実数とし、関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘはｘ＝−１で極値２を
とるとする。また、座標平面上の曲線ｙ＝ｆ(ｘ)をＣ，放物線ｙ＝−ｋｘ^2をＤ，
放物線Ｄ上の点(ａ，−ｋａ^2)をＡとする。ただし、ｋ＞０，ａ＞０である。

(1) 関数ｆ(ｘ)がｘ＝−１で極値をとるので、ｆ'(−１)＝[ア]である。これと
ｆ(−１)＝２より、ｐ＝[イ]，ｑ＝[ウエ]である。よって、ｆ(ｘ)はｘ＝[オ]で
極小値[カキ]をとる。

(2) 点Ａにおける放物線Ｄの接線をｌとする。Ｄとｌおよびｘ軸で囲まれた図形の
面積Ｓをａとｋを用いて表そう。

　ｌの方程式は

　　ｙ＝[クケ]ｋａｘ＋ｋａ^[コ]　……{1}

と表せる。ｌとｘ軸の交点のｘ座標は[サ]／[シ]であり、Ｄとｘ軸および直線
ｘ＝ａで囲まれた図形の面積は(ｋ／[ス])ａ^[セ]である。よって、
Ｓ＝(ｋ／[ソタ])ａ^[セ]である。

(3) さらに、点Ａが曲線Ｃ上にあり、かつ(2)の接線ｌがＣにも接するとする。
このときの(2)のＳの値を求めよう。

　ＡがＣ上にあるので、ｋ＝[チ]／[ツ]−[テ]である。

　ｌとＣの接点のｘ座標をｂとすると、ｌの方程式はｂを用いて

　　ｙ＝[ト](ｂ^2−[ナ])ｘ−[ニ]ｂ^3　……{2}

と表される。{2}の右辺をｇ(ｘ)とおくと

　　ｆ(ｘ)−ｇ(ｘ)＝(ｘ−[ヌ])^2・(ｘ＋[ネ]ｂ)

と因数分解されるので、ａ＝−[ネ]ｂとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、ａ^2＝[ノハ]／[ヒ]である。

　したがって、求めるＳの値は[フ]／[ヘホ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■　解説目次

　◆１　導関数は傾きを表す
　◆２　極値では導関数の値(＝微分係数)が０
　◆３　積分は微分の逆
　◆４　極値なのでｆ'(ｘ)＝０
　◆５　極値はｙ座標

(以下略)

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■　解説

◆１〜３は省略します。


　◆４　極値なのでｆ'(ｘ)＝０

前置きはこの辺にして、今回の問題です。

2019年は、３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘについての問題でした。

この関数は、「ｘ＝−１で極値２をとる」と言っています。

ここからいくつか式ができますね？

まずは、◆２でも触れたように「極値は接線の傾きがゼロになるところ」なので、
ｆ(ｘ)を微分し、ｘ＝−１を代入した式の値はゼロになります。

つまり、ｆ'(−１)＝０です。

よって、[ア]＝０

少し計算しておきましょう！

ｆ'(ｘ)＝３ｘ^2＋２ｐｘ＋ｑ
ｆ'(−１)＝３(−１)^2＋２ｐ×(−１)＋ｑ
　　　　 ＝３−２ｐ＋ｑ＝０

このような式が得られます。


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　◆５　極値はｙ座標

さらに、「ｘ＝−１で極値２をとる」ので、ｆ(−１)＝２です。
極値は式の値なので、つまりはｘｙ平面にグラフを描いた場合のｙ座標ですね。

これもその通りの式を作ってみましょう！

ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ｐｘ^2＋ｑｘ
ｆ(−１)＝(−１)^3＋ｐ(−１)^2＋ｑ(−１)
　　　　＝−１＋ｐ−ｑ＝２

文字が２つあるので、◆４の式と連立すれば・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校地学「変成作用」

高校地学「変成作用」

◆問題

岩石が長時間高い温度や高い圧力を受けて、固体のまま化学組成や組織が変わる作用を(�@)という。(�@)によってできた岩石を(�A)という。
高温のマグマが貫入し、周辺の岩石が受ける(�@)を(�B)といい、海洋プレートの沈み込みによって、大陸プレートの岩石に高い圧力がかかったり、マグマだまりの周辺の岩石が受ける(�@)を(�C)という。


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◆解答解説

�@変成作用、�A変成岩、�B接触変成作用、�C広域変成作用

岩石が長時間高い温度や高い圧力を受けて、固体のまま化学組成や組織が変わる作用を変成作用という。変成作用によってできた岩石を変成岩という。
高温のマグマが貫入し、周辺の岩石が受ける変成作用を接触変成作用といい、海洋プレートの沈み込みによって、大陸プレートの岩石に高い圧力がかかったり、マグマだまりの周辺の岩石が受ける変成作用を広域変成作用という。


岩石の詳しい内容を知りたい方はこの本がおすすめです。



関連問題
接触変成作用、広域変成作用、堆積岩、火成岩


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高校物理(用語)「節」「腹」

高校物理(用語)「節」「腹」

★節(node)
定常波において、常に弱め合う点で、振幅がゼロになる点のこと。

★腹(antinode)
定常波において、常に強め合い、振幅が最大になる点のこと。２つの波が重なり合うので、振幅はもとの波の２倍になる。


節と節、腹と腹の間隔はどちらもλ／２になり、節と腹は交互に現れるので、節と腹の間隔はλ／４になることも理解しておくといいでしょう。

ギターなど細い弦が露出している楽器を持っている人は、弦を弾くと定常波と節や腹を手軽に観察できます。


ギターの弦はダダリオがお気に入りです。学生時代からずっとダダリオを使っています。



◆関連項目
定常波、強め合う条件・弱め合う条件


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