高校物理「気体の状態変化」「定積変化」熱量からモル比熱を求める

高校物理「気体の状態変化」「定積変化」熱量からモル比熱を求める

容積の変化しない容器内に、ｎ[ｍｏｌ]の単原子分子からなる理想気体が入れられている。容器にはヒーターが備えられていて、容器内の気体の温度を調整することができる。ヒーターから熱を与え、気体の温度をＴ0[Ｋ]から４Ｔ0[Ｋ]に上昇させた。このとき次の問いに答えよ。ただし、外部の圧力は一定で、気体定数はＲ[Ｊ／(ｍｏｌ・Ｋ)]とする。

(1) ヒーターが容器内の気体に与えた熱量を求めよ。

(2) (1)の結果を用いて、理想気体の定積モル比熱Ｃv[Ｊ／(ｍｏｌ・Ｋ)を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


(1)で、Ｕ＝(９／２)ｎＲＴ0[Ｊ]がわかっていますね。


解き方の習得におすすめの問題集です。



定積モル比熱とは、体積が一定のとき、１ｍｏｌの気体を１Ｋ上昇させるときに必要な熱量のことです。

だから、熱量を物質量と温度変化の積で割れば、それが「モル比熱」となります。

熱量Ｑ，物質量ｎ，定積モル比熱Ｃv，温度変化ΔＴの関係は

Ｑ＝ｎＣvΔＴ

という式で表されます。


今回の問題では、

(1)で、熱量＝気体の内部エネルギーの増加量＝Ｕ＝(９／２)ｎＲＴ0[Ｊ]を求めていて、

物質量はｎ[ｍｏｌ]、温度変化ΔＴ＝４Ｔ0−Ｔ0＝３Ｔ0がわかっています。

これらを「Ｑ＝ｎＣvΔＴ」に代入すると、

(９／２)ｎＲＴ0＝ｎＣv・３Ｔ0

という式ができます。両辺をｎと３Ｔ0で割ると、

(３／２)Ｒ＝Ｃv

よって、Ｃv＝(３／２)Ｒ

これが求める「定積モル比熱」ですね！


前の問題→気体が得た熱量を求める


◆関連問題
定積変化、断熱変化、内部エネルギー、状態方程式


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■　問題

2021年第１回共通テスト数２Ｂより

第２問

(1) 座標平面上で、次の二つの２次関数のグラフについて考える。

　　ｙ＝３ｘ^2＋２ｘ＋３　……{1}
　　ｙ＝２ｘ^2＋２ｘ＋３　……{2}

　{1}, {2}の２次関数のグラフには次の[共通点]がある。

―　共通点　―――――――――――――――――――――――――
｜・ｙ軸との交点のｙ座標は[ア]である。　　　　　　　　　　　　｜
｜・ｙ軸との交点における接線の方程式はｙ＝[イ]ｘ＋[ウ]である。｜
―――――――――――――――――――――――――――――――

　次の{0}〜{5}の２次関数のグラフのうち、ｙ軸との交点における接線の方程式が
ｙ＝[イ]ｘ＋[ウ]となるものは[エ]である。

[エ]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} ｙ＝３ｘ^2−２ｘ−３　　{1} ｙ＝−３ｘ^2＋２ｘ−３　｜
｜{2} ｙ＝２ｘ^2＋２ｘ−３　　{3} ｙ＝２ｘ^2−２ｘ＋３　　｜
｜{4} ｙ＝−ｘ^2＋２ｘ＋３　　{5} ｙ＝−ｘ^2−２ｘ＋３　　｜
―――――――――――――――――――――――――――――

　ａ，ｂ，ｃを０でない実数とする。
　曲線ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ上の点(０，[オ])における接線をｌとすると、その
方程式はｙ＝[カ]ｘ＋[キ]である。

　接線ｌとｘ軸との交点のｘ座標は[クケ]／[コ]である。

　ａ，ｂ，ｃが正の実数であるとき、曲線ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃと接線ｌおよび
直線ｘ＝[クケ]／[コ]で囲まれた図形の面積をＳとすると

　　Ｓ＝(ａｃ^[サ])／([シ]ｂ^[ス])　　……{3}

である。

　{3}において、ａ＝１とし、Ｓの値が一定となるように正の実数ｂ，ｃの値を変化
させる。このときｂとｃの関係を表すグラフの概形は[セ]である。

[セ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。

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(2) 座標平面上で、次の三つの３次関数のグラフについて考える。

　　ｙ＝４ｘ^3＋２ｘ^2＋３ｘ＋５　……{4}
　　ｙ＝−２ｘ^3＋７ｘ^2＋３ｘ＋５　……{5}
　　ｙ＝５ｘ^3−ｘ^2＋３ｘ＋５　……{6}

{4}，{5}，{6}の３次関数のグラフには次の[共通点]がある。

――共通点――――――――――――――――――――――――――
｜・ｙ軸との交点のｙ座標は[ソ]である。　　　　　　　　　　　　｜
｜・ｙ軸との交点における接線の方程式はｙ＝[タ]ｘ＋[チ]である。｜
―――――――――――――――――――――――――――――――

　ａ，ｂ，ｃ，ｄを０でない実数とする。
　曲線ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ上の点(０，[ツ])における接線の方程式は
ｙ＝[テ]ｘ＋[ト]である。

　次にｆ(ｘ)＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ，ｇ(ｘ)＝[テ]ｘ＋[ト]とし、
ｆ(ｘ)−ｇ(ｘ)について考える。

　ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)−ｇ(ｘ)とおく。ａ，ｂ，ｃ，ｄが正の実数であるとき、
ｙ＝ｈ(ｘ)のグラフの概形は[ナ]である。

　ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフとｙ＝ｇ(ｘ)のグラフの共有点のｘ座標は[ニヌ]／[ネ]と
[ノ]である。また、ｘが[ニヌ]／[ネ]と[ノ]の間を動くとき、|ｆ(ｘ)−ｇ(ｘ)|の
値が最大となるのは、ｘ＝[ハヒフ]／[ヘホ]のときである。

[ナ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。

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※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　導関数は傾きを表す
　◆２　極値では導関数の値(＝微分係数)が０
　◆３　積分は微分の逆
　◆４　ｙ軸上はｘ＝０
　◆５　接線なら微分！導関数は傾きを表す

(以下略)

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■　解説


◆１〜３は省略します。


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　◆４　ｙ軸上はｘ＝０

では最初の設問です。

　　ｙ＝３ｘ^2＋２ｘ＋３　……{1}
　　ｙ＝２ｘ^2＋２ｘ＋３　……{2}

という２つの２次関数が登場し、これらの共通点を考えます。

まずは「ｙ軸との交点のｙ座標」を聞いています。

ｙ軸は原点を通る縦の直線なので、関数の種類にかかわらず「ｘ＝０」ですね。

ｘ＝０がわかっているのだから、{1}, {2}の式に代入すると、どちらに入れても

ｙ＝３となります。

よって、[ア]＝３


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　◆５　接線なら微分！導関数は傾きを表す

続いて、「ｙ軸との交点における接線の方程式」を求めます。
２つの２次関数の共通点なので、どちらでやっても同じ式になるはずですね。
だから、なるべく簡単な方で計算していくとよいです。

この場合は、どっちでもほぼ変わりませんが・・・


(以下略)


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中学英語「現在完了」Have you ( ) ( ) of the planet Saturn?

中学英語「現在完了」Have you (　) (　) of the planet Saturn?

◆問題
(　)内に適切な語を入れてください。

Have you (　) (　) of the planet Saturn? (あなたは今までに土星について聞いたことがありますか？)


解答解説はこのページ下に


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◆解説

「今までに〜聞いたことがありますか？」という言い方なので、現在完了の疑問文ですね。

「have＋過去分詞」を疑問文にしたので、文頭に「Have」がある。というわけです。

主語youの後には、「今までに」を表す「ever」と、動詞の過去分詞形が来ればいいですね。

「〜について聞く」は「hear of 〜」と考えて過去分詞形にすると、

★Have you ever heard of the planet Saturn?

このようになりました！


◆関連項目
現在完了形の基本、現在完了の疑問文・否定文
現在完了まとめ


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高校物理「気体の状態変化」「定積変化」温度が上がったときに気体が得た熱量

高校物理「気体の状態変化」「定積変化」温度が上がったときに気体が得た熱量

容積の変化しない容器内に、ｎ[ｍｏｌ]の単原子分子からなる理想気体が入れられている。容器にはヒーターが備えられていて、容器内の気体の温度を調整することができる。ヒーターから熱を与え、気体の温度をＴ0[Ｋ]から４Ｔ0[Ｋ]に上昇させた。このとき次の問いに答えよ。ただし、外部の圧力は一定で、気体定数はＲ[Ｊ／(ｍｏｌ・Ｋ)]とする。

(1) ヒーターが容器内の気体に与えた熱量を求めよ。


「容積の変化しない容器」なので、気体の体積は変化しません。


解き方の習得におすすめの問題集です。



気体の体積が変化しないということは、気体は外部に仕事をしないし、されない。つまり、得た熱量は全て気体の内部エネルギーの増加になる。と考えられます。

気体の内部エネルギーは

Ｕ＝(３／２)ｎＲΔＴ

で表されます。

温度はＴ0から４Ｔ0まで変化したので、ΔＴ＝４Ｔ0−Ｔ0＝３Ｔ0ですね。
これを代入すると、

Ｕ＝(３／２)ｎＲ・３Ｔ0
　＝(９／２)ｎＲＴ0[Ｊ]


次の問題→(1)の結果を用いて、定積モル比熱を求める


◆関連問題
定積変化、断熱変化、内部エネルギー、状態方程式


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