本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト数学２Ｂ第１問[1]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年第１回共通テスト数２Ｂより
第１問
[1]
(1) 次の問題Ａについて考えよう。
[問題Ａ] 関数ｙ＝ｓｉｎθ＋√３・ｃｏｓθ(０≦θ≦π／２)の最大値を求めよ。
ｓｉｎ(π／[ア])＝√３／２，ｃｏｓ(π／[ア])＝１／２
であるから、三角関数の合成により
ｙ＝[イ]ｓｉｎ(θ＋π／[ア])
と変形できる。よって、ｙはθ＝π／[ウ]で最大値[エ]をとる。
(2) ｐを定数とし、次の問題Ｂについて考えよう。
[問題Ｂ] 関数ｙ＝ｓｉｎθ＋ｐｃｏｓθ(０≦θ≦π／２)の最大値を求めよ。
(i) ｐ＝０のとき、ｙはθ＝π／[オ]で最大値[カ]をとる。
(ii) ｐ＞０のときは、加法定理
ｃｏｓ(θ－α)＝ｃｏｓθｃｏｓα＋ｓｉｎθｓｉｎα
を用いると
ｙ＝ｓｉｎθ＋ｐｃｏｓθ＝√[キ]・ｃｏｓ(θ－α)
と表すことができる。ただし、αは
ｓｉｎα＝[ク]／√[キ]，ｃｏｓα＝[ケ]／√[キ]，０＜α＜π／２
を満たすものとする。このとき、ｙはθ＝[コ]で最大値√[サ]をとる。
(iii) ｐ＜０のとき、ｙはθ＝[シ]で最大値[ス]をとる。
[キ]～[ケ]，[サ]，[ス]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
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｜{0} －１ {1} １ {2} －ｐ ｜
｜{3} ｐ {4} １－ｐ {5} １＋ｐ ｜
｜{6} －ｐ^2 {7} ｐ^2 {8} １－ｐ^2 ｜
｜{9} １＋ｐ^2 {a} (１－ｐ)^2 {b} (１＋ｐ)^2｜
―――――――――――――――――――――――――
[コ]，[シ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
―――――――――――――――――――――――――
｜{0} ０ {1} α {2} π／２ ｜
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※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 横がａ，縦がｂのときのなす角がα
◆２ １８０°＝π
◆３ √(ａ^2＋ｂ^2)は斜辺
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
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◆２ １８０°＝π
まず最初は、
「ｓｉｎ(π／[ア])＝√３／２，ｃｏｓ(π／[ア])＝１／２」
の[ア]を求める問題です。
サインが√３／２，コサインが１／２になるときの角度は、６０°ですね。
ラジアンに直すと、π＝１８０°より、
６０°＝π／３
よって、[ア]＝３
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◆３ √(ａ^2＋ｂ^2)は斜辺
続いて、ｙ＝ｓｉｎθ＋√３・ｃｏｓθを、三角関数の合成で変形します。
◆１でも書いたように、
★ ａ・ｓｉｎθ＋ｂ・ｃｏｓθ＝√(ａ^2＋ｂ^2)ｓｉｎ(θ＋α)
であり、横がａ，縦がｂのときの角度がαです。
与式の場合は、横が１，縦が√３ですね。このときが◆２で求めたα＝π／３
というわけです。
このような直角三角形の斜辺の値が空欄[イ]の値、すなわち・・・
(以下略)
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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