高校物理「気体の状態変化」ｐ−Ｖグラフ�B

高校物理「気体の状態変化」ｐ−Ｖグラフ�B

◆問題

単原子分子からなる理想気体を容器に入れ、図のように圧力ｐと体積ＶをＡ→Ｂ→Ｃ→Ａの順にゆっくりと変化させた。Ａの温度は２００Ｋ，ＢＣ間の温度は一定であり、気体定数を８．３Ｊ／(ｍｏｌ・Ｋ)とするとき、次の問いに答えよ。

(1) この気体の物質量は何ｍｏｌか。

(2) ＡＢ間で気体が吸収した熱量は何Ｊか。

(3) ＣＡ間で気体がされた仕事は何Ｊか。


この記事では(3)を解説します。


※図から読み取れる値とグラフの形を説明しておきます。

Ａ・・・ｐ＝１．０×１０^5[Ｐａ]，Ｖ＝８．３×１０^(-3)[ｍ^3]
Ｂ・・・ｐ＝２．０×１０^5[Ｐａ]，Ｖ＝８．３×１０^(-3)[ｍ^3]
Ｃ・・・ｐ＝１．０×１０^5[Ｐａ]，Ｖ＝１６．６×１０^(-3)[ｍ^3]

ＡＢ間とＣＡ間は直線、ＢＣ間は曲線になっています。


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◆解説

ＣＡ間では、体積が減少しているので、気体はその分仕事をされている。と考えられます。

圧力は１．０×１０^5[Ｐａ]で一定、体積は１６．６×１０^-3[ｍ^3]から８．３×１０^-3[ｍ^3]に減少しました。

この体積の変化分が、された仕事の分だ。というイメージです。

Ｗ＝−ｐΔＶに代入して、

Ｗ＝−１．０×１０^5×(８．３×１０^-3−１６．６×１０^-3)
　＝−１．０×１０^5×(−８．３×１０^-3)
　＝８．３×１０^2[Ｊ]


次の問題→(4) ＢＣ間におけるｐとＶの関係式


◆関連問題
定積変化、断熱変化、内部エネルギー、状態方程式


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■　問題

2021年共通テスト第１日程数１Ａより

第３問

　中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじを
引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能性が
高いかを、条件付き確率を用いて考えよう。

(1) 当たりくじを引く確率が１／２である箱Ａと、当たりくじを引く確率が１／３
である箱Ｂの二つの箱の場合を考える。

(i) 各箱で、くじを１本引いてはもとに戻す試行を３回繰り返したとき

　　箱Ａにおいて、３回中ちょうど１回当たる確率は[ア]／[イ]　…{1}
　　箱Ｂにおいて、３回中ちょうど１回当たる確率は[ウ]／[エ]　…{2}

である。

(ii) まず、ＡとＢのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱に
おいて、くじを１本引いてはもとに戻す試行を３回繰り返したところ、３回中
ちょうど１回当たった。このとき、箱Ａが選ばれる事象をＡ、箱Ｂが選ばれる事象
をＢ、３回中ちょうど１回当たる事象をＷとすると

　　Ｐ(Ａ∩Ｗ)＝(１／２)×([ア]／[イ])，Ｐ(Ｂ∩Ｗ)＝(１／２)×([ウ]／[エ])

である。Ｐ(Ｗ)＝Ｐ(Ａ∩Ｗ)＋Ｐ(Ｂ∩Ｗ)であるから、３回中ちょうど１回
当たったとき、選んだ箱がＡである条件付き確率ＰW(Ａ)は[オカ]／[キク]となる。
また、条件付き確率ＰW(Ｂ)は[ケコ]／[サシ]となる。


(2) (1)のＰW(Ａ)とＰW(Ｂ)について、次の[事実](＊)が成り立つ。

―事実(＊)―――――――――――――――――――――――――――
｜Ｐw(Ａ)とＰw(Ｂ)の[ス]は、{1}の確率と{2}の確率の[ス]に等しい。｜
――――――――――――――――――――――――――――――――

[ス]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} 和　　{2} ２乗の和　　{2} ３乗の和　　{3} 比　　{4} 積　｜
―――――――――――――――――――――――――――――――


(3) 花子さんと太郎さんは[事実](＊)について話している。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜花子：[事実](＊)はなぜ成り立つのかな？　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜太郎：ＰW(Ａ)とＰW(Ｂ)を求めるのに必要なＰ(Ａ∩Ｗ)とＰ(Ｂ∩Ｗ)の計算｜
｜　　　で、{1]，{2}の確率に同じ数１／２をかけているからだよ。　　　　｜
｜花子：なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数１／３をかける　｜
｜　　　ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。　　　　　　　　｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

　当たりくじを引く確率が、１／２である箱Ａ，１／３である箱Ｂ，１／４である
箱Ｃの三つの箱の場合を考える。まず、Ａ，Ｂ，Ｃのうちどれか一つの箱を
でたらめに選ぶ。次のその選んだ箱において、くじを１本引いてはもとに戻す
試行を３回繰り返したところ、３回中ちょうど１回当たった。このとき、選んだ
箱がＡである条件付き確率は[セソタ]／[チツテ]となる。


(4)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜花子：どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の[ス]は各箱で３回中　｜
｜　　　ちょうど１回当たりくじを引く確率の[ス]になっているみたいだね。｜
｜太郎：そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくても、｜
｜　　　その大きさを比較することができるね。　　　　　　　　　　　　　｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

　当たりくじを引く確率が、１／２である箱Ａ，１／３である箱Ｂ，１／４である
箱Ｃ，１／５である箱Ｄの四つの箱の場合を考える。まず、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄのうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを１本引いて
はもとに戻す試行を３回繰り返したところ、３回中ちょうど１回当たった。この
とき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。
可能性が高い方から順に並べると[ト]となる。

[ト]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ　　{1} Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｃ　　{2} Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ　｜
｜{3} Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｂ　　{4} Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｃ　　{5} Ｂ，Ａ，Ｃ，Ｄ　｜
｜{6} Ｂ，Ａ，Ｄ，Ｃ　　{7} Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｄ　　{8} Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ａ　｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　Ｐは順列、Ｃは組み合わせ
　◆２　同時に起こるなら×、同時に起こらないなら＋
　◆３　同じ確率を繰り返すなら「反復試行」
　◆４　Ｐ(Ａ∩Ｗ)は、ＡとＷの積

(以下略)

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■　解説

　◆３　同じ確率を繰り返すなら「反復試行」

では今回の問題です。

箱Ａと箱Ｂがあり、それぞれの箱にはくじが入っているようです。

まずは「当たりくじを引く確率が１／２である箱Ａ」から３回連続ひいて、
ちょうど１回当たる確率を考えます。

同じ確率の事象を繰り返すので、いわゆり「反復試行」の考え方を使うのが
ノーマルです。

あたりは３回中１回なので、あたりが何回目に出るか？のパターンは3Ｃ1＝３通り
あります。
あたりは１／２，ハズレも１／２なので、あたり１回ハズレ２回の確率は、

3Ｃ1・(１／２)(１／２)^2＝３／８

となります。

箱Ｂも同様にやると、

3Ｃ1・(１／３)(２／３)^2＝３・４／２７＝４／９

よって、[ア]＝３，[イ]＝８，[ウ]＝４，[エ]＝９


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　◆４　Ｐ(Ａ∩Ｗ)は、ＡとＷの積

続いて、

「ＡとＢのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱に
おいて、くじを１本引いてはもとに戻す試行を３回繰り返したところ、３回中
ちょうど１回当たった。」

場合について考えます。

「このとき、箱Ａが選ばれる事象をＡ、箱Ｂが選ばれる事象をＢ、３回中ちょうど
１回当たる事象をＷ」

として、いくつかの確率を表していきます。

Ｐ(Ａ∩Ｗ)は、「Ａが選ばれて３回中１回当たる確率」だから・・・


つづく


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高校物理「気体の状態変化」ｐ−Ｖグラフ�A

高校物理「気体の状態変化」ｐ−Ｖグラフ�A

◆問題

単原子分子からなる理想気体を容器に入れ、図のように圧力ｐと体積ＶをＡ→Ｂ→Ｃ→Ａの順にゆっくりと変化させた。Ａの温度は２００Ｋ，ＢＣ間の温度は一定であり、気体定数を８．３Ｊ／(ｍｏｌ・Ｋ)とするとき、次の問いに答えよ。

(1) この気体の物質量は何ｍｏｌか。

(2) ＡＢ間で気体が吸収した熱量は何Ｊか。


この記事では(2)を解説します。


※図から読み取れる値とグラフの形を説明しておきます。

Ａ・・・ｐ＝１．０×１０^5[Ｐａ]，Ｖ＝８．３×１０^(-3)[ｍ^3]
Ｂ・・・ｐ＝２．０×１０^5[Ｐａ]，Ｖ＝８．３×１０^(-3)[ｍ^3]
Ｃ・・・ｐ＝１．０×１０^5[Ｐａ]，Ｖ＝１６．６×１０^(-3)[ｍ^3]

ＡＢ間とＣＡ間は直線、ＢＣ間は曲線になっています。


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◆解説

ＡＢ間では体積が一定なので、「定積変化」であり、気体は外部に仕事をしたりされたりしません。

ということは、内部エネルギーの変化が得た熱量ですね。

Ａでの温度は２００Ｋとわかっているので、Ｂでの温度を求めれば、熱量もわかる。というわけです。

Ｂでの温度をＴBとして、ボイル・シャルルの法則を用いると、

(１．０×１０^5)×(８．３×１０-3)／２００＝(２．０×１０^5)×(８．３×１０^-3)／ＴB

これをＴBについて解けば、ＴB＝４００[Ｋ]です。

「体積一定で、圧力が２倍だから温度は２倍」と考えても良いです。


２００Ｋから４００Ｋになったので、ΔＴ＝２００です。
単原子分子からなる理想気体の定積モル比熱はＣv＝(３／２)Ｒ、気体の物質量は０．５０[ｍｏｌ]です。

これらを「Ｑ＝ｎＣvΔＴ」に代入すると、

Ｑ＝０．５０×(３／２)Ｒ×２００
　＝１５０Ｒ
　＝１２４５

有効数字を２桁とすれば、１．２×１０^3[Ｊ]


次の問題→(3) ＣＡ間で気体がされた仕事


◆関連問題
定積変化、断熱変化、内部エネルギー、状態方程式


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高校数学「二項定理」nＣ0＋nＣ1＋nＣ2＋……＋nＣr＋……＋nＣn＝２^n

高校数学「二項定理」nＣ0＋nＣ1＋nＣ2＋……＋nＣr＋……＋nＣn＝２^ｎ


■　問題

(１＋ｘ)^ｎの展開式を利用して、次の式を証明せよ。
nＣ0＋nＣ1＋nＣ2＋……＋nＣr＋……＋nＣn＝２^ｎ


いわゆる二項定理を利用して考えます。


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■　解答解説

(１＋ｘ)^ｎを展開することを考えます。

ｘについての整式と捉えると、展開したら、定数項、１次の項、２次の項、…と並ぶはずですね。

二項定理を使って、それぞれの項の係数を考えれば、

定数項・・・nＣ0
１次の項・・・nＣ1
２次の項・・・nＣ2

このようになっていきます。
ここから、証明したい式の左辺は、(１＋ｘ)^ｎの全ての項の係数であると推定できると思います。

係数を全て足したものだから、「(１＋ｘ)^ｎにｘ＝１を代入したもの」と言っても同じです。

(１＋ｘ)^ｎに、ｘ＝１を代入すると、

(１＋１)^ｎ＝２^ｎ

よって、nＣ0＋nＣ1＋nＣ2＋……＋nＣr＋……＋nＣn＝２^ｎ


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高校物理「気体の状態変化」ｐ−Ｖグラフ�@

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◆問題

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Ａ・・・ｐ＝１．０×１０^5[Ｐａ]，Ｖ＝８．３×１０^(-3)[ｍ^3]
Ｂ・・・ｐ＝２．０×１０^5[Ｐａ]，Ｖ＝８．３×１０^(-3)[ｍ^3]
Ｃ・・・ｐ＝１．０×１０^5[Ｐａ]，Ｖ＝１６．６×１０^(-3)[ｍ^3]

ＡＢ間とＣＡ間は直線、ＢＣ間は曲線になっています。


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◆解説

ｐ，Ｖが３箇所、Ａの温度、Ｒの値がわかっているので、気体の状態方程式ｐＶ＝ｎＲＴを使うことができます。

点Ａの気体に注目すると、

ｐ＝１．０×１０^5，Ｖ＝８．３×１０^(-3)，Ｔ＝２００，そして、Ｒ＝８．３ですね。
これらを代入すれば、

１．０×１０^5・８．３×１０^(-3)＝ｎ×８．３×２００

このような式が得られます。これをｎについて解いて、

ｎ＝{１．０×１０^5・８．３×１０^(-3)}／(８．３×２００)
　＝０．５

有効数字を２桁とすると、ｎ＝０．５０[ｍｏｌ]


次の問題→(2) ＡＢ間で気体が吸収した熱量


◆関連問題
定積変化、断熱変化、内部エネルギー、状態方程式


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