本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程数学1A第3問の(2)までを解説します。
【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年第1回共通テスト数1Aより
第3問
中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじを
引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能性が
高いかを、条件付き確率を用いて考えよう。
(1) 当たりくじを引く確率が1/2である箱Aと、当たりくじを引く確率が1/3
である箱Bの二つの箱の場合を考える。
(i) 各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき
箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は[ア]/[イ] …{1}
箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は[ウ]/[エ] …{2}
である。
(ii) まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱に
おいて、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中
ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが選ばれる事象
をB、3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると
P(A∩W)=(1/2)×([ア]/[イ]),P(B∩W)=(1/2)×([ウ]/[エ])
である。P(W)=P(A∩W)+P(B∩W)であるから、3回中ちょうど1回
当たったとき、選んだ箱がAである条件付き確率PW(A)は[オカ]/[キク]となる。
また、条件付き確率PW(B)は[ケコ]/[サシ]となる。
(2) (1)のPW(A)とPW(B)について、次の[事実](*)が成り立つ。
―事実(*)―――――――――――――――――――――――――――
|Pw(A)とPw(B)の[ス]は、{1}の確率と{2}の確率の[ス]に等しい。|
――――――――――――――――――――――――――――――――
[ス]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――
|{0} 和 {2} 2乗の和 {2} 3乗の和 {3} 比 {4} 積 |
―――――――――――――――――――――――――――――――
(3) 花子さんと太郎さんは[事実](*)について話している。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|花子:[事実](*)はなぜ成り立つのかな? |
|太郎:PW(A)とPW(B)を求めるのに必要なP(A∩W)とP(B∩W)の計算|
| で、{1],{2}の確率に同じ数1/2をかけているからだよ。 |
|花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数1/3をかける |
| ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。 |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
当たりくじを引く確率が、1/2である箱A,1/3である箱B,1/4である
箱Cの三つの箱の場合を考える。まず、A,B,Cのうちどれか一つの箱を
でたらめに選ぶ。次のその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す
試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、選んだ
箱がAである条件付き確率は[セソタ]/[チツテ]となる。
(4)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の[ス]は各箱で3回中 |
| ちょうど1回当たりくじを引く確率の[ス]になっているみたいだね。|
|太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくても、|
| その大きさを比較することができるね。 |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
当たりくじを引く確率が、1/2である箱A,1/3である箱B,1/4である
箱C,1/5である箱Dの四つの箱の場合を考える。まず、A,B,C,Dのうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いて
はもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。この
とき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。
可能性が高い方から順に並べると[ト]となる。
[ト]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――――
|{0} A,B,C,D {1} A,B,D,C {2} A,C,B,D |
|{3} A,C,D,B {4} A,D,B,C {5} B,A,C,D |
|{6} B,A,D,C {7} B,C,A,D {8} B,C,D,A |
―――――――――――――――――――――――――――――――――
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 Pは順列、Cは組み合わせ
◆2 同時に起こるなら×、同時に起こらないなら+
◆3 同じ確率を繰り返すなら「反復試行」
(以下略)
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■ 解説
◆1,◆2は省略します。
◆3 同じ確率を繰り返すなら「反復試行」
では今回の問題です。
箱Aと箱Bがあり、それぞれの箱にはくじが入っているようです。
まずは「当たりくじを引く確率が1/2である箱A」から3回連続ひいて、
ちょうど1回当たる確率を考えます。
同じ確率の事象を繰り返すので、いわゆり「
反復試行」の考え方を使うのが
ノーマルです。
あたりは3回中1回なので、あたりが何回目に出るか?のパターンは3C1=3通り
あります。
あたりは1/2,ハズレも1/2なので、あたり1回ハズレ2回の確率は、
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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