本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第１日程数学２Ｂ第１問[2]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年第１回共通テスト数２Ｂより
第１問
[2]
二つの関数ｆ(ｘ)＝{２^x＋２^(-x)}／２，ｇ(ｘ)＝{２^x−２^(-x)}／２について
考える。
(1) ｆ(０)＝[セ]，ｇ(０)＝[ソ]である。また、ｆ(ｘ)は相加平均と相乗平均の
関係から、ｘ＝[タ]で最小値[チ]をとる。
ｇ(ｘ)＝−２となるｘの値はｌｏｇ[2](√[ツ]−[テ])である。
(2) 次の{1}〜{4}は、ｘにどのような値を代入してもつねに成り立つ。
ｆ(−ｘ)＝[ト] ……{1}
ｇ(−ｘ)＝[ナ] ……{2}
{ｆ(ｘ)}^2−{ｇ(ｘ)}^2＝[ニ] ……{3}
ｇ(２ｘ)＝[ヌ]ｆ(ｘ)ｇ(ｘ) ……{4}
[ト]，[ナ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
――――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} ｆ(ｘ) {1} −ｆ(ｘ) {2} ｇ(ｘ) {3} −ｇ(ｘ) ｜
――――――――――――――――――――――――――――――
(3) 花子さんと太郎さんは、ｆ(ｘ)とｇ(ｘ)の性質について話している。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜花子：{1}〜{4}は三角関数の性質に似ているね。 ｜
｜太郎：三角関数の加法定理に類似した式(A)〜(D)を考えてみたけど、つねに｜
｜ 成り立つ式はあるだろうか。 ｜
｜花子：成り立たない式を見つけるために、式(A)〜(D)のβに何か具体的な値｜
｜ を代入して調べてみたらどうかな。 ｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
― 太郎さんが考えた式 ――――――――――――
｜ｆ(α−β)＝ｆ(α)ｇ(β)＋ｇ(α)ｆ(β) ……(A)｜
｜ｆ(α＋β)＝ｆ(α)ｆ(β)＋ｇ(α)ｇ(β) ……(B)｜
｜ｇ(α−β)＝ｆ(α)ｆ(β)＋ｇ(α)ｇ(β) ……(C)｜
｜ｇ(α＋β)＝ｆ(α)ｇ(β)−ｇ(α)ｆ(β) ……(D)｜
――――――――――――――――――――――――
(1), (2)で示されたことのいくつかを利用すると、式(A)〜(D)のうち、[ネ]以外の
三つは成り立たないことがわかる。[ネ]は左辺と右辺をそれぞれ計算することに
よって成り立つことが確かめられる。
[ネ]の解答群
――――――――――――――――――――――
｜{0} (A) {1} (B) {2} (C) {3} (D) ｜
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※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 分数は累乗根・マイナスは逆数
◆２ 指数・対数の関係
◆３ 対数の計算法則
◆４ ｆ(０)はｘ＝０を代入
◆５ 相加平均≧相乗平均
(以下略)
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■ 解説
◆１〜３は省略します。
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◆４ ｆ(０)はｘ＝０を代入
では今回の問題です。
ｆ(ｘ)＝{２^x＋２^(-x)}／２とｇ(ｘ)＝{２^x−２^(-x)}／２という２つの関数に
ついて考えます。
まず(1)は「ｆ(０)＝[セ]，ｇ(０)＝[ソ]」を求めます。
それぞれｘに０を代入すればＯＫですね！
ｆ(０)＝{２^0＋２^(-0)}／２
＝(１＋１)／２
＝２／２
＝１
ｇ(０)＝{２^0−２^(-0)}／２
＝(１−１)／２
＝０
よって、[セ]＝１，[ソ]＝０
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◆５ 相加平均≧相乗平均
続いて、ｆ(ｘ)の最小値を考えます。
「相加平均と相乗平均の関係から」とあるので、誘導の通りにやってみましょう！
ｆ(ｘ)＝{２^x＋２^(-x)}／２
「相加相乗平均」は、一般に、(相加平均)≧(相乗平均)となる性質のことです。
ｆ(ｘ)の式は、２^xと２^(-x)を足して２で割る形になっているので・・・
(以下略)
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