2020年10月27日

高校物理「波動」「正弦波の式」y=2.0sin2π(t−0.50x)

高校物理「波動」「正弦波の式」y=2.0sin2π(t−0.50x)

◆問題

時刻t[s]における位置x[m]での変位y[m]が、y=2.0sin2π(t−0.50x)で表される波の、振幅A,周期T,波長λ,速さvをそれぞれ求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解説

与えられた式から必要な情報を読み取る問題です。

式は「y=2.0sin2π(t−0.50x)」と決まっているので、公式y=Asin2π(t/T−x/λ)と比較していきます。

まず、振幅Aはサインの係数なので、A=2.0はすぐにわかりますね。

次に括弧の部分に注目します。

(t−0.50x)が(t/T−x/λ)と等しいはずです。

t−0.50xを少し書き換えてみると、

t/1−(1/2)x=t/1−x/2

このように直すことができますね。これで比較すれば、周期T=1,波長λ=2がわかります。

ここまでわかれば、v=fλ=λ/Tに代入することで、vを求めることができます。

v=2/1=2

有効数字を2桁とすれば、A=2.0,T=1.0,λ=2.0,v=2.0

となります。


◆関連問題
y=0.5・sin2π(t/2−x/6)のとき


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高校数学「位置ベクトル」→AB,→ACを→a,→bで表す

高校数学「位置ベクトル」→AB,→ACを→a,→bで表す

■ 問題

→OA=→a−3・→b,→OB=3・→a−5・→b,→OC=4・→a−6・→bのとき、次の問いに答えよ。ただし、→a≠→0,→b≠→0,→aと→bは平行でないものとする。

(1) →AB,→ACを→a,→bで表せ。



解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

ベクトルの基本的な表し方に従うと、「終点−始点」なので、

→AB=→OB−→OA,→AC=→OC−→OA

ですね。

今回の問題はこの通りに計算すればOKです!

→AB=→OB−→OA
   =3・→a−5・→b−(→a−3・→b)
   =3・→a−5・→b−→a+3・→b
   =2・→a−2・→b

→AC=→OC−→OA
   =4・→a−6・→b−(→a−3・→b)
   =4・→a−6・→b−→a+3・→b
   =3・→a−3・→b


次の問題→3点A,B,Cが一直線上にあることを示す


◆関連問題
3・→a+→x=2・→b位置ベクトル


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2019年センター数学2B第2問

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学2B第2問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!センター数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2019年センター試験数2Bより

第2問

 p,qを実数とし、関数f(x)=x^3+px^2+qxはx=−1で極値2を
とるとする。また、座標平面上の曲線y=f(x)をC,放物線y=−kx^2をD,
放物線D上の点(a,−ka^2)をAとする。ただし、k>0,a>0である。

(1) 関数f(x)がx=−1で極値をとるので、f'(−1)=[ア]である。これと
f(−1)=2より、p=[イ],q=[ウエ]である。よって、f(x)はx=[オ]で
極小値[カキ]をとる。

(2) 点Aにおける放物線Dの接線をlとする。Dとlおよびx軸で囲まれた図形の
面積Sをaとkを用いて表そう。

 lの方程式は

  y=[クケ]kax+ka^[コ] ……{1}

と表せる。lとx軸の交点のx座標は[サ]/[シ]であり、Dとx軸および直線
x=aで囲まれた図形の面積は(k/[ス])a^[セ]である。よって、
S=(k/[ソタ])a^[セ]である。

(3) さらに、点Aが曲線C上にあり、かつ(2)の接線lがCにも接するとする。
このときの(2)のSの値を求めよう。

 AがC上にあるので、k=[チ]/[ツ]−[テ]である。

 lとCの接点のx座標をbとすると、lの方程式はbを用いて

  y=[ト](b^2−[ナ])x−[ニ]b^3 ……{2}

と表される。{2}の右辺をg(x)とおくと

  f(x)−g(x)=(x−[ヌ])^2・(x+[ネ]b)

と因数分解されるので、a=−[ネ]bとなる。{1}と{2}の表す直線の傾きを比較
することにより、a^2=[ノハ]/[ヒ]である。

 したがって、求めるSの値は[フ]/[ヘホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
 ◆3 積分は微分の逆
 ◆4 極値なのでf'(x)=0
 ◆5 極値はy座標

(以下略)

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■ 解説

◆1〜3は省略します。


 ◆4 極値なのでf'(x)=0

前置きはこの辺にして、今回の問題です。

2019年は、3次関数f(x)=x^3+px^2+qxについての問題でした。

この関数は、「x=−1で極値2をとる」と言っています。

ここからいくつか式ができますね?

まずは、◆2でも触れたように「極値は接線の傾きがゼロになるところ」なので、
f(x)を微分し、x=−1を代入した式の値はゼロになります。

つまり、f'(−1)=0です。

よって、[ア]=0

少し計算しておきましょう!

f'(x)=3x^2+2px+q
f'(−1)=3(−1)^2+2p×(−1)+q
     =3−2p+q=0

このような式が得られます。


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 ◆5 極値はy座標

さらに、「x=−1で極値2をとる」ので、f(−1)=2です。
極値は式の値なので、つまりはxy平面にグラフを描いた場合のy座標ですね。

これもその通りの式を作ってみましょう!

f(x)=x^3+px^2+qx
f(−1)=(−1)^3+p(−1)^2+q(−1)
    =−1+p−q=2

文字が2つあるので、◆4の式と連立すれば・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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高校地学「変成作用」

高校地学「変成作用」

◆問題

岩石が長時間高い温度や高い圧力を受けて、固体のまま化学組成や組織が変わる作用を(@)という。(@)によってできた岩石を(A)という。
高温のマグマが貫入し、周辺の岩石が受ける(@)を(B)といい、海洋プレートの沈み込みによって、大陸プレートの岩石に高い圧力がかかったり、マグマだまりの周辺の岩石が受ける(@)を(C)という。


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◆解答解説

@変成作用、A変成岩、B接触変成作用、C広域変成作用

岩石が長時間高い温度や高い圧力を受けて、固体のまま化学組成や組織が変わる作用を変成作用という。変成作用によってできた岩石を変成岩という。
高温のマグマが貫入し、周辺の岩石が受ける変成作用接触変成作用といい、海洋プレートの沈み込みによって、大陸プレートの岩石に高い圧力がかかったり、マグマだまりの周辺の岩石が受ける変成作用を広域変成作用という。


岩石の詳しい内容を知りたい方はこの本がおすすめです。



関連問題
接触変成作用、広域変成作用、堆積岩火成岩


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高校物理(用語)「節」「腹」

高校物理(用語)「節」「腹」

★節(node)
定常波において、常に弱め合う点で、振幅がゼロになる点のこと。

★腹(antinode)
定常波において、常に強め合い、振幅が最大になる点のこと。2つの波が重なり合うので、振幅はもとの波の2倍になる。


節と節、腹と腹の間隔はどちらもλ/2になり、節と腹は交互に現れるので、節と腹の間隔はλ/4になることも理解しておくといいでしょう。

ギターなど細い弦が露出している楽器を持っている人は、弦を弾くと定常波と節や腹を手軽に観察できます。


ギターの弦はダダリオがお気に入りです。学生時代からずっとダダリオを使っています。



◆関連項目
定常波強め合う条件・弱め合う条件


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