■ 問題
「(ｓｉｎｘ)'＝ｃｏｓｘ，(ｃｏｓｘ)'＝－ｓｉｎｘである。ｙ＝ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘを微分せよ」
このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！
■ 選択肢
① (ｓｉｎｘ)'＝ｃｏｓｘ，(ｃｏｓｘ)'＝－ｓｉｎｘなんだから、
そのままかければ良いに決まってる
② ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘは、２つの関数の積だから、積の微分法に従って
計算するに違いない
③ ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘは、合成関数だから、合成関数の微分法で計算する
④ ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘを変形して単純な形に直してから微分する
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■ 選択肢の解答
② ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘは、２つの関数の積だから、積の微分法に従って
計算するに違いない
または
④ ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘを変形して単純な形に直してから微分する
②の場合：ｓｉｎｘとｃｏｓｘは、それぞれが「式」で、ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘはそれらの積だと考えられます。だから、「積の微分法」に従って計算することができます。
④の場合：積の微分法は計算が面倒になりがちなので、三角関数の公式を使って単純な式に変形してから微分した方がよい場合も多いです。この場合は、サインの２倍角の公式を使って変形して、「合成関数の微分法」で計算できますね！
■ 解答解説
では、実際に②の場合の「積の微分法」を使って計算してみましょう！
ｙ＝ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘ
ｙ'＝(ｓｉｎｘ)'・ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ・(ｃｏｓｘ)'
=(ｃｏｓｘ)^2－(ｓｉｎｘ)^2
これで終わりでも間違いではないのですが、三角関数の場合は、更に簡単にできる場合が多いです。この場合は、２倍角の公式を使って、
＝ｃｏｓ２ｘ
とするのがノーマルです。
この問題は次の書籍のP.45に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。
◆関連項目
ｙ＝ｓｉｎ５ｘの微分、ｙ＝(ｓｉｎｘ)^3の微分、ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)の微分
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ラベル：数学
